Книга 2. Решения задач из разделов 9-23 (509316), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Наиз уравнения гд = агс(я1,94 = 281 . 12ЗХ '3- и Результате сложения двух одинаково направленных а1вввм нических колебаний с одинаковыми амплитудами и оди3Е1а:ке и мми периодами получается результирующее колебание с '.,»аке периолом и той же амплитудой. Найти разность фаз Ф~:-'и с У~ сквадываемых колебаний.
( 1'1 . гж баннй гд, — р, = пгссол~- — ) =120' = —. 2) 3 12,33. Найти амплитуду А и начальную фазу о гарна. нического колебания, полученного от сложения одинаково ял. правленных колебаний, данных уравнениями х, =4иЛояси в л1 х, = йл я»+ — ) см. Написать уравнение результируююс о кале. банна. Дать векторную диаграмму сложения амплитуд. Решение: Из уравнения колебаний х =4лкелт и х, =3» 1 хяи ят+ — находим аи плитуды колебаний А1 = =4см и А, =Зс» н и» начальные фазы д ="" Я гоз — . Амплитуда »г и лез» результируюше~ о коле 12 31) пия (сы.
задаю 0 1 2 3 4 282 Решение: При сложении двух одинаково направленных га нических колебаний одинакового периода пол,ч„ '-' естся гармоническое колебание того же периода с амплнп, "одой 3 2 А= А;+А, +1А,А,сох(гоз — 4»,) — (1). Т. к. по услов А, =А, =А, то уравнение (1), возведенное в квадр примет вид А' =А'+А ч-2А'соя(гол — 4»,), отку, 1 сол1го, — 4л, )=- †. Тогда разность фаз складываемых кол =5см, ~~!!!м а!л + А2 ~~нР2 У': Ь вЂ” а — — — ~=073, 'ФУ А соя гв! + Аз с05 ц) з „гсге0,73 = —.
Тогда уравнение результирующего ко- 5 л балля будет иметь вид х= 5з! гл+ — . Для построения 5! .,'!88!торной диаграммы отложим от начала отсчета векторы, .аипгы которых равны амплитудам А, и А . Т. к. гл, =0 и й-= ' '- —, то оба вектора лежат на осях координат. Сложив 2 ,йййторы по правилу параллелограмма, получим вектор 'чйй!!литуды результирующего колебания. ; 'й4234. На рис. 1 лан спектр результирующего колебания.
' уась ланнымн этого рисунка, написать уравнения й, иэ которых составлено результирующее колебание. е!!тить график этих колебаний. Принять, что в момент г = 0 фаз между этвмл колебаниями Гв, -д, = О. Начертить зффик результирующего колебания. ", '7' 4~Мание! а!Ь,'спектру сложЭйяо, колебания А,м я!Ждем амплитуду 'и частоту каждого 0,03---- составляющих х!!олебаиий. Имеем: 4 ='0,03 м; кг=0,ггпу Ь=О,огм; 0,01 "- .изма 0,5 Гц; Аа 'О,О! „; Ф'= ' :...э; 71Гц.
Рис. 1 0 0,2 0,4 О,б 0,8 1,0 283 Тогда уравнения этих колебаний булуг иметь х= О,ОЭхш — г м; х=0,024(плг м; х = 0,01згл2гл „ ставим таблицУ значений х = ~1! 2 длЯ данных ко: ебан„- ании и построим их графики (рис.2). Затем, сложив зна 1ения я х, соответствующие одним и тем же значениям 1, под~ ' график результирующего колеоания (рис.З).
004 х'м 0,03 0,02 0,01 0 -0,01 -0,02 -0,03 -0,04 0,06 0,04 0,02 0 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 284 1255. уравнения двух гармонических колебаний имеют вид «~ = 5к;л4ггг см и х„= бзгп !Огг! см. Построить график этих ко~й. Сложив графически эти колебания, построить график ьгирующего колебания. Начертить спектр результнруюв!его колебания. Уеигриие: Соотавим таблицу значений х= ~'(г) для данных колебаний и построим их графики (рис.!). Затем, сложив значения х, соответствуюшие одним и тем же значениям г, зв;луням график результируюшего колебания (рис.2). Из уравнений колебаний найдем амплитуду и частоту каждого из них.
Имеем: А, = 0,03 л~; к, = 2Гц; А = 0,06м; 0,10 0,05 0,00 -0,05 -0,10 нс. 1 0,10 0,05 0,00 -0,05 -0,10 Рис. 2 285 из = 5 Гц. По этим данным начертим спектр ре резуль. тирующего колебания (рис.3). 0,06 0,04 0,02 0 1 2 3 4 5 Рис, 3 12.36. Уравнение колебаний имеет вид х = Аып2хмр, прячем амплитуда А изменяется со временем по закону А = А,(1+соз2згз'зз). Из каких гармонических колебаний состоит колебание? Построить график слагаемых и 1зезульпь руюшего колебаний лля А, =4см, к, = 2Гц, кз =1Ги. Начер.
тить спектр результнруюшего колебания. Решепззе: По условию х = А зйз 2зггз — (1); А = Ав(1 + сох 2;и г)— (2). Подставляя (2) в (1), получим х = Ав(1+ соз 2згкзг)41п 2пк1; х = Ав гбп 2згк,г + Ав сох 2згкзг гбп 2'гз',г; х = Ав з(п2згцг+ Ав /2вп(2зг(г, — кз)з)+ -ь Ав /2з1п(2зг(к, + кз)г). Т. е. данное колебание состоит вз трех гармонических колебаний. Подставляя числовые лвн ные, построим график слагаелзых (рис.1), график резун ,зкньтирующего колебания (рис.2) и начертим спектр рсз.'"ьт рующего колебания (рис.3). 286 я одгщаковой начальнойг гйазой гя, = р, = —. Ллгплп г;.зьг бакай равны А, = 0,10 и н А, = 0,05 м, Рещение: При сложении двух взаимно перпендикулярных ко1сбаггггй одинакового периода уравнение траектории рсзульн р» т у 2тк щего колсоання имеет вид —, е —.—— А,з Л; 1:1, х соя(гр1 — (О!) = 5гп 1(гь — ггзг) — (1).
Т. к. у х у то уравнение (1) причет вид — ', + —,— А, Азз нас гд, — н, =0 2зу — - О, пли А,А, л у г х к А, — — — = О, откуда у = =зх — уравнение ..рячой А, А, 1 А, линии. Таким образам, результирующее колебание судет происходить по прямой линии. Угол наклона прямой найдется из уравнения ца = — - '= 0.5, т. е, гя - 26'34', А, Период результирующего колебания равен периоду слага ечых колебаний, а амплитуда результирующего ко банна А =,~А, е А, =11,2сч. Следовательно, уравнение резуль ( тирующего колебания имеет вид; з =11,2згпи 10лт - —, ,'схс 3 ' 12.38. Точка участвует в двух колебаниях одгшаьовз: яер „, легче ола с одппаковычн пачкзьггыин фазамп. Лмплнззгды л л'соа" равны А, =Зсм и А, =4см.
Найти ачгшпгулу А р:0 "' ° от гшу' оч яа' юшего колебания, сслп колебания совершаются: а1 в ~|як правлении, б) в двух взаимно перпсндпкулярггых пзпрах -':. 288 12.31. Наапсазь уравнение результнр>юшего колег;ишч ' " нп'~, по. лу гаюшегося в результате сложения двух взаимно и „и. дпкулярпых колебаний с одинаковой частотой г = е. = . г. .*а к ян шеиие: ) 22 сдучае сложения одинаково направленных колее) й амплитуда результирузощего колеоаггия А= Учитывая, что (42 — щ)=1, найдем Л = 0.07 м, б) В случае слогкення „ух взаимно перпендикулярных колебаний амплитуда резудьтиругощего колебания Л = . ГЛ,— + Л:;; Л = 0,05 и, 12.39. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных жщебаггиях х=2загсмм и у=2созссгм.
Найти траекторгво ''тезуяьтируюпгего движения точки. 22ешеииег Из уравнений колебаний х=2згугогг — (1) и у =2созог(— Х (2) исключим время. Из уравнения (1) 8122 ог = —, из ос- 2' иовного тригонометричсского тождества созгог = Яе пРеобразования получим уравнение окружности радиу- 2 1 сом Я- и Л = 2 м, которое имеет вид — + — = 1 . .т )1 4 4 12.40. 40 Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных коЯебаинях 22 " х = сот гг 2 и у = соз — 2, 11айти траекторию результиРУкгвгего 2 о движения точки и начертить ес с нанесением масипаба.
1~ Згщ 289 „г = )~1- —— 4 у = 22~1-— 4 (3). Подставив (3) в (2), получаем 2 или у = 4~ 1 — — ) = 4 — х . Отсгода пос- 4 ) 12.41. Точка участваст в двук взаимпо перпсидп!О.. лебанияк т = яш т! и у = 2з!п~ и! —. — '), На!!ти тр!кь., "о ре зальтируюшего двиькепия точки. Регпени: ;шсч точки опиа,шастая !и!я к!атериальн!ч! :ь! ва- 290 Решение: гг !1.к, сс«! ьг! Ичееч у=со! — ! = ! —, откуда 2у — 1=. с, 11! 1 услов!ио к=со!гп.
отсюда — =! или "г Х уравнение параболы. При с.юккс!ип! дь!к вш!и!по пер!он И!к з!ярлык чсскик колеб!атег!ы!ык,гви!пеги!б! материалыю описывасчык урависииячи л =.!!с«т(са !- = Ьспзгп! ! — гр ° ). т)к!акте!!ия рс3тдьгпрч!Ои!ш к ! 2л! — ', -.—,— — соя« = зш и, где ра!иосгь фа «1! «! смык колсбаип!! а =- гд,,! — о.л . У иас « =1 „1 =- :опе- , !ка!, и л чл числовые данные, получим —.~- — — 1, т. е, о яч42. Точка участв1ет в лаух взаимно псрпеилпк)лярных коде а баннях я = 5иптг и у = 4зпнп ";.). Наиги траект01мио ре-„,„уьощего движения точки и начерппь ее с нанесением ауль "Ч вгтаба.
рЕяи ение: Из уравнений колеоаннй х = з 1п пг — (1); у = 4 яп(лт ч 'т )— (2) исклкзчим время. для этого преобразуем уравнение (2), вспсльзуяформулусннусасумх|ы: чппт-''т)= з1пгг1созтг+ +соазтгзтпп = — з(ппг, т, к соз;т = — 1 и .чп ° = О. Тогда уравнение (2) причет внл у =-4зпмтг — (3). Подставляя ' ' в (З), получаем уравпспис траектории т= — 4т, т. е. И) в траекторией является прямая. $2.43. П *ернол затухаиэших колебаний Т = 4с; логарифмический * лекремент затухания ~, '= !.б; начальная фаза р = О. При Т сме мевзение точки х = 4,5 ем. 11аписать травление движения 291 этого коэеоаиия.
17остроить график этого колебания в прелеээх двух периодов. Решепи»: Уравнение затухающего колебательного движения пмсст вид х=Ае" зива>гэ-(э) — (1). Круговая часто и 2эг к еэ = — = †. Логарифмический декремент затуха~ и . Т 2 Х =Т Х = БГ, о~куда Б = — = 0,4 с . По условию г = —. Т 4 е =1с.
Зная значение х в этот момент времени, найлом амплитуду, Подставляя числовые данные, пол) им ;! = 6,7 и. Тогда уравнение движения имеет вид х = 6,7е кги з)п — г — (2). Для построения графиков кол.- ( 1 банна найдем моменты вРемени 1,, (,, ~з ... соотесэствующие максимальным значениям смещения х. Макси— с7х мум х найдется из условия и= — =О. Из уравнения (1) СЬе находим (при гр= О) э = Аве а созга~ — Лбе а з1нго1 = О.
и 2т отсюда ~абаз! = — = — — (3). Из уравнения (3) видно. ". и б Х при незатухающих колебаниях, когда Х= О, вели ~ и '. т 2к! к Т цги~ = о или аэ1= —, т. е, — = —, или Г = —. В на~ . 1 2 Т 2 4 2~т же случае гйеэ(= — =3925, т. е. го~=75'42'=0421.г. Х гг откуда ~ = 0,421 — = 0,842 с. Таким образом, .т = э„,„ еэ О =0.842с: гэ =г,+ — =2,342с, В =О+Т=4,342с Т 2 3Т г„=г, + — =6,842с и т.д.
Подставляя соответствуки „;: 2 292 числовые значения в (2), получим л., = 0,1 см; х, = 0,1 7 ск: х =0,12 ем! х, =0,08см. По полученным данным пост оим график. 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 -О,О! -0,02 -0,03 12.44. Построить график затухающего колебания, данного ,-3 к уравнением х = 5е " х1н — е и. 4 Решение: Подставляя значения г в интервале от 0 до 2Т, построим график данного колебания !см. задачу 12.43) 1 0,8 О,б 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 293 12.45. УРавнснис затзхБоших колеоаний дано а си~де -О "-: .т = 5с "з!и — ! м. Найти скорость з колсб:иощейся то ы, 2 ' ! и а зьз менты времени г, равные: О, Т, 2Т, 3Т и 4Т.
Решение: Скорость точки, совсршающей колебания, в то~!:.псле г!х затУка!ощие, опРеделЯетса соотношением т = — ' — !, ! По Й ,,-О.зн условию смещение т=5с ' ' з!зз — т — (2). Подстав -я(2) 2 ьт ) в (!), получаем т = — ~ 5с ' ' кйг — г; т =; -"' х г!! , !т т я. ') х~ — сот — ! — 0,25 ми — г !.
Подставляя числовые даииыс. со 'т2 2 ставим таблицу: кс 0 7' 2Т 3Т г, и.'с 7.85 2.89 1.06 0.39 12.46. Логарифми ~сский дскрелзент затухания ьптез. ического маятника !с = 0.2. !3о сколько раз уменьшится ам; "..туза колебаний за одно полнос колебание маятника". Решение: По формулам для заву каючпик колебаний ыси ,! ~, (,е+Т ч ,'1~ — Аь г т!в — г — ' '..'! =:!ь ~.'ЛТ вЂ” !' —, отк' да Т,' ' "'~ т~' =сь =1,'2 12.47. Найти логарифмический лекрсмент затз каи ья ' мвтп |еского маятника. если за время ! =1мин амилиту баний уменьшилась а 2 раза. Длина маятника 1=-1м. 294 к .- вине: ам для затулающих колебаний имеем А, = Ае х м ! ~1 — (!).
Период колебаний математического ~! иавт ника Т = 2/г — — (2). Из уравнения (1) с учетом (2) А 11!/ Г~ 1 Ао аем — =ехр — ( — — (3). По условию — = 2, А, ~ 2~т 1/ ! ! А, Ь/ Г ,«цд» из уравнения (3) получим ехр — ' ~ — = 2 — (4). ( 2~т1! ! ! )«/ ~~ явзологарифмируем уравнение (4), тогда — ~ — = !п 2, 2л. 1! ! ф~уда логарифмический декремент затухания 3ФЪ вЂ” ~ — !н2 = 0,023.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
