АРУСТАМОВ (507835), страница 32
Текст из файла (страница 32)
2РЗ до вертикального следа плоскости, описываем из точки а'„ как из центра, окружность радиуса 18 мм н проводим через точку Р„, след Р„, касательный к этой окружности (дано одно решение). Проводим произвольную горизонталь плоскости Р, и, найдя ее в первоначальном задании, проводим через точки Р„ и е' искомый вертикальный след (Р.) плоскости. Фвг. 795 Пример 258 Даны плоскость Р и вертикальная проекция точки А, удаленной от плоскости Р на 18 мм.
Найти горизонтальную проекцию этой точки (фиг. 795, 796). Фвг. 796 28б Решение. 1. Слособ солггещелил (фиг. 795). Проводим через точку (а, а') вертикальнопроектирующую плоскость Я, перпендикулярную к плоскости Р, н, совместив ее с вертикальной плоскостью проейций, находим прямую и'Не пересечения ггласкостей Р и й. Так как совмещенное положение точки А, должно находиться на расстоянии 18 мм от прямой л7(е и на перпенднкуляре, восставлснном нз точки а' к следу Я проводим параялельно прямой л'Н, вспомогательную прямую на расстоянии 18 мм (дано одно решение) и на ее пересечении с перпендикуляром получаем точку А,.
Зная точку Ае, находим горизонтальную проекщпо (а) точки А. 2. Слссоб вереневы ллоскостлей проекций (фнг. 796). Заменяем горизонтальную плоскость проекций новой (Н,), которая перпендикулярна плоскости Р. Проведя вспомогательную прямую, параллельную следу Р„, на расстоянии 18 мм от него г' (лало одно решение), получаем на пересечении с перпендикуляром, опущенным из вертикальной проекции (а) точки на ОгХг, точку а,; по точке а, находим искомую горизонтальную проекцию (а) точки.
Пример 259 Даны прямая АВ н горизонтальная проекция (сз() прямой С0, параллельной АВ. Найти вертикальную проекцию прямой С0, если расстояние между заданными прямыми равно 1 мм (фиг. 797-799). Решение. 1. Слессб леремелы ллоскосмей лроекчлл (фиг. 797). Заменой плоскостей проекций новыми приводим их в такое положение„ когда горизонтальная плоскость проекций перпендикулярна заданным прямым.
В таком случае расстояние между этими прямыми измеряется расстоянием между их горизонтальными проекциями (агбг) и (сгбгЬ изображаемыми в виде точек. Отсюда: заменяем вертикальную плосхость проекций новой (г'г), кото- Х рая параллельна заданным прямым, и находим пока только вертикальную проекцию (а',Ь;) пря- х мой АВ. Затем заменяем горизонтальную плоскость проекций новой (Нг), которая перпендикулярна заданным прямым, и находим опять только горизонтальную проекцию (агбг) той же прямой.
Описав из этой точки окружность радиуса! мм и проведя прямую, параллельную оси (ОгХг) проекций иа расстоянии сслг (см. чертеж), получаем на пересечении с окру:квостью точку сг, она же дг — горизонтальную проекцию (сгбг) прямой СО (дано одно решение). Найдя вертикальную проекцию (с'Г(;) прямой обратным построением, получаем ее вертикальную проекцию (стб) в первоначальном задании. Фяг 287 ЗАДАЧИ 438. ОпределитЗ расстояние между точками А и В (фиг. 800 — 803). 439.
Найти недостающую проекцию точки В, если расстояние между точками А и В равно 25 мм (фиг. 804, 805). 440. Определить расстояние от точки С до прямой АВ (фиг. 636, 637). 44!. Определи~в недостающую проекцию точки А, если расстояние'от точки А до прямой ВС равно 25 мм (фиг. 806, 807). 442. Определить расстояние между параллельными прямыми АВ и СВ (фнг. 599, 639). оа' 1 ! 1 ! 1 ! Х 1 1 1 1 ! 1 1 Ьа 1 ! 1 1 Х 90 ! 1 1 ! О ! ЬЬ 1 ~ь' 1 1 ЬЬ Фяг. 800 (О Арустамов Х. А. Фиг. 80! 289 2. Способ совмин!енин (фнг. 798). Задаем на прямой (аЬ, а'Ь') произвольную точку (ь, ь') и проводим через нее плоскость Р, перпендикулярную к этой прямой. Для того чтобы найти основание (ис и') прямой (сб, са') иа плоскости Р, заключаем эту прямую в горизонтально-проектярующую плоскость Я и находим прямую (Ьс, Ь'с"! пересечения этих плоскостей.
Совместив плоскость Р с горизонтальной (можно — с вертикальной) плоскостью проекций, находим точку Ке и из этой точки, как вз центра, описываем окружность радиуса ! мм, которая на пересечении с прямой ире лает основание М; прямой (сб, с'47 на плоскости Р. Находим вертикальную проекцию (ит) этой точки и проводим через нее вертикальную проекцию (са! прямой. Дано одно решение. 3. Способ иеремен!ения (фиг. 799). Перемещаем заданную систему параллельно горизонтальной плоскости проекций и приводим ее в поло:кение, при котором прямая АВ параллельна вертикальной плоскости проекций. Затем перемещаем систему параллельно вертикальной плоскости проекций и приводим ее в положение, при котором та же прямая АВ перпендикулярна горюонтальной плоскости проекпнй.
Горизонтальные проекции прямых в таком положении изображаются в виде точек (а,Ь,) н (с,бз), и расстояние между ними должно равншъся ! мм. Отсюда: для нахождения точки (с,б,) описываем из точки (азбз) окружность радиуса 1 мм; на ее пересечении с прямой с,Ыз, параллельной оси проекций, получаем точкУ (сзбз) (дано одно решение), горизонтальную проекцию прямой СВ.
Найдя вертикальную проекцию (старз) прямой, обратным построением получаем ее вертикальную проекцию (сЗР) в первоначальном задании. ~а ! ~а ! ! ! ! Ьь' Фяг. 802 Фи!. 803 ~! а 1 ~ь' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 6Ь ! ! ! ! ! ьа Фяг. 804 Фяг. 805 443. Определить недостающую проекцию прямой СВ, если расстояние между параллельнымн прямыми АВ н СВ равно 25 мм (фиг. 808, 809).
444. Построить проекции прямой Л1Х, параллельной прямым АВ и СВ и удаленной от прямой АВ на 20 мм и от прямой СВ на 30 мм (фиг. 599, 639). 445. Найти проекции прямой ММ, параллельной прямой АВ и удаленной от нее на 20 мм и от точки С на 30 мм !фиг. 636, 637). 446. Найти проекции прямой МХ, параллельной заданньгм прямым АВ, С)2, ЕГ и равноудаленной от них (фиг. 810). 290 ! ! 1 1 ! 1 ! ! ! ! Ьа' уа' ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! еа ! о ! ь ь Фвг. 811 Фиг.
810 Ф . 818 Фяг. 812 447. Найти проекции прямой МХ, параллельной прямой АВ и равноудаленной от этой прямой н от точек С и Р (фпг. 311). 448. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ н СР (фнг. 560, 578). 449. Найти на прямой АВ точку, удаленную от прямой СР иа 25 мм (фиг. 560, 578).
450. Определить расстояние от точки К до заданной плоскости (фиг. 641 — 645). 451. Описать из точки С шар, касательный к заданной плоскости (фпг. 582 — 587). 292 452. Определить недостающую проекцию точки К, удаленной от заданной плоскости на 25 ььг (фиг. 557, 588- 590). 453. Найти недостающий след плоскости Р, если расстояние от точки А до этой плоскости равно 20 мм (фпг. 812, 813). 454. Определитьнедостающий след плоскости Р, если она касательна к поверхности шара (фиг. 814). 455. Определить рассгоянце между параллельными плцскостями Р и Я (фиг. 577). 456. Построить геометрическое место точек пространства, отстоящих от заданной плоскости на 25 мм (фиг.
596 — 600). 457. Найти на прямой М)У точку, удаленную от заданной плоскости на 25 мм (фнг. 606 — 608). Фяг. 814 Глава ХХ1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВ Угол между двумя пересекающимися прямыми можно определить аднвм нз следующих способов: !) заключением угла в треугольник; нужно пересечь стороны угла произвольной прямой и определнть нагуральную величину полученного треугольника, откуда определяем натуральную велнчнну заданного угла," 2) врашеннсм (нлн перемещением); нужна поставить плоскость угла в палажс~ше, параллельное какай-лабо плоскости проекций; 3) совмещением; нужна найти один нз следов плоскости угла — горнзантальньш нлп вертикальный — н вращенпсм окало этого следа совмесгить с соответствующей плоскасзью проекций; 4) вращением окала гарнзав~алн илн фронталн;.
нужно савмесгнть заданный угол с плоскостью й, параллельной горизонтальной (верши кальнай) плоскости проекций, проходящей через пранзвольную горизонталь (франталь) нласкосзн угла; 5) переменой плоскостей проекций; нужно нзыеннть плоскости проекций так, чзобы одна нз ннх стала параллельной плоскости заданного угла. Указание. Из всех перечисленных способов решений наиболее просго н быстро приводит к цеди четвертый. Для прямых, не лежащих в одной плоскости мерой угла между ними служат угол между двухгя пересекающимися прямыми, параллельными данным. ПРИМЕРЫ Пример 260 Определить натуральную величину угла АВС (фиг.
81э). Решение. Способ вращения около горизонтали. Проводим горизонталь (вя, в'и') в плоскости угла и заключаем ее в плоскость Т, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Совмещаем стороны угла (вЬ, в'Ь') и (лЬ, я'Ь') с плоскостью Т. Точки (яс в') и (л, пТ уже лежат нв плоскости Т; остается совместить с этой плоскостью вершину (Ь, Ь') угла.
Угол вйер является искомым. Построение видно из чертежа. Пример 261 Провести биссектрису угла С треугольника АВС (фиг. 816). Решение. Способ перемещения. Для того чтобы провести биссектрису угла, требуется его натуральная величина. А для этого необходимо привести плоскость треугольника в положение, параллельное какой-либо плоскости проекций, например горизонтальной. Проводим горизонталь в плоскости треугольника через точку (а, а') и перемещаем ее параллельно горизонтальной плоскости проекций до положения, пер пенликулярного к вертикальной плоскости проекций.
При перемещении треугольника параллельно горизонтальной плоскости проекций его горизонтальная проекция, хак известно, ие должна изменяться, а потому приводам горизонтальную проекцию треугольника в положение а,Ь,с, так, чтобы горизонтальная проекция горизонтали была перпендикулярна оси проекций; по а,Ь,с, находим вертикальную проекцию (а',Ь',с',) треугольника, которая получается в виде прямой ливии. Затем перемещаем треугольник (а,Ь,с„ а',Ь',с',) параллельно вертикальной плоскости проекций и приводим вертикальную проекцию (а',Ь',с',) треугольника в положение, параллельное оси проекций; по азЬ',с', находим а,Ь,с,.
Проведя биссектрису угла (с„ с',), находим ее проекции (о(, сзр) обратным построением в первоначазьном задании (построение видно из чертежа). Углом между прямой и плоскостью называется острый угол, заключенный между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Прямой путь определения этого угла требует ряда дополнительных построений (каких?) и потому очень длинен.
Его можно значительно сократить, определяя не искомый угол а, а его дополнение до 90', т. е. острый угол чз, заключенный между заданной прямой и перпендикуляром, опущенным нз ее произвольйой точки на плоскость. Последний мо:кно определить одним из приведенных выше способов, но, как уже было указано, проще всего применить вращение около горизонтали кчи фронталн. В тех случаях, когда найденный угол у оказывается тупым, для получения искомого угла а следует вычесть из найденного угла чз угол, равный 90' (фиг. 817) (почему)? Пример 262 Определить угол между прямой АВ и плоскостью Р (фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
