Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Деталь, изготовленная автоматом, оказалась бракованной. Каковавероятность того, что она изготовлена на первом автомате?6. Вероятность отказа сервера при каждом из независимыхподключений с помощью модема равна 0,2. Попытки подключенияпроизводятся до установления связи. Найти ряд распределения,193математическое ожидание и дисперсию числа произведенных попытокподключения, если число попыток ограничено пятью. Построить графикфункции распределения.7.
Закон Эрланга с плотностью распределенияAx2 e−αx при x ≥ 0;f (x) =0 при x < 0описывает распределение времени прибытия двух вызовов в пуассоновскомпотоке. Найти коэффициент A, математическое ожидание и дисперсию.(Рекомендуется использовать таблицы определенных интегралов).Построить график плотности распределения.На 5 карточках написаны цифры от 1 до 5. Найти совместноераспределение числа, написанного на выбранной наудачу карточке, ииндикатора того, что это число нечетное. Найти коэффициент корреляциимежду ними.9. Количество воды, расходуемое жителями одной квартиры в сутки,имеет показательное распределение со средним значением 200 литров.Найти, с какой вероятностью для удовлетворения потребностей жильцов500 квартир будет достаточно 12 000 литров воды.10.
Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна 1−x/θ2при x > 0;θ2 ef (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения.
Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.5,38 -1,10 13,11 10,84 9,45 8,56 7,87 7,34 -4,06 3,48 4,70 7,13 -1,084,53 13,56 2,66 7,29 9,41 11,86 9,54 10,86 2,50 -2,84 11,21 8,9312. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1941,23 0,49 1,12 1,98 0,25 1,52 0,52 0,03 1,101,59 0,27 1,30 1,79 1,93 0,23 1,84 1,04Вариант 161.
Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике состоронами 1 и 2. Описать событие, означающее, что расстояние от A докаждой стороны прямоугольника не превосходит 1/2.2. На полке в случайном порядке расставлены 8 книг, в том числедвухтомник Мандельштама. Найти вероятность того, что один из томовМандельштама окажется у правого края полки, а другой — у левого.3.
На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, врезультате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части.Определить вероятность того, что сумма длин последних двух частей непревосходит длины первой части.4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Помишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, послечего стрельбу прекращают.
Найти вероятность того, что будет сделаноболее трех выстрелов.5. Студент выучил к экзамену только 30 вопросов из 40. Для сдачиэкзамена достаточно ответить на два из четырех разных вопросов. Каковавероятность того, что экзамен будет сдан? Какова вероятность того, чтостудент ответил на все четыре вопроса, если известно, что он сдал экзамен?6. Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу6 возможных. После трех неудачных попыток компьютер блокируется.Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числапопыток.
Построить график функции распределения.7. Время достижения стандартным броуновским движением уровня aимеет плотность распределенияf (t) =2At−3/2 e−a/(2t)0при t ≥ 0;при t < 0.Найти нормирующую константу A. Доказать, что математическое√ожидание времени достижения не существует.
(Сделать замену a/ t = y.Можно использовать таблицы определенных интегралов).1958. В течение трех дней недели температура была 30 градусов, авлажность 60 процентов. В течение других трех дней температура 20градусов, а влажность 90 процентов, а в последний день 10 градусов и100 процентов. Найти совместное распределение температуры и влажностив выбранный наудачу день. Найти коэффициент корреляции междутемпературой и влажностью.9. Участник лотереи бросает 5 шаров, каждый из которых можетпопасть в лузы с номерами от 1 до 6. Участник получает ценный приз, еслисумма очков больше 23. Оценить вероятность получения ценного приза.10. Для выборки (X1 , X2 , .
. . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равнаf (x) =√√3 x −x x/θ22θ2 e0при x > 0;при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения.
Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.4,61 6,70 2,88 9,09 -2,06 6,25 6,46 4,25 16,16 7,07 1,35 13,58 7,96 14,64-2,14 10,81 2,50 2,24 -1,04 5,31 11,93 16,20 7,49 -5,21 5,90 5,63 7,2612. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2].
Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1,64 0,79 0,64 1,06 0,42 0,69 1,65 0,45 0,431,48 0,44 0,97 1,49 0,46 1,29 0,37 0,45Вариант 171. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике состоронами 1 и 2. Описать событие, означающее, что расстояние от A доближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1/2.1962. Из колоды карт в 36 листов вынимаются три карты. Найтивероятность того, что среди них окажутся хотя бы две красные карты.3.
На отрезке AB наудачу выбираются две точки M и N . Каковавероятность того, что точка M окажется по крайней мере втрое ближек точке N , чем к точке A?4. Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующей схеме:A3-A2-A1Вероятность выхода из строя элемента A1 равна 0,1, остальныхэлементов Ak — по 0,04. Предполагается, что элементы выходят изстроя независимо друг от друга.
Найти вероятность того, что цепь будетпропускать ток.5. Прибор состоит из трех независимо работающих блоков, вероятностиотказа которых за смену равны соответственно 0,01, 0,05 и 0,08.Вероятность выхода из строя прибора при отказе одного из блоков равна0,5; при отказе двух блоков — 0,8, при отказе всех трех блоков —1. Определить вероятность выхода прибора из строя за смену.
Найтивероятность того, что отказали все три блока, если известно, что приборвышел из строя.6. При игре с автоматом игрок получает 50 рублей с вероятностью0,1, 10 рублей с вероятностью 0,3. Найти сумму x рублей, которую игрокбросает в автомат и теряет в случае проигрыша, если математическоеожидание выигрыша равно минус 2 рублям. (В случае проигрыша суммавыигрыша считается отрицательным числом, равным сумме проигрыша,взятой со знаком «минус».) Найти ряд распределения и дисперсию суммывыигрыша.
Построить график функции распределения.7. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ имеетвидf (x) =1+Ax 2θ0при |x| ≤ θ;при |x| > θ(усеченное распределение Коши). Найти коэффициент A, вычислитьматематическое ожидание и стандартное отклонение. Найти√вероятностьтого, что случайная величина ξ примет значение, большее θ/ 3.1978. В двух из четырех аудиторий по 20 студентов и уровень шума60 децибелл, в третьей 10 студентов и уровень шума 50 децибелл, ав четвертой аудитории нет студентов и уровень шума 20 децибелл.Найти совместное распределение числа студентов и уровня шума ввыбранной наудачу аудитории. Найти коэффициент корреляции междучислом студентов и уровнем шума.9. Количество 10-копеечных монет, необходимое для выдачи каждойсдачи в кассе, принимает значения от 0 до 4 с равными вероятностями.Найти, с какой вероятностью на 100 выдач сдачи будет достаточно 22010-копеечных монет .10.
Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра 1 < θ < 2 по первому моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна 1 −θ/(θ−1)при x > 1;θ−1 xf (x) =0 при x ≤ 1.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.2,92 12,70 10,80 -10,19 4,32 12,02 13,68 3,75 -0,90 2,94 15,07 2,08 16,2213,42 1,55 -6,05 15,70 12,35 13,94 -0,56 24,10 7,45 3,60 -0,24 16,84 6,13-5,28 3,00 10,0412. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2].
Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1,82 1,13 1,78 0,65 0,55 1,02 0,88 0,76 0,571,71 0,62 1,69 0,15 0,23 1,99 1,53 1,91 1,57Вариант 181. Брошены три игральные кости. Описать событие, означающее, чтохотя бы на одной кости появилась единица, и не более чем на двух выпали198двойки.2. Номер лотерейного билета состоит из 6 цифр. Какова вероятностьтого, что хотя бы две цифры взятого наудачу билета совпадают?3.
Стержень единичной длины AB разломан в двух наудачу выбранныхточках X и Y . С какой вероятностью расстояние между этими точками непревзойдет максимального из двух отрезков AX или AY ?4. По мишени по одному разу стреляют 4 стрелка. Вероятностьпопадания для первого равна 0,5, для второго — 0,6, для третьего — 0,7,для четвертого — 0,9. Найти вероятность ровно двух попаданий.5. В семи урнах содержится по 3 белых и 2 черных шара, а в трех урнахпо 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность, что из урны, взятойнаудачу, будет извлечен белый шар? Найти вероятность, что шар извлечениз урны с 7 белыми и 3 черными шарами, если он оказался белым.6.
Прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементовза некоторый период времени независимы, а их вероятности равнысоответственно 0,2; 0,3; 0,4. Найти ряд распределения, математическоеожидание и дисперсию числа отказавших элементов. Построить графикфункции распределения.7. Точка M движется по оси Ox по закону x = vt − at2 . Вслучайный момент времени, равномерно распределенный на отрезке [0; T ],наблюдается координата ξ точки M . Найти математическое ожидание истандартное отклонение случайной величины ξ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
