12 Геометрические приложения (1334104), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ∆z = fx0 (a, b) ∆x + fy0 (a, b) ∆y.(12.8)ÔÍ-12ÔÍ-12Сравнивая (12.7) и (12.8), заключаем, что дифференциал dz совпадает с ∆z, так как приращения ∆x и ∆y независимых переменных x и y в точке (a; b) в то же самое время являютсядифференциалами этих переменных. Другими словами, дифференциал функции двух переменных есть приращение в точке M аппликаты точки на касательной плоскости, соответствующееприращениям dx, dy независимых переменных (рис.
12.2).zDzSOÌÃÒÓÌÃÒÓОбозначив x − a = ∆x, y − b = ∆y, z − c = ∆z, перепишем это уравнение в видеy12.2. Касательная и нормалькривой на плоскостиРассмотрим на плоскости xOy кривую Q и точку M на этой кривой. Найдем уравнениякасательной и нормали к кривой Q в точке M в предположении, что выполнены следующиечетыре условия.1◦ . Кривая Q задана уравнением f (x, y) = 0.2◦ . Известны координаты a, b точки M ∈ Q.3◦ . Функция f (x, y) непрерывно дифференцируема в точке М .4◦ . Градиент функции f (x, y) в точке (a, b) отличен от нуля, т.е.
grad f (a, b) 6= 0.Напомним, что если кривая Q на плоскости является графиком некоторой действительнойфункции действительного переменного ϕ(x), то касательная к этой кривой в точке (a; ϕ(a))определяется уравнениемy = ϕ0 (a)(x − a) + ϕ(a),(12.9)ÔÍ-12а достаточным условием существования касательной является дифференцируемость функцииϕ(x) в точке a.В данном случае функция f (x, y) является дифференцируемой в точке M (a; b), причемgrad f (a, b) = fx0 (a, b), fy0 (a, b) 6= 0. Значит, одна из частных производных функции f (x, y)в точке M отлична от нуля. Пусть, например, fy0 (a, b) 6= 0.
Тогда выполнены условия теоремыо неявной функции. Согласно этой теореме, уравнение f (x, y) = 0 в некотором прямоугольникеP с центром в точке M задает дифференцируемую функцию ϕ(x), x ∈ [a − δ, a + δ], δ > 0.Иначе говоря, часть кривой Q внутри прямоугольника P является графиком функции ϕ(x), иÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 12.2ÌÃÒÓÌÃÒÓxÔÍ-12ÔÍ-12(dx,dy)ÌÃÒÓÌÃÒÓMÌÃÒÓÌÃÒÓмы можем записать уравнение касательной к кривой Q в точке M в виде (12.9). Учитываявыражение (11.2) для производной неявной функции ϕ(x) и равенство ϕ(a) = b, находимy−b=−откуда получаемfx0 (a, b)(x − a),fy0 (a, b)fx0 (a, b)(x − a) + fy0 (a, b)(y − b) = 0.(12.10)Поскольку нормаль к кривой в точке M проходит через эту точку и перпендикулярна касательной, то ее уравнение имеет видy−bx−a= 0.(12.11)0fx (a, b)fy (a, b)Если fy0 (a, b) = 0, но fx0 (a, b) 6= 0, то, поменяв местами переменные x и y и повторив рассуждения, получим те же уравнения касательной и нормали.Итак, условия 1◦ –4◦ являются достаточными для того, чтобы в точке (a, b) существоваликасательная и нормаль к кривой Q, которые в этом случае задаются уравнениями (12.10) и(12.11).
Можно показать, что это утверждение остается верным и тогда, когда условие 3◦заменено более слабым условием дифференцируемости функции в точке (a, b).2fx0 (1, 2) = ,32fy0 (1, 2) = .3ÌÃÒÓПример 12.4. Найдем уравнения касательной и нормали к эллипсу x2 /3 + y 2 /6 = 1 в точкеM (1; 2).Легко убедиться, что в данной задаче при выборе функции f (x, y) = x2 /3 + y 2 /6 − 1 достаточные условия 1◦ –4◦ существования касательной и нормали выполнены. Для построенияуравнений касательной и нормали вычислим частные производные первого порядка функцииf (x, y): fx0 (x, y) = 2x/3, fy0 (x, y) = y/3. Их значения в точке M (1; 2) равныÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ55ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ПРИЛОЖЕНИЯЛЕКЦИЯ 12.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕx + y − 3 = 0,и нормалиy−2x−1=,2/32/3илиx − y + 1 = 0.−3y + 3x23y 2 − 3x=,10которое равносильно уравнению 3y 2 − 3x = 0. Таким образом, координаты точки кривой,в которой касательная параллельна оси Oy, подчиняются уравнению x − y 2 = 0. Так какÔÍ-12Пример 12.5. Найдем точки, в которых касательная к кривой y 3 −3xy +x3 = 3 параллельнаоси Oy.Нормальным вектором касательной рассматриваемой кривой в произвольной точке (x, y)является вектор fx0 , fy0 = (−3y + 3x2 , 3y 2 − 3x).
Касательная кривой параллельна оси Oy,если ее нормальный вектор параллелен оси Ox, т.е. коллинеарен вектору (1, 0). Записываяусловие коллинеарности двух векторов на плоскости, получаем уравнениеÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓилиÌÃÒÓÔÍ-1222(x − 1) + (y − 2) = 0,33ÔÍ-12ÔÍ-12Записываем уравнение касательнойÌÃÒÓÌÃÒÓ56координаты точек кривой удовлетворяют также уравнению этой кривой, получаем системудвух уравнений с двумя неизвестными:(x − y 2 = 0,y 3 − 3xy + x3 = 3.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12√√Не составляет труда найти два решения этой системы: x1 = 1, y1 = −1 и x2 = 3 9, y2 = 3 3.Так как в этих точках градиент функции не обращается в нуль, обе точки — искомые.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ПРИЛОЖЕНИЯЛЕКЦИЯ 12.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓОГЛАВЛЕНИЕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ515154ÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 12. Геометрические приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.1. Касательная плоскость и нормаль . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12.2. Касательная и нормаль кривой на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
