Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Проверить, согласуются ли эти данные при уровне значимости0,05 с гипотезой H0 : p1 = 1/2, p2 = p3 = 1/4, где pj = P(Aj ). Найтидостигнутый уровень значимости.15.3 В экспериментах с селекцией гороха Мендель наблюдал частотыразличных видов семян, полученных при скрещивании растений скруглыми желтыми семенами и растений с морщинистыми зеленымисеменами. Эти данные и значения теоретических вероятностей по теориинаследственности приведены в следующей таблице:СеменаКруглые и желтыеМорщинистые и желтыеКруглые и зеленыеМорщинистые и зеленыеΣЧастота31510110832n=556Вероятность9/163/163/161/161Следует проверить гипотезу H0 о согласовании частотных данных стеоретическими вероятностями (на уровне значимости 0,1) и найтидостигнутый уровень значимости.15.3 В таблице приведены числа mi участков равной площади 0,25 км2южной части Лондона, на каждый из которых приходилось по i попаданийсамолетов-снарядов во время второй мировой войны.
Проверить согласиеопытных данных с законом распределения Пуассона, приняв за уровеньзначимости α = 0, 05:i01234mi229211933575иболее1ИтогоΣmi = 57615.4Крупная партия товаров может содержать долю дефектныхизделий. Поставщик полагает, что эта доля составляет 3%, а покупатель— 10%. Условия поставки: если при проверке 20 случайным образомотобранных товаров обнаружено не более одного дефектного, то партияпринимается на условиях поставщика, в противном случае — на условияхпокупателя. Требуется определить: 1) каковы статистические гипотезы,162статистика критерия, область ее значений, критическая область; 2) какоераспределение имеет статистика критерия, в чем состоят ошибки первогои второго рода и каковы их вероятности.15.5 Имеется выборка объема 1 из нормального распределения Na,1 .Проверяются простые гипотезы H0 : a = 0, H1 : a = 1.
Используетсяследующий критерий (при заданной постоянной c):H0 ⇔ X1 ≤ c.Вычислить, в зависимости от c, вероятности ошибок первого и второгорода.15.6 Построить критерий, обладающий нулевыми вероятностями ошибок,~ ⊂~ ⊂для проверки гипотез H0 : X= N0,1 против H1 : X= Πλ .~15.7 ПустьX ⊂= Na,1 . Для проверки гипотез H0 : a = 0 против H1 : a = 1используется следующий критерий: H0 принимается, если X(n) < 3, иотвергается в противном случае. Найти вероятности ошибок.15.8Используя конструкции доверительного интервала, построить~ ⊂критерий уровня ε для проверки гипотезы H : θ = 1 , если а) X= Nθ,1 ; б)~ ⊂~ ⊂~ ⊂~ ⊂X= N1,θ ; в) X= Eθ ; г) X= Bθ/2 ; д) X= Πθ .163Глава 16Подготовка к экзаменуВ этой главе содержатся программа экзамена для студентов —заочников и примеры теоретических вопросов.§ 16.1.Программа экзамена1. Понятие вероятности.
Классическое и геометрическое определениявероятности. Свойства вероятности: дополнения, включения,объединения.2. Условная вероятность. Полная группа событий. Формула полнойвероятности. Формула Байеса.3. Независимые события. Независимые испытания. Схема Бернулли.Формула Бернулли.
Теорема Пуассона.4. Дискретныеслучайныевеличины.Рядраспределения.Вырожденное, бернуллиевское, биномиальное, пуассоновскоераспределения. Формула подсчета вероятностей.5. Абсолютно непрерывные распределения. Плотность распределения.Нормальное, равномерное, показательное распределение.6. Функция распределения. Вероятности попадания в интервал и вточку. Свойства функции распределения и ее график. Независимыеслучайные величины, их свойства.7. Математическое ожидание, его свойства, формулы для его подсчета.Моменты, теорема о существовании моментов. Дисперсия и еесвойства.1648.
Сходимость по вероятности. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел Чебышева и его следствия. Сходимость почтинаверное, ее свойства. Усиленный закон больших чисел Колмогорова.9. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра — Лапласа.10. Понятие выборки.
Вариационный ряд. Эмпирическая функцияраспределения. Гистограмма. Выборочные моменты и их свойства.11. Задача оценивания неизвестных параметров. Несмещенность,состоятельность, сильная состоятельность. Метод моментов.Теорема о сильной состоятельности оценок методом моментов.Метод максимального правдоподобия.12. Проверка гипотез, основныеКолмогорова, хи-квадрат.§ 16.2.понятия.КритериисогласияПримеры экзаменационных вопросовКаждый экзаменационный билет содержит четыре вопроса по четыремтемам курса: элементарная теория, случайные величины, предельныетеоремы, математическая статистика.
Билет включает два теоретическихвопроса и две задачи. Для ответа на каждый из теоретическихвопросов, как правило, требуется знание нескольких параграфов курса.Экзаменационные задачи подобны задачам контрольной работы.Ниже приведены примеры теоретических вопросов.1. Классическое определение вероятности. Определить вероятностькаждой из перестановок N чисел.2. Формула полной вероятности и формула Байеса для полной группы,состоящей из события B и его отрицания.3. Случайная величина с биномиальным распределением, подсчет еематематического ожидания и дисперсии.4. Равномерное распределение.
Вычислить моменты случайнойвеличины, распределенной равномерно на отрезке [0; θ].5. Свойства сходимости почти наверное. Усиленный закон большихчисел, его графическая интерпретация: поведение среднего из nнезависимых случайных величин с ростом n.1656. Центральная предельная теорема, ее графическая интерпретация:приближение функции распределения нормированной суммынезависимых случайных величин к функции Лапласа.7. Несмещенность, состоятельность, сильная состоятельность оценок.Доказать, что выборочное среднее из распределения Бернулли —сильно состоятельная оценка для параметра распределения.8.
Метод моментов, примеры. Теорема о состоятельности оценокметодом моментов. Найти оценку параметра θ < 1/2 по выборкеслучайных величин, пинимающих значения 1 и -1 с вероятностями,равными θ, и значение 0 с вероятностью 1 − 2θ.166Глава 17Контрольная работаВ этой главе приведены задания контрольной работы по теориивероятностей и математической статистике. Выполнять контрольныезадания следует в соответствии с вариантом, номер которого соответствуетпоследним двум цифрам учебного шифра студента.Вариант123456789101112131415Последние две цифры01 31 61 9102 32 62 9203 33 63 9304 34 64 9405 35 65 9506 36 66 9607 37 67 9708 38 68 9809 39 69 9910 40 70 0011 41 7112 42 7213 43 7314 44 7415 45 75Вариант161718192021222324252627282930167Последние две цифры16 46 7617 47 7718 48 7819 49 7920 50 8021 51 8122 52 8223 53 8324 54 8425 55 8526 56 8627 57 8728 58 8829 59 8930 60 90Контрольные заданияВариант 11.
Из таблицы случайных чисел наугад выбраны два числа. СобытияA и B соответственно означают, что выбрано хотя бы одно простое числои хотя бы одно четное число. Что означают события AB и A ∪ B?2. Из корзины с пятью красными яблоками и четырьмя зеленымиберутся (без возвращения) наудачу три яблока. С какой вероятностьюсреди этих трех яблок: а) ровно два зеленых, б) хотя бы одно красное?3. Молодой человек договорился встретиться с девушкой между 9 и 10часами и обещал ждать её до 10 часов. Девушка обещала ждать его 10минут, если придет раньше.
Найти вероятность того, что они встретятся.Предполагается, что моменты их прихода равновероятны в течение часа.4. При передаче текста в среднем 5 % букв искажается и принимаетсяневерно. Передано слово из 6 букв. Какова вероятность того, что все буквыслова будут приняты правильно? Предполагается, что буквы искажаютсянезависимо друг от друга.5.
В тире имеется 6 одинаковых на вид ружей. Вероятность попаданияв мишень для двух из них по 0,9, для трех по 0,8 и для одного 0,3. Каковавероятность того, что стрелок попадет в мишень, если он выбирает ружьенаудачу? Какова вероятность того, что было выбрано ружье, для котороговероятность попадания 0,3, при условии, что стрелок попал в мишень?6. Вероятность попадания в мишень равна 0,6 при каждом выстреле.Стрельба ведется одиночными выстрелами до первого попадания, пока небудет израсходован боезапас.
Найти ряд распределения, математическоеожидание и дисперсию числа произведенных выстрелов, если боезапассоставляет 3 единицы. Построить график функции распределения.7. Случайная величина ξ имеет треугольное распределение. Плотностьраспределения равнаAx при 0 ≤ x ≤ θ;f (x) =0 при x 6∈ [0; θ].Найти коэффициент A, математическое ожидание и стандартноеотклонение. Найти вероятность того, что ξ > θ/2. Начертить графикиплотности распределения и функции распределения.1688. Составить таблицу совместного распределения числа выпавшихединиц и числа выпавших шестерок при одном подбрасывании игральнойкости. Найти коэффициент корреляции между ними.9. Участник лотереи бросает игральную кость 10 раз. Участникполучает ценный приз, если сумма очков больше 50.
Оценить вероятностьполучения ценного приза.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 2 по первому моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равнаθx−(θ+1) при x > 1;f (x) =0 при x ≤ 1.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами.
Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.0,78 1,26 1,58 2,11 0,01 1,35 2,05 0,76 1,65 1,61 0,12 2,03 1,07 1,103,06 0,38 0,64 1,63 0,54 2,65 0,82 1,21 0,73 1,99 2,44 0,93 0,47 0,8812.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
