06 Квадратичные формы и их свойства (1334098), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Например, может случиться, что a11 = 0.Тогда мы вместо переменного x1 можем остановить свой выбор на другом, квадрат которогоприсутствует в квадратичной форме. Но может быть так, что в квадратичной форме нет ни одного квадрата (например, f (x1 , x2 ) = x1 x2 ). Тогда перед выделением квадрата следует выполнить промежуточную замену переменных.
Для этого выбираем любое слагаемое квадратичнойформы. Пусть для определенности a12 6= 0, так что присутствует слагаемое 2a12 x1 x2 . После замены переменных x1 = x01 +x02 , x2 = x01 −x02 , x3 = x03 , . . . , xn = x0n получим квадратичную форму,у которой присутствует квадрат переменного x01 , так как x1 x2 = (x01 +x02 )(x01 −x02 ) = (x01 )2 −(x02 )2 .Отметим, что канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно.
Так, в примере 6.3 после дополнительной замены переменных w1 = z1 /2,w2 = z2 /2 получим еще одну квадратичную форму канонического вида 4w12 − 4w22 .ÌÃÒÓÌÃÒÓf (x0 ) = a01 (x01 )2 + . . . + a0r (x0r )2 ,ÌÃÒÓÔÍ-12определяемую верхней треугольной матрицей U . Отметим, что диагональные элементы матрицы U равны единице, поэтому эта матрица невырождена.
В результате замены переменных мыпридем к квадратичной формеÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ70ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÌÃÒÓНайдем характеристическое уравнение этой матрицы: 1 − λ −2 2 −2 0 − λ = (1 − λ)(−λ) − 4 = λ − λ − 4 = 0.Теперь можем записать канонический вид нашей квадратичной формы:√√1 + 17 2 1 − 17 2y1 +y2 .22f (x1 , x2 ) = 5x21 + 8x1 x2 + 5x22 ,к которому она приводится ортогональным преобразованием, и укажем одно из таких ортогональных преобразований.ÔÍ-12Пример 6.5.
Найдем канонический вид квадратичной формыÌÃÒÓВычисляем корни характеристического уравнения, они же собственные значения матрицы A:√1 ± 17.λ1,2 =2ÔÍ-12Пример 6.4. Квадратичную форму f (x, y) = x21 − 4x1 x2 от двух переменных мы приводилик каноническому виду методом Лагранжа (см. пример 6.3). Теперь попробуем привести ее кканоническому виду ортогональным преобразованием.Матрица нашей квадратичной формы имеет вид1 −2A=.−20ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема доказана, но подход, который мы использовали в доказательстве, позволяет сделатьи другие выводы, о которых в формулировке теоремы речь не идет.
Во-первых, диагональнымиэлементами матрицы A0 квадратичной формы канонического вида, получающейся в результатеортогонального преобразования, являются собственные значения матрицы A квадратичнойформы. Из этого следует, что мы можем записать матрицу A0 канонического вида, не находясоответствующего ортогонального преобразования.Во-вторых, находя ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, мы фактически ищем базис из собственных векторов соответствующегосамосопряженного оператора.
Действительно, если квадратичная форма и самосопряженныйоператор имели в исходном ортонормированном базисе одинаковую матрицу, то и в новом ортонормированном базисе их матрицы будут совпадать.Мы предполагаем, что квадратичная форма представляет собой запись функции, заданнойв евклидовом пространстве, через координаты вектора в некотором ортонормированном базисе. На самом деле такая интерпретация носит чисто вспомогательный характер, помогающийсмотреть на процесс с геометрической точки зрения, но она никак не используется в самомалгоритме построения ортогонального преобразования. Достаточно лишь записать матрицуквадратичной формы и применить к этой матрице процедуру приведения к диагональному виду (см.
5.5).Проиллюстрируем на примерах процедуру практического вычисления ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.ÌÃÒÓÔÍ-12A в этом базисе является диагональной. Согласно формуле преобразования матрицы линейногооператора, имеем A0 = P −1 AP (см. теорему 3.5), где P — матрица перехода из базиса b в базисe. Так как оба базиса ортонормированные, матрица P является ортогональной.
IÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ71ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÌÃÒÓс характеристическим уравнением матрицы5−λ4 = (5 − λ)2 − 16 = 0. 45−λСобственными значениями матрицы квадратичной формы являются λ1 = 1, λ2 = 9, т.е.квадратичная форма приводится ортогональным преобразованием к каноническому видуf (y1 , y2 ) = y12 + 9y22 .Для построения ортогонального преобразования найдем собственные векторы матрицы рассматриваемой квадратичной формы.
Из однородной системы линейных алгебраических уравтнений (A − λE)x = 0 при λ = 1 находим собственный вектор e1 = (1 − 1) . Тогда вектортe2 = (1 1) , ортогональный вектору e1 , будет собственным вектором с соответствующим собственным значением λ2 = 9 (см. 5.2). Пронормировав эти векторы, составляем из столбцов ихкоординат матрицу ортогонального преобразования11 1,P =√2 −1 1которой соответствует линейная замена переменных x = P y.6.5. Закон инерции2λ1 y12 + .
. . + λm ym,В различных канонических видах данной квадратичной формы остается неизменным нетолько количество ненулевых коэффициентов, но и количество положительных и соответственно отрицательных коэффициентов. Объединяя это с доказанной теоремой, получаем следующееутверждение, называемое законом инерции.ÔÍ-12Теорема 6.3. Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных заменах переменных и равен:а) числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде;б) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы (с учетомих кратности).ÌÃÒÓв котором все коэффициенты λi положительны, то соответствующая этой квадратичной форме функция в линейном пространстве принимает только неотрицательные значения.
Значитникакой другой канонический вид не может иметь отрицательных коэффициентов, так как наличие отрицательных коэффициентов означает, что функция имеет и отрицательные значения.Другой важной характеристикой является ранг матрицы квадратичной формы.ÔÍ-12Квадратичная форма может быть приведена к различным каноническим видам. Например,для квадратичной формы x21 − 4x1 x2 найдены уже три канонических вида.
Но, несмотря намногообразие канонических видов для данной квадратичной формы, имеются такие характеристики их коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными.Например, если квадратичная форма преобразовалась к видуÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12A=5 44 5ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Квадратичная форма имеет матрицуÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ72ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÌÃÒÓ(6.7)одной и той же квадратичной формы:– m = k и их общее значение равно рангу квадратичной формы;– количество положительных коэффициентов λi совпадает с количеством положительныхкоэффициентов µj ;– количество отрицательных коэффициентов λi совпадает с количеством отрицательныхкоэффициентов µj .6.6.
Критерий СильвестраКвадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества ихзначений.ттОпределение 6.3. Квадратичную форму f (x) = x Ax, x = (x1 x2 . . . xn ) , будем называть:– положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого столбца x выполняется неравенство f (x) > 0 (f (x) < 0);– неотрицательно (неположительно) определенной, если f (x) > 0 (f (x) 6 0) длялюбого столбца x, причем существует ненулевой столбец x, для которого f (x) = 0;– знакопеременной (неопределенной), если существуют такие столбцы x и y, чтоf (x) > 0 и f (y) < 0.Пример 6.6. Рассмотрим четыре квадратичные формы от трех переменных:f1 (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 ,f3 (x1 , x2 , x3 ) = x21 − x22 + x23 ,f2 (x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 ,f4 (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 .ÔÍ-12Квадратичная форма f1 положительно определена, так как представляет собой сумму трех квадратов и потому принимает только положительные значения, если переменные одновременноне обращаются в нуль.
Квадратичная форма f2 неотрицательно определена: будучи суммойдвух квадратов она не принимает отрицательных значений, но при x1 = x2 = 0 и x3 6= 0 онапринимает нулевые значения. Квадратичные формы f3 и f4 знакопеременны. Первая из нихттположительна при x = (1 0 0) и отрицательна при x = (0 1 0) . Вторая положительна притКак следует из определения 6.3, тип квадратичной формы зависит только от множества значений, которые она принимает, но не зависит от переменных, в которых она записана. Поэтому,представив квадратичную форму в каноническом виде, сразу получаем следующие критериидля типа квадратичной формы в зависимости от множества собственных значений ее матрицы.Множество собственных значенийВсе собственные значения положительны(λi > 0, i = 1, n)Все собственные значения отрицательны(λi < 0, i = 1, n)Есть собственные значения разных знаков(∃λi > 0, ∃λj < 0)Есть нулевое собственное значение(∃λi = 0).ÔÍ-12ÌÃÒÓТип квадратичной формыПоложительно определенная(∀x 6= 0 : f (x) > 0)Отрицательно определенная(∀x 6= 0 : f (x) < 0)Знакопеременная(∃x: f (x) > 0, ∃y: f (y) < 0)Вырожденная(матрица формы вырожденная),ÌÃÒÓx = (1 1 0) и отрицательна при x = (1 − 1 0) .
Квадратичные формы f2 и f4 являютсявырожденными, так как ранг каждой из них равен двум. #ÔÍ-12ÌÃÒÓµj 6= 0, j = 1, k,ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ(6.6)ÌÃÒÓÔÍ-12f2 (z1 , . . . , zk ) = µ1 z12 + . . . + µk zk2 ,λi 6= 0, i = 1, m,ÔÍ-12ÌÃÒÓ2,f1 (y1 , . . . , ym ) = λ1 y12 + . . . + λm ymÌÃÒÓÔÍ-12Теорема 6.4. Для любых двух канонических видовтÔÍ-12ÌÃÒÓ73ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÌÃÒÓТеорема 6.5 (критерий Сильвестра).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
