Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 45
Текст из файла (страница 45)
т г г, Следствие 2. Если функции з: С э С аналитическая в односвюиой области В, 7 С Р любая гладкая замкнутая кривое, то 2(х) дх = О, 1' = (7, 7ов). / г м Утверждение следует из следствия 1, если принять во внимание, что в односвязной области каждая замкнутая кривая гомотопна нулю (см. п. 4.2) м Примечание 1. Следствие 2 — это классическая формулировка теоремы Коши. Прн дополнительных условиях, когда 2~ непрерывна в В, а 7 — гладкая жорданова кривая, классическая теорема Кок~и показывается элементарно с помощью формулы Грина. ч Пусть В С С вЂ” область, дб — ее положительно ориентированная граница.
Тогда получим: /г= Г г дс ди) ТТ гди дст Г(г)дх = / иах — чав+( / еде+иду = / 1 — — — — 1 их дул-( 1 — — — дхду = О / ~ дх ду) Д 'т,де дуУ' вс в силу условий Коши — Римана, выполняющихся лля аналитической функции з = и+ш. и В теореме 1 н следствиях нз иее вместо гладких кривых можно брать кусочно-гладкие. Примечание 2. Классическую теорему Коши можно сформулировать иначе: если функция з .
С С анатитнческая а замыкании В = В ы дВ, гле  — олиосввзнаа обчасть, и д — кусочно-гладкая кривая, то З(г]дх = О. вп Такую формулировку теоремы Коши можно обобщить. Оказывается, достаточно потребовать, чтобы З б А(В) и чтобы З была непрерывной на замыкании В. Теорема 2 (обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является аналитической на контуре интегрирования), Пусть область В представляет внутренность кусочно-гладкой замкнутой кривой 7 и З' — функции, непрерывная в замкнутой области В и аналитическая в области Р.
Тогда выполняется равенство у(х)да=о, г=(7,7„). г М ПРЕДПОЛОжнМ СНаЧаЛа, Чта У вЂ” ЗВЕЗДНЫЙ КОНТУР, т. Е. СУШЕСтВУЕт таКаЯ тОЧКа Хв б Р, Чта любой луч с вершиной в этой точке пересекает у в одной и только одной точке (см. рис. 71). Например, звездными являются границы выпукяык многоугольников (в частности, треугольников) или кругов. Пусть р($) = хе + Л(1), 0 < 1 < 2зг — параметрическое представление контура у. Согласно предположению, функция Л имеет кусочно-непрерывную производную Л'(1). Преобразование подобия ( = хе+ рЛ(1), 0 < р < 1, отобралгает ориентированный контур Г на контур Г с той же $5.
Теорема и интеграл Коши 169 ориентацией в направлении против хода часовой стрелки (рис. 71). Поскольку контур у лежит а области Р, то по интегральной теореме Коши (следствие 2) имеем 2 У(()6( = / У(зе+ рЛ(1))рЛ'(1)61 = О, !'р откуда У(зе Ч- рЛ(1))Л (1) М = О. о следовательно, ! *'* = Уу( *«!М' !' о 2 ~г(7(зе -1-Л(1)) — у(хе+ рЛ(1)))Л'(1)Ф < а ~~ / (У(зо+ Л(1)) — Х(за+ рЛ(1))!!Л(1)/ Ж. о рис. 7! Так как функция У по теореме Кантора равномерно непрерывна в Р, то 'уе > О 26 > О: !у(з б Р, з б Р) (1з — з ) < 6): )У(з ) — У(з Я < е.
Пусть ацр !Л(1)( = а, аор !Л'(1)) =)3. !во,! ! се!к 2 ! Тогда выполняется неравенство 6 1(зо+Л(1)) — (зо+РЛ(1))! < (1-Р)о < 6, есЛи 1-Р < —, а' и поэтому у(з)г(г < е)М 2к. / г В силу произвольности е > О отсюда следует, что 7(з) Их = О. г Пусть у — произвольная кусочно-гладкая замкнутая кривая. Если она имеет точки возврата„то мы выбросим из области Р круги малого радиуса е с центрами в этих точках так, чтобы граница полученной области Р, не имела таких точек (рис.
72). Проводя внутри Р, линии уь (й = 1, и!), эту область можно разбить на части Рь, ограниченные звездными кривыми 7„' (й = 1, гп). По ранее доказанному 7(з) дз = О, Гь = (7ь, ть ), (г = 1 пз, г', 170 Гл. 4. Инте»рированне в комплексной плоскости. где Гь ориентированы в поло:кнтельном направлении (см. рис. 72). Так как общие части границ смежных областей проходятся дважды, притом в противоположных направлениях, то У 1Т(.)"=11(.)б.=О, Г.=(7.,7Т), ь=», г. » где Г, — положительно ориентированная граница области Р,. Поскольку 7 и 7, отличаются лишь на конечное число малых дуг, а функция у ограничена, то ее интеграл вдоль этих дуг, который обозначим через 1, допускает оценку )1~ С 2лМе, где М > 0 — некоторая постоянная.
Таким образом, интеграл по кривой Г сколь угодно мало отличается от интнрала по кривой Г„равного нулю, вследствие чего У(я)дя = О. ° г Рвс. 73 Из теоремы Коши для односвязной области легко получить теорему о существовании перво- образной аналитической функции, заданной в односвязной области. Эта теорема носит глобальный характер.
Теорема 3. кобая аналитическая в односвязной области Р С С функция У имеет в этой области нервообразную. »я Если функция У аналитическая в односвязной области Р, то, согласно сдедствию 2 из теоремы 1, для всех простых (жордановых) гладких кривых 7, лежащих в этой области и имеющих общие концы, интеграл ~ У(с) бя, где Г = (7, 7 ), имеет одно и то же значение. Действительно, г пусть Г» и Г, — ориентированные гладкие или кусочно-гладкие кривые, с концами в точках зв и я, лежащие в области Р (рис. 73). Рассмотрим упорялоченный набор Г = (Гп Г ), являющийся замкнутой положительно ориентированной кусочно-гладкой кривой. Тогда имеем л»» =(»»»и )у»»» =», г, г» откуда »»»»*-+»»а = 7»»»»~ г, г, г, Поэтому криволинейный интеграл в рассмотренном случае можно обозначить так же, как и интеграл Ньютона — Лейбница » Пусть а б Р— начало гладкой или кусочно-гладкой кривой 7, с б Р— произвольная точка, являющаяся концом кривой у.
Тогда в области Р определена функция Р, где б 5. Теорема и интеграл Коши 171 Пусть (х + Ьх) Е Р. Тогда получим: гьа* Р(х -Ь гьх) — Р(л) 1 /' йе -у = — У(ук)-у() ~ гье ( (4) В связи с замечанием о независимости интеграла от выбора пути, соединяющего две точки, в правой части равенства (4) считаем, что путь, соединяющий точки г и х + 2ьх, является прямолинейным отрезком. Поскольку функция у непрерывна в области Р, то ве > 0 36(е) > О: 1Ь4 < о ~ ~у(г + дьх) — у(х)~ < е. Оценивая интеграл в равенстве (4), получим для Пзг) < й: У(х) дг = О. г' Р(х -1- ьхх) — Р(х) 1 гьз — У(х) < — е!Ьх1 =е 1ььх! Слеловательно, уз Е Р Г'(х) = 7'(х).
м В классической теореме Коши существенным является требование односвязности области. В неодносвязной области не каждый пуп гомотопен нулю, а по нбгомотопным нулю кривым интеграл от аналитической функции может не быть равным нулю, Рассмотрим пример. Пусть Р = (а Е С ) 1 < 1х( < 2), у(х) = -„'. Очевидно, что у Е А(Р). Возьмем замкнутую кривую (окружность) с параметрическим представлением (о(1) = ре*', 0 < 1 < 2е, 1 < р < 2. Тогда т С Р.
Рассмотрим интеграл У(х) дх, г где Г = (7, 7 ) — ориентированная в направлении против хода часовой стрелки окружность радиуса р с центром в начале координат. По определению криволинейного интеграла второго рола вдоль гладкой кривой Г имеем з 2 Р (ре'41 У(г)дх = / У(~о(1))ег'(Г)41 = / и = 2я( й О. ре*' г ь ь Однако, классическая теорема Коши обобщается и на случай неодносвязной области. Рассмотрим зто обобщение. Пуси даны (и+ 1)-связная область Р С С, ограниченная гладкими или кусочно-гладкими кривыми ур (внешняя граница), 7„.7„...,7„(внутренние границы), функция у аналитическая в замкнутой области Р (рис.74), Го = (7о 7ь ), Г1 — (7п 7',"), ..., Г„= (7„, 7„' ] — ориентированные кривые, при обходе которых область все время остается слева. Теорема 4.
При вьтолнении всех перечисленных выше условий слроведливо равенство г(ь. ) „о., К) г(л.. = .. вп гь ь ью где дР— яолоягитееьно ориентированная полная граница обеасти Р, состоящая из контуров Г,Г„...,Г„. т Проведем разрезы у'„уз, ..., у„', превращающие обласп Р в односвязную область Р'. Обозначим через Г' положительно ориентированную полную границу области Р'. Так как область с Р односвязная и У аналитическая в замкнутой области Р, то по теореме Коши имеем 172 Гл.
4. Интегрирование в комплексной плоскости. Поскольку берега разрезов у'„ у,',..., 7„' при интегрировании будут проходиться лважлы в противоположных направлениях, то в силу свойств криволинейного интеграла второго рода получим У(х) а. = ~ У(е)а. + Я ~ У(л) а, = О г г ью е г, (входящие в сумму интегралы по берегам разрезов взаимно уничтожаются). м Теорема 4 остается в силе, если функция / аналитическая в области Р и непрерывная в замыкании Р. 5.4. Интегральная формула Коши. Эта формула определяет аналитическую функцию в области через ее значения на границе области.
Теорема. Пусть Р Га С вЂ” область, у — аналитическая функция в замыкании Р, дР— ноложителыьо ориентированная граница области Р, состояигая из одной или конечного числа кусочно- гладких кривых. Тогда чг Е Р вынолняется равенство у()= —. ) — ( 1 Г У(() 21п' )' ( — х и Пусть л ŠР— любая точка, К, = (х' е Р: |з' — г! ( р) с Р. Рассмотрим множество Р, = Р (К (рис.75).
Поскольку функция с", где Р(Г) = ~~~.', аналитическая в замыкании Ре, то по теореме Коши 4, п.5.3, имеем г(()а( = О, оп, откуда Р(()ас — д~ РК) а( = О, еп вк, где дК, — положительно ориентированная граница круга К,. Получаем, что (2) Рне. 75 вк, В равенстве (2) перейдем к пределу при р О, приняв во внимание, что его левая часть не зависит от р, Правую часть равенства (2) запишем в виде оке вк, После замены переменной ( — л = ре', О ( Г ( 2я, получим: 2 з / У(() Т;рог' Ш Т 1(У(ое'ь -1- г) — У(х)) Ре" — а(=У(Я)у) ей) ь 41=2ЯЕУ( )+1~(У(Рви+ ) — У( )) Ш, / реи $5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
