Книга 2. Решения задач из разделов 9-23 (509316), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Начертить график этого движения. х, =0,05з1п — =0,035; л 0 05 и' — г+ — . Ото!ода ~,2 2) хз ' 12 4/ = 0,05з)п — 1,5+ — = О, 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 м О 035 0 050 0 035 0,035 — О 050 035 О ООО 0 035 12,4. Написать уравнение гармонического колебательного ввижения с амплитудой А = 5см и периодом Т = 8 с, если на- уГ 3л явльная фаза ге колебанвй равна: а) О; б) —; в) х; г) —; 2 2 я) 2л..
Начертить график этого движения во всех случаях. Решеине: 0,06 0,02 -0,02 -0,04 -0,06 У Равнение гармонического колеоания имеет вид: х=А 'г з)п~иг+ез). Круговая частота сэ= —. Подставим 2п Т число вь еловые данные. уравнение гармонического колебательНого го движения будет иметь вид: 261 Фг а) х = 0,05 згп — г'; б) х = 0,05з1п — г+ — = 0,05 сок — г; 1.4 2! 4 в) х = 0,05зт — г+гг =-0,05ип — е; 'к4,/ 4 , (и Зг1 и г) х = 0,05 ап| — г+ — ~ = — 0,05 сок — г; 'з,4 2) 4 и д) х = 0,05 з)п — г . 4 12.5.
Начертить на одном графике два гармоническим колебания с одинаковыми амплитудами А, = А, = 2см и одинаковыми периодами Т, = Т, = 8с, но пмеюшие разность фаз газ — р„ равную: а) —; б) —; в) и; г) 2п. 4 2 Решение: Уравнение гармонического колебания имеет вид: 2п и х = Аз)п(озг+аз). Круговая частота а> = — = —.
Пусть на- Т 4 чальная фаза первого колебания гр, =О, тогда его у'рав пение будет иметь вид: х=0,02зуп — г1 Подставляя чи'з4 ) словые данные, для второго колебания получим: а) х = 0,02з)п — г+— 1,4 4) 262 г) х = 0,02 згп — г 1,4 з 0,03 0,02 0,01 -0,0! -0,02 -0,03 12.6, Через какое время от начала движения точка, совершаюшая гармоническое колебание, слзестптся от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний Т = 24 с, начальная фаза ез = О. Решение: Уравнение гармонического колебательного движения име .
(2зг ет вид: х= А41п — г+рз . Подставляя числовое значение 1,Т ,(, 1 периода Т и начальной фазы гд, получим х = А41п — г), 'з,12 ) А ,(т 1 зг зг По условию х= —, отсюда 0,5=ззп — г, — г = — или 2 'з,12 ) 12 б г = 2 с, 12.7. Начальная фаза гармонического кодебання д = О. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине се максимальной скорости? 2б4 Рйваеиие: „ние гармонического колебательного движения име(2гг ег вид: — 1 Т .
х=Аип — г+го . Скорость точки, совершающей а~х 2гг (2л 1 ебания, т ж —; г = — Асоз~ — г~. Максимальной ской' Т ~Т (2гг '1 2гг Рости точка достигнет при соя — г =1. Т. е, » = — А. Т ~ ' ' ' ят 2гг (2~г 1 гг — Асоз~ — г~ = — А; т ~Т~ т цо условию т = — """, тогда 2 2гг 1 2>г 7г Т :сгм — =-: — г= — 1 г=— Т 2 Т 3 6 12.8, Через какое время от начала движения точка, соверИжюшая колебательное движение по >равненюо х=7гьоч — г, 2 проходит путь от положения равновесия до максимального сме3$Фния7 Решение 265 По Условию точка совершает гармоническое колегг батальное движение по закону х = 7 з1л — г .
Сопоставляя 2 вто Уравнение с общим уравнением гармонических колеба2л "ий х= Акт — г, находим, что период колебаний Т= 4 с. оа время равное периоду колебаний точка совершает одно и~нное колебание, а прохождение пути от положения Равновесия до максимального смещения составляет время Т г = — = 1 с. 4 12.9. Амплитуда гармонического колебания А = 5 ем, пер — , псрпод Т = 4 с. Найти максимальную скорость гг„колеблоще вся т„ я точ кп и ес максимальное ускорение а„, Решение: Скорость и ускорение точки, совершающей колебания г7х 2гг ( 2к определяется соотношениями и = — = — А сох~ — "г .г Т ~Т™~ Ь г(зх 4ггг, (2гг и а= — = —,=- — гАхгп~ — г+ггг .
Они имеют максим 71' Т' 1Т мальные значения соответственно при равенстве си. 2гг нуса и косинуса +1, т.е. гг„„,= — А=7,85 10-мгс и 4гт г а„„, = — —,А =0,12 ы/с . 12.10. Уравнение движения точки дано в виде (я х1 х= 2тгп — г+ — гсы. Найти период колебаний Т, макс:гг|аль- 1,2 4у ную скорость г„, и макспмальное ускорение а„,„точки. Решение ( ф Сопоставим уравнение движения точки х = 2зггг~ — г ' -~ 11 41 с общим уравнением гармонических колебаний , (2гг -,а х = А х1п — г+ 4г! . Тогда амплитуда колебаний А =- см. 'г,т период колебаний Т = 4 с.
Максимальная скорость И максимальное ускорение (сы. задачу г г~„„,. = — А=3,14 10 мlс и а„„я = —,А=4,93 10 2гт, 44гт 2бб 12д1. Уравнение движения точки дано в виде х=з/л — г. б ф моменты времени Г, в которые достигаются максимальскорость н максимальное ускорение. -'''" ение; г/х гг л раорость точки т= — = — сох — г. Максимального значег/г 6 б ~1ья она достигает при сох — /=+1 или — / =ил, где и = О, ар:.
б б 3 ~'" 2, 3... Соответствующие моменты времени /= О, б, !2, Ф,: г/у т', т е „.. Ускорение точки а = — =- — з/и — / будет максиг/г 36 б . л л (2л+1)т фльны м при а/л — г = 1 или — ' г = , Отсюда най6 6 2 .'ирм' моменты времени г, соответствующие максимальному иаекореиию: г = 3, 9, 15 с ... 12.12. Точка совершает гармоническое колебание. Период код31баннй Т = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза д = О.
';~!нити скорость ы точки в момент времени, когда смешение точ!Рй.от положения равновесия х = 25 мм. -'.'~~иаеиие: . (2л ! ~яравнение колебания точки имеет вид: х = Ай ~ — г), '1,т !' агсз/л(х/А) 1 с/х откуда т = ' = — с. Скорость точки 2гг! Т б г/г 2л (2;г '! "= — Асоз~ — г~. Подставив полученное значение Т улучим а =13,6 см/с, 12,1 . Написать уравнение гармонического колебательного даиже ения, если максимальное ускорение точки а„= 49,3 см/с, г 267 период колебаний Т = 2с и смешение точки от положения „ рав. повесил в начальный момент времени х, = 25 мм.
Решение: Из уравнения для максимального ускорения (см зада„ 4зг А 12.9) а„„, = —, найдем амплитуду колебаний А = — '', = 5 см. Подставив значения амплитуды и и„„,. Т 4зг периода в уравнение гармонических колебаний, пол>чим х = 5 л!л(зг г -ь дз„) — (1). Начальную фазу колебаний найдем из условия, что при г = О х = х,. Тогда уравнение Л., (1) примет вид: хц —— 5 дйз 4зе, откуда хйзазе = — и 5 хс т щ, = пгсх1п — = —.
Подставляя начальную фа,у в 5 б уравнение (1), окончательно получаем х = 5 хи а1 + — !. 12Д4. Начальная фаза гарлюнического колебания р = О Пра смешении точки от положения равновесия х, =2,4см сьорость точки т, =3сьрс, а прп смешении х, = 2,8см ее скорость а, = 2сЫс. 1!айти амплнт>д> А н период Т этого колебанпж Решение: Т. к по условию начальная фаза 4з = О, то уравнения дл" смешения и скорости будут иметь следуюшнй вп"' 2т 2х 2т х= Алйз — г — (1) и з = — Асов — ! — (2), Из 'рав Т Т Т 2,т х 2г Г-~ пения (1) находим хт — 1 = — или сох — г = )~! — —- Т А т )!' А- ка 2т ~г хг (З). Од П дставляя (3) в (2), получаем г = — А.
1 — — или Т ] Аг 4нгА г х 1 4гг г г 'г ~1 — — ) = — „1А — х ). Для заданных к г г Тг т 1 ) зиач „ачений смешения и скорости получаем г 4 г — (А — х, ) — (4) н уг = — (А — хг) — (5). Т Т' уг 1г — хг 1газделим (4) на (5), тогда — ' = ' или г 1г г г г г г .Ря- К-К- ОА'. о* а А- .~~, =зз, г,'-г„' г г Нз уравнения (4) период колебаний Т = — зг А — х, = 4,1 с. г, 12Л6. Уравнение колебания материальной точки массой Вг=16г имеет вид х=01ггп — г ь — м. Построить график (8 4/ ззвисимости от времени ! ( в пределах одного периода) силы Е', ФМетвугошей иа точку. Найти максимальную силу г Уешеннег ЗЕ-4 2Е-4 1Е-4 ОЕ+О .2Е-4 .ЗЕ-4 269 гт Т.
к. уравнение колебания имеет вид л. = 0,1кгп~ — г е — ! движении а = — ', тг .х г1г ускорение при колебательном гт г»„= 0,1ггг — = 246 мкн. Для построения графика необходимо также найти пересечение с осью абсчисс зю — 'гь — )=О, откуда г, =бс. Подставляя числовые 1,8 4) данные, построим график зависимости в пределах оэного периода. 12.16. Уравнсние колебаний материальной точка ьшссой л пг =10г имеет вид к = 5тгП вЂ” г+ — )сы. Найти максимальную 5 4) силу Г„„,„, действующую на точку, и полную энергию !Г ьсле блюшейся точки. Решение гт Т. к. уравнение колебаний имеет вид х = 5згп — г 5 (1), то ускорение при колебательном двия"гщ" т г т! .х гт, (гт >т>г - ла, а = —,' = 5 — тг' г! — г+ — ) .
Тогда максимальная сил ' т1г 25 ~х 5 4) действующая на точку (скг. задачу 12 !Э)' 270 = О,! — кггг~ — т+ — ). Сила, под действием которой точка 64 ~8 4) массой пг совершает гармоническое колебание > т , (гт гт) 2т = гпа = 0 !ггг — згп — г+ — ). Эта сила будет макси- 64 ~х8 4) , (гт мальной, когда тгп~ — г -ь — ) =1, откуда г = 2 с. '1огда ~х8 4) »»> 2 п1 -197 мкН. Кинетическая энергия матс- фФ 5 пп,' ЙА'в' соя'(ох+ (д,) ьной точки равна 11'„— 2 2 ипиальная энергия материальной точки равна Мз з(п'(а~, гд,) а т.к.
)г=игв, то я пяв А' 51п (вг + сря) "аг — Я . При этом за нулевой уровень 2 ависта потенциальной энергии выбирается положение иовесия (х = О ). Полная энергия колеблющейся точки гпв А 2 2л ад~ " 2 ф~ =1г' +1Г = — или, с учком в= —, имеем Т' ~:с;.2л гл ф ' — А — (2). Из уравнения (1) амплитуда А= 5 ем Т 1врвриод Т=10с, подставляя их в уравнение (2), получаем ф'' 4,93мкДж. Ьа: д ~ИЛ7. Уравнение колебания материальной точки массой Гл л1 яа":*1бг имеет вид х=2я1п~ — г+ — ~см. Построить график ~4 4) $41веимости от времени г ( в пределах одного периода) вйиетической и"„, потенциальной 11'„и полной 1Г энергии Фйки, ~$шение: , р, имения для кинетической и потенциальной энергии ков гп 2 з(йевющейся точки имеют следующий вид: 6'„= — х 2 а Аз 2 2 А соя (вт+(а) и В'„= — А- з1п (в1+(а). Полная энер- 2 ятв1 Коп еблющейся точки 1г" = — А (см. задачу 12.1б).
в уп з 2 271 2,5Е-6 2,0Е-6 1.5Е-б 1,0Е-6 5,0Е-7 О,ОЕ+О -5,0Е- л х По условию А=2см, аэ= —, гр= —. Подставляя шсло 4 4 вые данные, получим И'„. = 2гг 10 э соа ~ — ) + — !Дяс з(л И;, =2л 10 ' згиз — 1+ — Дж; И'=2л 1О 'Дж. 4 4) 12.18.
Найти отношение кинетической И'„. энергии 1счк|ь совершавшей гармоническое колебание, к ее потенциг|ьнсй Т Т энерпш И'„для моментов времени: а) г = —; с) 12' 8 Т в) г = —, Начальная фаза колебаний га = О. 6 Решение: Т. к. по условию начальная фаза колебаний 4э= 0 уравнения для кинетической и потенциальной энергия колеблюшейся точки имеют следующий вид 2л-т ., 2л 2лд! э . 22л И; = —,А гозэ — ) И;, = —,А Бй (.
1огдз Т Т " Т Т И;. гоз (2лГ~7 ),, г) г — '= . - ш ~-":-' '' аи!-(2лтl Т) 272 Т Б'» т Если г= —, то — "' =сгд — =3, б) Если г = —, то в) Ес 12' и„б ' 8' ггг 1 — "=сгп 3 3 г гг Т М~ сглаз — = 1, в) Если г = —, то 4 б »»» 12 19. Найти отношение кинетической энергии И, точки. сошшошей гармоническое колебание, к ее потенциальной эперй~, для моментов, когда смешение точки от положения рав- А А н овесия составляет: а) х = —; б) « = —; в) х = А, гле А — ам- цаитула колебаний, 1220.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
