Книга 2. Решения задач из разделов 9-23 (509316), страница 35
Текст из файла (страница 35)
~::,'.Ь 1! с 1~~ аа 48. Математический лиятнпк длиной l = 24,7 см совершает фЮапкяпие колебания. Через какое время / энергия колебаний ~ЩФинка уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить прп значении 4гаРифмнческого лекремента затухания: а) Х = 0.01; б) Х = 1. 1фшеииез ЬЯ затУхающих колебаний имеем А, = Ао езр~-Х вЂ” илп ,'Ае (1«/~ 4 1.т/ ==~Р— — (1). Период колебаний математического /! ватника Т = 2~г — — (2). Подставляя (2) в (1). полу чаем К вЂ” — (3). Полная энергия колебаний '(2 ~! ) 295 2д лс 1Г0 й'= —,А, и по Условию — '=гс, где?с=9,4 Раза, тот ! 3 сс= — или, с учетом (3), Й=ехр — ~ — — (4) ц Кс ~~ логарифмируем уравнение (4), тогда Ыс = — ~ —, Ото.
гг ~1 время, за которое энергия колебаний уменьшится в 1 ра д Г1 — — ?л/с — (5). Подставляя в (5) значени: лога к~й рнфмического декремента затухания, находим; а) для Х, = 0,01 вРемл Г, =144 с; б) дла Хз =1 вРемЯ г, =1,1 4 с 12.49. Матемаппгеский маятник совершает затухаюшпе колебания с логарифмическим декрементом затухания К = 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание? Решение: Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид х = Ае ' з?гс(аз 1+ сд) — (1). Для нахождения ускорения маятника продифференцируем дважды по времени уравсгх сг 1 пенне (1).
Имеем: г= — = — (Ае 'з?п(езг-.са)1; й с?г к = Ае а'(-дзггг(азг+ ср)+ озсоз(аг! -ь р)] — (2) — скорость Й с7 колебаний маятника. Тогда и = — = — х стг сге х~(Ае '(-с5 зги(ог+ср)+осот(азг+со))); г = Ае '()Б +аз")зйг(азг+со)+ сысоя(азг+ р)) — ! 3 ь уравнения (3) находнлс аа — Ае 11(д + оз нт сд+ д аз сод (а~ и — Ае ' '1(о'+о )лп(2зг+ср)+дазсоз(2гг+ср)1 296 в е езт — (4). По определению логарифмический "в нт затухания Х = дТ вЂ” (5). тогда, подставляя (5) в оо елыю гюлу аез1 — е 1.,22. :~~);:.око а я2.5о. Амплитуда затухаюших колебаний математического втайпшкв за время г =1мип уменьшилась вдвое. Во сколько раз шится амплитуда за время з = 3 мин? ение: ошенне начальной и конечной амплитуд колебаний Ьв.
задачу 12.43) — (1). — = ехр— ЩЗрлогарнфмируем уравнение !л — ' = — ~ —, отсюда ~А,) 2~г з ! 2 1! 1А) вещна уменьшения амплитуды ! = — — !и— Н '1!'6 1,А,!' М; ,, !л(А,~А,) ФИздовательно, — ' = ' ', отсюда !и — ' = — '!и — ', !, ! (А,УА,) вййдовательно, — = ех~ — - '!л — ~ = 8 . А,~ 12 51 Математическин л1аятник длиной ! = 0,5 и, выведешзый ввый из положения равновесия, отклонился прн первом коле- на х, = 5см, а при втором ( в ту же сторону) — на см Найти время релаксашш (, т.
е. время, в течение кото"лнтуда колебаний уменьшится в с раз, где е — оснонатуральных логарнфлюв. 297 Решение: Уравнение затухаюшего колебательного двцжеш1я и,, и'еет вид х= Ае "' злг(юг +9) — (1). Из уравнения (1) нз „,,„, х, Ае збл!в е — — „— е — (2) По 5 слов, х, Ае 'зкч(2п-ьгл) е" ев =е — (3). Прологарифмнровав уравнения (2), (3) полУчаем Л'=!л — ' — (4) и й =1 — (5). Разделив,'4! на Т х, (5), имеем — =(и — ' или х, 12.52. К вертикально впсяшей пружине полвешнваюз груз, Прп этом пружина удлиняется на Л! =9,8сы.
Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать ковсбмшя. Каким должен быть коэффициент затухания е, чтобы; з| колебания прекратились через время г =10с (считать условвс, что колебания прекратились, сели пх амплитуда упала до ' Ь ст начальной); б) груз возврашается в положение равновесия вперяодически; в) логарифмический лекремент затухания кс;:балля был равным Х = 6 ".
Решение: а) По условию — '=0.01=!К вЂ” (1), где А, =Ае" — 2)" '!о А, =Ае ' — (3) — соответственно начачьная и кгч .чная амплитуда колебания груза на пружине, Подставлю: 12) " -а (3) в (1), получаем —, = 0,01 или е' =100 е „а 4!. е 298 колебаний математического Подставляя (7) в (6), 2тг ~Гд = 6,44 с. н(,,/,,) '"" Т вЂ” (6).
Г!сриод !п(х, /х,) маятника Т = 2я~ф/д — (7) находим время релаксации ифыируя уравнение (4), получаем й = 1п100, откуда Уп)00 ициент затухания Б = — = 0,46 с '. ! случае апериодического возвращения системы в ожение равновесия коэффициент затухания Б = и,— ';,. х где аз — начальная циклическая частота колебаний. "у'„скольку (скк пункт в) ш„ = ~ — — (2), то, подставляя Гк ~Л1 ~ь в (1), получаем 6 = ~ — = 10 с '. Г 'з Ы фф11р определению логарифмический декремепт затухания 2~т .:=б2' — (1), где Т = — — (2) — период затухающих ф *' 'ебаний. Из (1) с учетом (2) коэффициент затухания '' К вЂ” (3). Циклическая частота затухающих аний аз=.Я вЂ” 6 — (4).
Подставляя (4) в (3), ~о м Б = — (5). Поскольку колеоапия 2гг на пружине совершаются под действием двух сил: Яфпы тяжести ~лд и силы упругости Е = хаузl, где /г ~Йеткость пружины, то в состоянии покоя вд=АЛ/, лз М йз~сУда — = — — (б). Иачальный период колебания ~ р)за д :."ь.=2л~ — или„с учетом (б). 7,' = 2гг ~ — — (з) Из ~т ЬРмУлы (2) начальная циклическая частота ш = или, Т., в,учето ~ (7)~ сз) —, тогда О, = (8). Подставляя 1Л1' ' ' М 299 Х.
— ' — бз ) Л! (8) в (5), получаем д'= — (9) и. возвела о- части уравнения (9) в квадрат, окончательно и;х, ..с„,с Й, 12,53. Тело массой ш = 10 г совершает затухаюшпе ксэебапвя с максимальной амплитудой А„, = 7 ем, начальной фазой о =0 и коэффиш~ентоы затухания д =1,бс '. На это тело»а~зла лействовать внешняя периолическая сила Г, под лейстаиеи которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет впд х = 5зп 1Огл — †'1си, Найти (с числовыми коэффициентами) уравнение собсш.нных колебаний и уравнение внешней периолической силы.
Решение: В случае, когда внешняя сила изменяется по гарьзоническому закону, колебания описываются днффсренциальным уравнением х+26т+о х=/' соко!, где Б— коэффициент затухания, о, — собственная ыстота системы, о — частота силы. Обшее решенис данного уравнения является уравнением собственных колебаний и имеет вид л =.4ее "я!иоаг, Па условию сдвиг фаз между 3я собственными и вынужденными колебаниями равен —— 4 26о 1' 3~ ) следовательно, !д(л = ., = !д — — = 1, отсюда оо о„=з!о" +2бо . Подставдяя числовые данные, »;му"" чии о, = 10.5л . Тогда уравнение соостаенных кслсоа"ии примет вид х= 0,07е си ээп10,5ж! м. уравнение а»эшие 300 внд Г ГО "1пс'! ' периодической силы з е ! ической силы имеет нмальное значение внешней ,,ы,ь,~Д- 1+ м~ ' -7Г н.
:А- виешн шней периодической силы Г= 72л1п!0л1ыН, Тогда уравнение будет иметь вид ~Фняенне: 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0.01 20 40 бО 80 1ОО 301 12.54. Гиря массой гл = 0,2 кг, висяшая на вертикальной прунне, совершает затухаюшие колебания с козффиниентом зату',лина б=0,75с '. Жесткость пружины /с = 0,5кН/и. Начертить Лавнсимость амплитулы А вынужленных колебаний гирьки от ,„стоты внешней пернолической силы, если известно, что максиНанвное значение внешней силы Г, =0,98Н. Для построения ,~рафиканайтизначеиие А лля частот: 0 =0, в =0,5, в = 0,75, :,1в щ„э=1,5ш, и ш=2ге,, тле го, — частота собственных лолебаний подвешенной гири.
Период !,., й гири, ш!с .." лз с,=!ти кипе. Т = "и„! — — (1). ! ' Д)гатой:!! Ро!и.!. Припаглшззя правые пети ур!,ш!с!!и)1 (1] и ! ', Г !!! 1 Я вЂ” — — тогла га =,' — = бс )) ! ш„)'ш — !л !. !а с вынул'леш!ык колебани) .1= !!!-т!,го. — га ) ~-ДО и Произведя расчет знаке!.ий! амплитуды по форм ..ю учетом (3), строим граф;иа ). с 0 25 37.5 50 75 сх с -! А, и 0.0020 0.0026, 0,0045 12.55. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив ы в вале ряла углуолений.
нахоляшихся на расстаявши 1 = 30." зруг от друга, По этой дороге покатили лстскую коляску, им: . а)ю лвс ! и!каковые рессоры. кагнтая из которьс' прогиб:";, на .т! = .'1 см пол действием груза массой кп = 1 кг. С . кой скоростью т ка!или коляску, гсл,! и тол нов нл кгл . с!ях она, попав в резо!ганс. начала с!.!ьио раскачиватькяз асса коляски 31 =10 кг. Решение: Коляска начнет сильн.! раскачиваться. если прои: ток кю'кду двл!я послсЛОвательныти! то.!чкаки! иа .!) блениях булат равен периолу собственных кс ., ' ни!' коляски. которьш моэкио нанти по формуле Т = Па ! ! каки, ю рессор; приходится масса и! =-— : кг. ю, с Коэфф!щиент у!!р'тости к = — '' =-490Н!и, По. 302 ,вые данные, получим Т = 0.63 с. Кроме того, Т = —, числовы „уда у=-=0,43 'с 12.5е. Найти алину волны 2 кслсбзиия, периол которого 10-ос Скорость распространсюм колебании с= 3 !0' м с.
Решение: По определению длина волны колебания й = сТ = 3 мкм. Решение: По определению длина волны колсба|шя 2 = сТ вЂ” (1). Т.к. частота колебаний г есть величина. ооратиал пе- 1 риоду, т. е. и= — — (3), тогда. подставляя (3) в (!), Т с получаем Я = —, отк)да скорость распространения колебаний с = йг = 350 м'с. Ркссмл1риваа юс!ииы вот..: .". как материальные точки.
ваги и'и л.ы скорости уравнение с~х 2т (2;, г= — = — Асов — г — 'га,. Поскольк, ог т ~к Т (2л. сох~ — г ч- (с = 1, то 1,т —. — Л или с 5 чстом ! 2). Окончательно поль гим 1 :, = 0.73. 58 Уравнение исватуклккн ' нелсон'иг' имесч вид х= !Оии— л 1 ем Нъпи ~!ы н ~~ ! ~ с ~и скоо0~1ь ! ~лро 2 иия колеса!и и,.= 300 ц с 1,,.,.. л. и итгйр.~пть г! лфлстраве чески ъ а уравнение колеоанил лля то нн . окстг яюсй и ' глссгънн1и 303 12,57. Звуковые колсйи~ия, ичсюии:е частоту н = 500 Ги и амплитуду А = 0,25 мы. Распространяются в вовлукс. Длина велим 2 =70см, Найти скорость с распростраиеипа колссанпй и максимальную скорость 1„„частиц воза> ка. ! = бООм от источника колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
