Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по второму моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность188полученных оценок. Плотность распределения равна 2x−x2 /θ2при x > 0;θ2 ef (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.3,50 0,80 0,32 3,31 1,12 3,29 3,87 2,65 2,01 2,65 1,19 -0,85 4,07 1,233,38 5,17 1,51 2,20 5,41 1,22 1,89 2,02 3,17 -1,02 2,73 1,10 3,8712.
По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1,42 1,25 0,87 0,54 0,48 1,20 1,79 0,62 0,75 0,550,46 1,02 1,71 1,91 0,83 0,99 1,46 1,09 0,94Вариант 131. Найти случайное событие X из равенстваX + A + X + A = B.2. В студенческой группе 10 юношей и 15 девушек. На университетскийпраздничный бал группа получила только 3 пригласительных билета,которые разыгрываются по жребию. Какова вероятность того, что на балпопадут три девушки?3.
На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, врезультате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части.Определить вероятность того, что длина минимальной части из трехполучившихся частей не превосходит 4/5.4. Системный администратор обслуживает 4 сервера, работающихнезависимо друг от друга. Вероятность того, что в течение рабочегодня сервер не потребует внимания администратора, равна для первого и189второго сервера 0,8, для третьего и четвертого — 0,10.
Найти вероятностьтого, что хотя бы один из серверов не потребует внимания администратора.5. Фирма распространяет 2 вида рекламных листовок A и B, причемколичества листовок двух видов находятся в соотношении 2:3. На листовкувида A положительно реагируют 20 % получателей, на листовку вида B —10 % получателей. Найти вероятность положительной реакции получателялистовки. Найти вероятность того, что получена листовка вида A, еслиизвестно, что реакция была положительной.6. Вероятность попадания баскетбольного мяча в кольцо при бросанииначинающим спортсменом равна 1/5. Мяч бросают до первого попадания,но дают не более 5 попыток. Найти ряд распределения, математическоеожидание и дисперсию числа промахов.
Построить график функциираспределения.7. Скорость автомобиля на дистанции в 100 км является случайнойвеличиной, равномерно распределенной на отрезке от 40 км/ч до 80км/ч. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение времени,затраченного на преодоление дистанции. Найти вероятность того, что этовремя превысит 2 часа.8. В группе из 20 студентов только двое пропустили болееполовины занятий, и именно они получили оценку «2» на экзамене.Из остальных студентов 5 человек получили оценку «5», 10 человек— оценку «4», и 3 студента получили «тройки».
Составить таблицусовместного распределения оценки на экзамене и индикатора пропускаболее половины занятий для выбранного наудачу студента. Найтикоэффициент корреляции.9. Число сериалов, просматриваемых за день выбранным наудачустудентом, имеет распределение Пуассона с параметром 0,5. Найтипределы, в которых с вероятностью 0,8 лежит число просмотров сериаловза день студентами группы из 20 человек.10. Для выборки (X1 , X2 , .
. . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равнаf (x) =3x2 −x3 /θ2θ2 e0при x > 0;при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя190вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.8,16 3,33 7,35 3,05 2,54 1,91 1,77 2,92 5,95 2,31 0,27 5,12 6,60 -1,585,42 5,67 6,28 -0,09 2,74 2,45 1,11 6,97 -1,59 -1,41 2,69 4,99 7,24 1,754,7612.
По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1,94 1,42 0,61 2,00 0,59 0,58 1,18 1,58 1,01 0,570,05 0,25 0,17 1,30 0,52 0,91 0,84 1,66 1,24Вариант 141.
Пусть A, B и C — события. Каков смысл равенств ABC = A иA ∪ B ∪ C = A? Привести примеры.2. Первая выбранная наудачу из 28 костей домино не оказалась дублем.Найти вероятность того, что вторую также взятую наудачу кость можноприставить к первой согласно правилам игры.3. Встречные поезда приходят на станцию в случайные моментывремени в течение суток. Один поезд стоит на станции 30 минут, другой40 минут. Найти вероятность встречи поездов на станции.4.
Предназначенный к печати текст проверяется сначала автором,затем редактором. Автор находит в среднем 80 % допущенных в текстеопечаток, редактор — 90 % из оставшихся опечаток. Найти вероятностьтого, что будут исправлены все 4 содержащиеся в первоначальном текстеопечатки.5. Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,8.На заводе принята система из трех независимых испытаний, каждое изкоторых изделие, удовлетворяющее стандарту, проходит с вероятностью0,9, а неудовлетворяющее — с вероятностью 0,3. Какова вероятность того,что наудачу взятое изделие выдержит испытания? Какова вероятностьтого, что изделие, выдержавшее испытания, удовлетворяет стандарту?1916. Вероятность успешного соединения компьютера с сервером равна0,6.
Попытки соединения производятся до установления соединения, ноне более 6 попыток. Найти ряд распределения, математическое ожиданиеи дисперсию числа попыток соединения. Построить график функциираспределения.7. Мощность W , выделяемая на сопротивлении R, вычисляется позакону W = U 2 /R, где U — напряжение в сети. Предполагается, чтонапряжение — случайная величина, распределенная равномерно на отрезкеот 200 до 250 вольт. Найти плотность распределения и математическоеожидание мощности, выделяемой на сопротивлении в 100 Ом. Найтивероятность того, что мощность превысит 500 Вт.8.
В офисе 4 комнаты. В первой комнате 2 сотрудника, а компьютеровнет, во второй 4 компьютера и 1 сотрудник, в остальных двух по 2компьютера и по 2 сотрудника. Найти совместное распределение числасотрудников и числа компьютеров в выбранной наудачу комнате. Найтикоэффициент корреляции между ними.9. Взвешивают груз, находящийся в 200 мешках. Погрешностьизмерений веса каждого из них распределена по нормальному законус нулевым средним и стандартным отклонением 100 грамм. Найтивероятность того, что суммарная погрешность по абсолютной величинеменьше 1 кг.10.
Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна(√1√ − x/θ2eпри x > 0;22θxf (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами.
Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.1,07 -0,72 -4,46 -3,24 2,42 -1,70 -1,24 -0,07 6,20 2,67 1,80 0,26 9,612,51 1,44 -3,65 5,50 4,17 -2,06 7,48 2,60 7,61 2,54 9,77 9,67 7,36 7,8611,22 3,3812. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2].
Сделать вывод о том,192принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,06 1,44 0,70 1,33 0,74 0,61 1,03 1,25 0,850,81 1,04 0,76 0,80 1,55 1,61 0,82 1,70 1,63Вариант 151. Брошены три монеты. Описать событияA = {выпало не больше двух гербов и по крайней мере одна решка} иB = {выпал по крайней мере один герб и хотя бы одна решка}. Описатьтакже события AB, AB.2.
В шахматном турнире участвуют 16 человек, которые разбиваютсяна пары по жребию и играют по олимпийской системе (проигравшийвыбывает из игры, ничьих нет). Какова вероятность того, что второй посиле шахматист не попадет в финал?3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, врезультате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части.Определить вероятность того, что сумма длин первых двух частей непревосходит длины последней части.4.
Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующей схеме:A4-A3A2-A1Вероятность выхода из строя элемента Ak равна 0,1. Предполагается,что элементы выходят из строя независимо друг от друга. Найтивероятность того, что цепь не будет пропускать ток.5. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автоматдает 50 %, а второй 30 % всех деталей, необходимых для сборки. Бракв продукции первого автомата составляет 1 %, второго — 2 %, а третьего— 4 %.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
