Книга 2. Решения задач из разделов 9-23 (509316), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Полная энергия тела, совершаюшего гармоническое колебательное движение. И' = 30 мкДж; максимальная сила, лейств Ушвша на тело, Ря, =1,5 мН. Написать УРавненне двнженнЯ этого го тела, если период колебаний Т =2с и начальная фаза У=- 273 Решение: уравнение гармонического колебательного движения , (2 . (2гг з1 х имеет вид х=Аяуг~ — 1е9г . Отсюда ял~ — герг~ = —, 1,Т ,) А' ,или из основного тригонометрического тождества соя~ — г+рг) =)11- —, . Тогда отношение кинетической ~1,Т ! )) Аг внергии к потенциальной 1сы. задачу 12.18) соя'112лт / Т)-> 9г) А' — х А 6, а)пг ((~г УТ)+ 1л) «г ' 4 А И'» — "=15.
б) Если «= —, то — "' =3. в) Если «= А, то 1'» 2 1т'„ )Г -а.=О. )' я Решение: Полная энергия тела, совершающего гармоническое кол . 2л ьч з бательное движение, И' = —,А — (1), а максимальная 4пзт сила, действующая на тело, Г„, = —, А — (2) И' А Разделив (1) на (2), получим — = —, отсюда амплитуда ~~наг 26' колебаний А = — =0,04 и, Подставляя амплитуду коле. жал баний, период колебаний и начальную фазу в общее , (2гг уравнение гармонических колебаний х = Айл — ! —, Р, 1,т окончательно получаем х = 0,04х(л лг ь— 12.21.
Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А= 2см, полная энергия колебаний И'=0,3мкДж. Прн каком смешении х от положения равновесия на колеблюьо юся точку действует сила Г = 22,5 мкН? Решение: Полная энергия тела, совершающего гармоническое коле- 2гг ьч з 2 бательное движение, И'= — А — (!), а сила, дей- тз 4азщ ствующая на тело, Р = — х — (2).
Разделив (1) на (2) Т' И' А получим — = —, отсюда смещение точки от положения .г' 2х А г' равновесия х = — =1,5 см. 25' 274 222 Шарик, подвешенный на нити длиной /= 2 м, отклойнот на у на угол а = 4' и наолюдают его колебания. Полагая колеиезатухаюшими гармоническими, найти скорость шарика прохождении им положения равновесия.
Проверить полуе решение, найдя скорость шарика при прохождении им жеиия равновесия из уравнений механики. резненне: уравнение колебательного движения шарика имеет вид: 2ж 'д=Ая/и — / — (1). При малых отклонениях шарика от у Нолржения равновесия его амплитуда А=!з/ла =0,14м. Г н(ернод колебаний Т = 2>г — = 2,8с. Тогда уравнение (1) 8 2т йзиамет вид: х = 0,14з/и — з м. Момент времени / = 0 за>ответствует положению равновесия.
Скорость шарика ~Й О,1 4. 2т 2>г Ъ'-.— = — 'соя — г и/с. Максимального значения -;„,. />/т 2,8 2,8 :Морость достигает при прохождении шариком положения 0,14. 2>г равновесия, т.е. т„„„= ' =0,31м/с. Решая данную Ьь ую ю, =/2ф1- Д ( з)>дачу 2.108). Подставляя числовые данные, получим У = 031м/с, 1223, К пружине подвешен груз массой т = !Окг. Зная, что "ружина под влиянием силы Г = 9,8 Н растягивается на 1=!б = ! бом, найти период Т вертикальных колебаний груза.
Решение: По за закону Гука сила упругости Г= — /сз (знак «минус» "ово нт Рнт о том, что à — возвращающая сила), откуда 8=/1 (1) — коэффиниент жесткости пружины. 275 Уравнение второго закона Ньютона для груза имеет вн шх= — 1х — (2). Введя обозначение иге = —, преобразуе, т уравнение (2) следующим образом: х+ агах = О, Вели.пп 2гг иги = — — циклическая частота колебаний, отса! Т да период колебаний вертикального пружинного к!ая!нн, Т=2ж — — (3). Подставляя (1) в (3), окончательно получим Т = 2гг~ — = 0,78 с.
~р 12.24. К пружине подвешен груз. Максимальная кннета. ческая энергия колебаний груза И'„„„„=1Дж. Амплитуда колебаний А = 5 ем. Найпс жесткость к пружины. Решение: Кинетическая энергия 2 2 2гг хА сох 1 — !+си имеет максимальное значение, когда 'с,т 2! 2л' 1 2гг си г соз — гн-(и =1, т.е. Ю' = — А — (1), П:риод ~ Т ~ ""-" Т колебаний груза на пружине Т= 22г ~ — — (2).
Возвс !я (2) 2хги! в квадрат и подставив в (1), получим 11кк,„к = 4х и 276 хА 7с= — А /с. Откуда г 1 г 2 21Г„„,. lс = — "'""' = 800 Н7ы. ~г 2х'и! колебаний груза 1г' = †' х к Т2 найдем жесткость прг ж снь' 17 зб. Как изменится период вертикальных колебаний груза, его на двух прУжинах, если от последовательного соева пружин перейти к параллельному нх соедннению7 йараллельном соединении пружин соответственно равны и Т, =2гс гл — а их отношение 'сг И 26. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вар~бальные колебания, Как изменится период колебаний, если к вружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый та"ого же ралнуса? ненгеине: Тгерио -"оды колебаний медного и алюминиевого шариков тветственно равны Т, = 2гг.à — ' и Т, = 2гс.
— ', а их 277 регненне: Сила упругости пружины по закону Гука Р'=/сх, Если к япсне подвесить груз массой гп, то в положении ггж гингвесия гггя =/ст, отсюда удлинение пружины х = —. 7с пели две пружины соединить последовательно, то их удлинения будут равны, а общее удлинение составит 2гггд гггд )гз =2х= — — (1). С другой стороны, хг = — — (2), гс )сг всасгода, приравнивая правые части уравнений (1) и (2), 2тд «ги рс)лучаем — = — или )с, = †. При параллельном )с 2 всгединении пружин общая жесткость системы гсг = 2гс . Таким образом, периоды колебаний при последовательном и т, отношение — = — . Т. к, по условию радиусы шар г Т г '"ков равны, то равны и их ооьемы, а значит, — = т, Гр, Тг Рг р, =8,б 1О кг/м и рг — — 2,б 10 кг/и — плотности мели и з з з з алюминия, тогда — =1.82.
Тг 12.27. К пружине подвешена чашка весов с пгрямп. При г гон период вертикальных колебаний Т, =0,5с. После того кж иа чашку весов положили еше лобавочные гири, период . сртикальпых колебашпг стал равным Т. =О,бс. На сколько ..ьзи. нилась пружина от прибавления этого добавочного груза'. Решение Гггг /ш+ Лггг/ Имеем Т = 2гг ~ — — 11); Т =2гс — — — — 12).
/с Возведя 11) и 12) в квадрат, а затем вычтя 11) г г 12), г г гзиг получим Т, — Т; = 4гг —. Жесткость пр.и ггны /с Е Ллгд г г г г5/ /с= — = —, Тогда Т, — Т, =4гг —, з кулг Л/ с1/ я= 8, 1тгг-тгг)=0,027 . 4ггг 12.28. К резиновому шнуру длиной /=40см и рази/со г=1мм подвешена гиря массой вг=0,5кг, Зная, что '.лу. Юнга резины Е = 3 МН/лг, найти период Т вертггка1ыгь колебаний гири. Указание: учесть, что жесткость /с ЕЕ связана с молулелг Юнга Е соотношением 8 = —, тле / плошадь поперечного сечения резины, / — ее длина.
этк кеитение: пружины связана с модулем Юнга 5Е потно шепнем й= — — (1). Период колебаний гири ! Т=2>г Т= 2>т — — (2). Подставляя (1) в (2), получаем 7> л>1 — — (3). Площадь поперечного сечения шнура 5Е лг г — (4), тогда, подставляя (4) в (3), окончательно ГГ находим Т=2я ~ —, =0,93с. 1 'Е 12.29. Ареометр массой лг = 0,2 лт плавает в жидкости. Если Погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет ешершать колебания с периодом Т = 3,4 с. Считая колебания незатухающими, найти плотность жидкости р, в которой плавает ареометр. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареоиетра гг =1см.
можно записать Р = -Ет, где >1 = рд5 = ро†— (2). 4 279 агегиеине: На плавающий ареометр действуют сила Архимеда Г,, Маправленная вверх, и сила тяжести Р, направленная вниз. оеловие равновесия имеет вид: Р ь Рд — — 0 или в 'скалярном виде Р = Р, — (1).
Имеем Р = »>я; Рх = Ж(Р ь 57г), где 1' — объем ареометра (без трубки), площадь поперечного сечения трубки ареометра, Ь— длина трубки. Тогда >ггд = рд(г' -> 57>) . При погружении ареометра на глубину х резуль~ирующая выталкивающая сила И(1>+5( 7>+ х)» — л~; Р = р11(1 + 5(1> + и)) — рй(1>. 57>); Р= с =РЕ х. Эта сила и вызывает колебания арсометра, т, е. Уравнение второго закона Ньютона для ареометра и„ вид глх= — /сс — (3).
Введя обозначение оэс = —, и /~ гп образуем уравнение (3) следующим образом; х + пз;,'з = 0 2ж Величина ез = — — циклическая частота колебз О т . ',нии, РП отсюда период данных колебаний Т=2ж~ — — (4) 4 Би Подставляя (2) в (4), получим Т = — —, откуда и РК Р= — =0,89 10 кгlм, 16ал = Тз,р 12.30, Написать уравнение движения, получаюшегося в результате сложения двух одинаково направленных гармоническая колебательных движений с одинаковым периодом Т=8с в одинаковой амплитудой А =0,02м. Разность фаз между .таил Х колебаниями гл -гл = —, Начальная фаза одного из этих коле- 2 ! бал ий равна нулю.
Решение: При сложении двух одинаково направленных: лрмо нических колебаний одинакового периода полу чается гармоническое колебание того же периода с аыгтзптудой А= и с начальной фазой, А, з1'и гр, + А, з 1п Сз, определяемой уравнением тй(д = ~ Й з -' где А, соз я + Аз соз св. А, и Аз — амплитуды слагаемых колебаний, сз дз — нх начальные фазы. Подставляя числовые да" ные, получим А = 2 (0,02) + 2(0,02) сов- = 0.037 и' 4 280 ~ — = — = —.О аур з1п6т /4) гг 2л .т :.ЩЬ~гсГ8 1е сот(л /4) 8 Т 4 ффльтнрую щего движения х = 0,037 сот — г е— 1,4 8/ '1331. Найти амплитуду А и начальную фазу Р гармокого колебания, полученного от сложения одинаково наеииых колебаний, данных уравнениями х, = 0,02 х Д~Г+- ми хд =0,03з/и 5лГ+ — м.
1йриеиие: 818 , уравнений колебаний ..г .' х~ =0,02з!и 5лт+ — и 2/ ",-,'0 03з1и~ 5~и+ — ) 4) находим амплитуды колебаний 'Ф: =.0,02м и Аз — — 0,03 м и их начальные :8ф; —;: —. При сложении двух одинаково -"'4 дфйоннческих колебаний одинакового , ~ф$ея гармоническое колебание того «18й4итудой А = и,"1й~т~ая фаза колебания определяется ег-~А'-я + ".~."" ч А,созд, + А, сод газ =: Ф75'. фазы гс, = — и 2 направленных периода полуже периода с =0,045м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
