Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 43
Текст из файла (страница 43)
п. 2.2), получим форлгулу Тгйюра с остаточным членам в интггралыюй форме: (2) й! / (и — 1)! ь=о 5 3. Производная Ферма — Лагранжа. Формула Тейлора — Пеано ЗЛ. Производная Ферма — Лагранжа. Производная, определенная в п. 4.1, гл. 2, допускает следующее обобщение по индукпии. Определение. Луста у: С вЂ” ° С, зо б РО п б )4.
Функция г называетсп и-диффврвнциругмай в смысле Ферма — Лагранжа в точке зо, если существует такая (и — !)- диффвренцируемая в смысле Ферма — Лагранжа в точке зо функция )г, чта тз Е РГ У(х) — У(хо) = (х — зоМ(з) Если дополнительно зо является предельной точкаймнажества РР та числа трш П(го) называется и-праизвпднай Ферма — Лагранжи функции з в точке ло и айазначаетсн Уои(зо). как и прежде, считаем функцию У О-дифференциевуемой в смысле Ферма — лагранлса в точке хо, если она непрерывна в этой точке. При этом г' (хо) = Т(хо). $3. Провзводиав Ферма — Лаграюка.
Формула Тейлора — Пеаио 157 Пример 1. Пусть и Е М и /„: К ч К где / (х) = 1 х" йп —, если х Е К'1(0), х О, если х = О. Доказать, по функция /„(и — 1)-дифференцируема в смысле Ферма — Лаграюка в точке * = 0 отЕХ Воспользуемся методом математической индукции. Если и = 1, то 1 !пп Л(х) = 1пп хйп — = 0 = /,(0), -о о х т.е. функция /, 0-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке х = 0 чт Е р(. Допустим, что функция /„(и — 1)-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке х = 0 'оги Е р(. Согласно предположению, имеем /„ы(х) — /„ы(0) = х/„(х) жх Е К.
По определению функция /„, и-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке х = 0 'о'ги Е Р(. Пример 2. Указать в примере 1 значение гл Е Я, при котором функция / не имеет 2-производной в точке х = 0 в классическом смысле. Если х ф О, то 1 „, 1 /„(х) = их" Вп — — гх" ~ соо —. х х Полагая т = п — 1, получаем, что функция /„' разрывна в точке х = О, вследствие чего /„не п-дифференцируема в классическом смысле в этой точке при и ) 2. Из примеров 1 и 2 видим, что Уи ) 2 существуют функции, и-дифференцируемые в смысле Ферма — Лагранжа в фиксированной точке и не имеющие в ней второй классической производной. 3.2.
Теорема Тейлора — Пеаио и ее обращение. Понятия и-дифференцируемости и и-производной Ферма — Лагранжа используютсв при изучении локальных свойств функций. Очевидно, что если функция / и-дифференцируема в смысле ФЕРМа — ЛаГРаНжа В ТОЧКЕ Хо Е РР ЛапаЮШЕйеа ПРЕДЕЛЬНОЙ ДЛВ МНОжсетаа Рг, тО Ут = О, И существуют т-производные Ферма — Лыранжа /' '(г,).
Теорема 1 (формула Тейлора — Пеано). Пусть /: С -ч С, го — предельная тачка множества РГ и хо Е РР Если фУнкциЯ / и-диффвРенцнРУгма в смысле Фауна — Лагданжа в точке го, та справедлива формула Тейлора — Леона ь /(г) = ~ / (го) + г (х)(х — го) уг Е РГ, ьы (х го) ь=о где г„— непрерывная в точке го функция и с„(го) = О. м Применим метод математической индукции.
Если и = О, то утверждение очевидно при ео(г) = /(г)-/(г,), Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены и на и-1 и что функции / и-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке го. Согласно определению, существует такая и — 1-дифференцируемал в смысле Ферма — Лагранжа в точке хо функция зо, что Ух Е Рг /(х) — /(го) = (х — хоМ(х). (2) По предполохсению ь ч от (х — хо) — ! в"(г) = ~Е (хо) +в„~(х)(х — хо) й! (3) Гл. 4 Интегрирование в комплексной плоскости. 158 где е„, — непрерывнац в точке зо функция и е„,(л,) = О.
Из равенств (2) и (3) получаем / ь Из) = У(ло) + (е — зо) у (о (го) ,, + с„ ,(з)(е — зо)" о! (с ао) ь=о У1ь П(зо) ( — о) " = У(зо)+ . +е. ~(г)(а — ло)", йч. ! й! что равносильно формуле (1) при с„= е„,. > Следуюшее утверждение является обрашением теоремы 1 и объясняет важность понятия и- производной Ферма — Лагранжа. Теорема 2 (об обрашении формулы Тейлора — Пеано).
Лусть у: С вЂ” С, ло пдедельнал точка множества РГ и зо б РР Если ь (а — ео) /(з) = ~ аь + е(з)(л — ло) та Е РР й! (4) гдв аь 6 С чй = О, и, е(ло) = 0 и е — непрерывная в точке зо функция, та функция г и-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке зо и аь = У (ео) ч(й = О, и. ро м Применим метод математической индукции. Если и = О, то равенство (4) имеет вид у(л) = а, + е(л) че Е Рг и поэтому функция у непрерывна в точке ло (т. е, 0-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в этой точке) и г'п(го) = У(ло) = а, Пусть теорема справедлива при замене и на и — 1 и вмполняется равенство (4). Так как г(го) = а„то (з зо) о-~ У(г) У(ао) = (а — зо) ~„) аь , + с(зЛг — ао)" ьы Полагаем ь-~ ч — ~ аь (з — ео) уг(л) = з — + е(г)(з — го)" й (й — 1)! ь=1 В силу предположения, функция (о (и — 1)-лифференцируема по Ферма — Лагранжу в точке го и -ьа = (о~~ п(ло) чй = 1, и.
по определению функция 2 и-дифференцируема в смысле Ферма— Лагранжа в точке л, и )ч ~(ло) = йры л(ао) = аь 'ой = 1, и. м Доказанная теорема может применяться для вычисления производных Ферма — Лагранжа. Приведем пример. Пусть К К, где У е" *г, если х б К 1(0), О, если х=О. Вычислить )"оо(0) чп б М.
Найдем 1 е т 1пп —, = 1пп о хз" г ьы (применяем и раз правило Лопиталя). Полагаем — =0 ес е О, если х б К'1 (О), х = О. Функция е„непрерывна в точке х = 0 чп б )Ч. Так как у(х) = хз"е„(х), то, согласно теореме 2, уыо(0) = 0 чй = 1, 2гг. В силу произвольности и угьз(0) = 0 ой б Ж 160 Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости.
Из теоремы о замене переменной в определенном интеграле следует, что правая часть формулы (6) не зависит от параметрического представления кривой у. Если Г = (у, у„,) — ориентированная гладкая кривая, то по определению пояагаем У( ) )04 = / У( ) !4 !. г 7 Из оценки модуля определенного интеграла следует важное для дальнейшего изложения неравенство (8) г г справедливое для любой непрерывной функции 2. Рассмотрим несколько примеров иа вычисление криволинейных интегралов.
Пример 1. Пусть !' ги!. Тогда, согласно формуле (!), имеем У(з)дг = ~р ОПг(1 = (г(Ь) — р(о). г Пример 2. Пусть 1'(з) = а. Применив формулу (1), получим ь ь 1 (г'(Ь) р'(о) 1(а) г(г = / газ = ~ Зг(1)р'(1) о( = — о(р~(Г)) = — — —.
2/ 2 2 г г Примеры 1 и 2 показывают, что оба интеграла не зависят от выбора гладкой ориентированной кривой Г, а зависят лишь от ее концов р(а) и р(6). Если à — замкнутая ориентированная кривая, то будем называть ее контуром или лельгей, а для обозначения криволинейного интеграла по контуру Г от функции 2 будем пользоваться записью ~(.)а.. г В силу замечания о зависимости интеграла лишь от концов кривой, получим: (9) да= воз=О, Легко также убедиться в справедливости равенства а" оа = — ()г" '(В) — ра м(а)) . и+1 г Пример 3. Доказать, что аа , 1 аа г / а г( гз где Г~ и Гз — соответственно верхняя и нижняя полуокружности радиуса 1 с центром в начале координат. Начальная точка кривых а =!.
Выбор начальной точки кривой определяет ее ориентацию. Параметрические представления ориентированных кривых имеют соответственно вид (г(1) = егг, 0 < 1 < х и гг(1) = е', -я ( (1 < О, р(0) = р(0) = 1. Согласно определению, имеем 1 =~' = ~' =Г'" = Ця Г (ег', Г да Г (еи Г „ы Г Г ,/ е" ',/ л,/ ем г, и гз а Гл, 4. Интегрирование в комплексной плоскости. 162 Овределение 2.
Область Р С С называетгв аднасвяэнай, есги любая замкнутая кривая в ней гаматапна точке, т. е. постоянному пути Следовательно, в односвязной области любую замкнутую кривую можно стянуть в точку. $5. Теорема и интеграл Коши 5.1. Сузцествование локальной первообразной аналитической функции. Г(усгь функция /: С С определена в области О. Согласно определению 1, п. 1.1, функция Р 6 А(О) называется первообрюной функции у в области О, если зуг 6 П г (г) = )'(г). С понятием первообразной связано определение интеграла Ньютона — Лейбница. Выясним, при каких условиях функция )", определенная в области О С С, имеет первообразную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
