Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 27
Текст из файла (страница 27)
На отрезке AB наудачу выбираются две точки M и N . Каковавероятность того, что точка M окажется ближе к точке N , чем к точкеA?1784. Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующейсхеме:äóþùåé ñõåìå:A3-A2-A1Âåðîÿòíîñòü âûõîäàñòðîÿýëåìåíòàВероятностьвыходаèçизстрояэлемента A1 равна 0,1, остальныхэлементов Ak — по 0,04. Предполагается, что элементы выходят изстроя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будетпропускать ток.5. Прибор состоит из двух независимо работающих блоков, вероятностиотказа которых за смену равны соответственно 0,05 и 0,08.
Вероятностьвыхода из строя прибора при отказе одного из блоков равна 0,8; при отказеобоих блоков — 1. Определить вероятность выхода прибора из строя засмену. Найти вероятность того, что отказали оба блока, если известно, чтоприбор вышел из строя.6. При игре с автоматом в случае выигрыша игрок получает 10рублей. Вероятность выигрыша составляет 0,3. Найти сумму x рублей,которую игрок бросает в автомат и теряет в случае проигрыша, еслиматематическое ожидание выигрыша равно минус 2 рублям.
(В случаепроигрыша сумма выигрыша считается отрицательным числом, равнымсумме проигрыша, взятой со знаком «минус».) Найти ряд распределения идисперсию суммы выигрыша. Построить график функции распределения.7. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ имеетвид f (x) = Ae−2|x| (распределение Лапласа). Найти коэффициент A,вычислить математическое ожидание и стандартное отклонение. Найтивероятность того, что случайная величина ξ примет значение, большее 1.8.
В трех из четырех аудиторий по 20 студентов и уровень шума80 децибелл, а в четвертой аудитории нет студентов и уровень шума 20децибелл. Найти совместное распределение числа студентов и уровня шумав выбранной наудачу аудитории. Найти коэффициент корреляции междучислом студентов и уровнем шума.9. Количество 10-копеечных монет, необходимое для выдачи каждойсдачи в кассе, принимает значения от 0 до 4 с равными вероятностями.Найти, сколько должно быть 10-копеечных монет в кассе, чтобы свероятностью 0,9 их хватило на 2500 выдач сдачи.10.
Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра 0 < θ < 1 по первому моменту179и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна 1 −(θ+1)/θпри x > 1;θxf (x) =0 при x ≤ 1.11.
Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.1,29 12,70 10,80 -10,19 4,32 12,02 13,68 3,75 -0,90 2,94 15,07 2,08 16,2213,42 1,55 -6,05 15,70 12,35 13,94 -0,56 24,10 7,45 3,60 -0,24 16,84 6,13-5,28 3,00 10,0412. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2].
Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,28 1,13 1,78 0,65 0,55 1,02 0,88 0,76 0,571,71 0,62 1,69 0,15 0,23 1,99 1,53 1,91 1,57Вариант 81. Наудачу брошены три монеты. Описать события: A — хотя бы наодной выпала решка, B — хотя бы на двух выпал орел. Описать такжесобытие AB.2. Номер лотерейного билета состоит из 3 цифр. Какова вероятностьтого, что все цифры взятого наудачу билета окажутся различными?3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, врезультате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части.Определить вероятность того, что длина хотя бы одной из первых двухполучившихся частей не превосходит 2/3.4. По мишени по одному разу стреляют 3 стрелка. Вероятностьпопадания для первого равна 0,5, для второго — 0,6, для третьего — 0,7.Найти вероятность ровно двух попаданий.1805.
В семи урнах содержится по 2 белых и 2 черных шара, а в трех урнахпо 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность, что из урны, взятойнаудачу, будет извлечен белый шар? Найти вероятность, что шар извлечениз урны с 7 белыми и 3 черными шарами, если он оказался белым.6. Прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементовза некоторый период времени независимы, а их вероятности равнысоответственно 0,1; 0,2; 0,3.
Найти ряд распределения, математическоеожидание и дисперсию числа отказавших элементов. Построить графикфункции распределения.7. Точка M движется по оси Ox по закону x = at2 . В случайный моментвремени, равномерно распределенный на отрезке [0; 1], наблюдаетсяположение ξ точки M . Найти плотность распределения, математическоеожидание и стандартное отклонение случайной величины ξ.8.
Четыре поезда метро, уходящие с интервалом в 4 минуты, увезли по200 пассажиров. Четыре поезда, уходящие с интервалом в 6 минут, увезлипо 100 пассажиров. Два поезда, уходящие с интервалом в 8 минут, увезлипо 50 пассажиров. Найти совместное распределение числа пассажиров иинтервала движения для выбранного наудачу поезда. Найти коэффициенткорреляции.9.
Количество бракованных изделий в коробке имеет распределениеПуассона с параметром 3. Найти вероятность того, что в 25 коробках менее100 бракованных изделий.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 3 по второму моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равнаf (x) =(θ − 1)x−θ при x > 1;0 при x ≤ 1.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами.
Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.14,92 7,48 2,82 22,84 7,49 8,98 13,84 14,17 7,07 9,69 -8,35 12,77 14,935,81 8,62 11,22 3,85 2,86 9,52 15,93 9,43 19,48 19,19 12,20 19,40 12,098,47 6,7918112. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2].
Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1,91 0,91 0,30 1,34 0,61 1,12 1,00 0,53 1,58 0,620,41 0,89 1,20 1,51 0,78 1,44 0,46 0,69 1,33Вариант 91. Из колоды карт в 52 листа наудачу вынимаются три карты (безвозвращения). Описать пространство элементарных исходов, а такжесобытие, состоящее в том, что среди этих трех карт окажется ровно одинтуз.2. В бригаде 3 рабочих. Какова вероятность того, что по крайнеймере двое из них родились в один и тот же день недели? Считать, чтовероятности родиться в каждый из дней одинаковы.3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, врезультате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части.Определить вероятность того, что длина каждой из трех получившихсячастей не превосходит 3/4.4.
Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующей схеме:A2- A1A3Вероятность Âåðîÿòíîñòüвыхода из строяэлементаâûõîäàèç ñòðîÿ Aýëåìåíòà2 равна 0,01, остальныхэлементов Ak — по 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строянезависимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будетпропускать ток.5.
Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире».Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаютсяв отношении 3:2. Из-за помех искажается в среднем 25 % сигналов «точка»и 20 % сигналов «тире», причем «точка» искажается в «тире», а «тире» в«точку». Найти вероятность искажения сигнала. Определить вероятностьтого, что передавали «тире», если известно, что приняли «точку».6. Два игрока играют в шахматы на деньги. Известно, что в среднемиз 4 партий одну выигрывает первый игрок, одна заканчивается вничью, и182две выигрывает второй игрок. В случае проигрыша первый игрок платитвторому 5 рублей. Сколько он должен получать в случае выигрыша,чтобы математическое ожидание его выигрыша равнялось нулю? Найтиряд распределения и дисперсию суммы выигрыша (отрицательная суммавыигрыша — это сумма проигрыша, взятая со знаком «минус»).
Построитьграфик функции распределения.7. Случайная величина ξ имеет плотность распределения(22A√e−(x−a) /(2σ ) при x ∈ [a; ∞);σ 2πf (x) =0 приx < aНайти нормирующую константу A, вычислить математическое ожидание.Построить график плотности распределения при a = σ = 1.8. В подъезде 15 однокомнатных квартир площадью по 50 кв.
м., 10двухкомнатных квартир по 70 кв. м. и 5 трехкомнатных квартир по 80кв. м. Для выбранной наудачу квартиры найти совместное распределениечисла комнат и площади. Найти коэффициент корреляции между ними.9. Суммарное время работы машины складывается из 10 000интервалов времени, каждый из которых измеряется со стандартнымотклонением в 1 минуту.
Найти вероятность того, что фактическое времяработы отличается от измеренного больше, чем на 1 час.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна x −x/θпри x > 0;θ2 ef (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.22,59 -2,61 11,87 1,37 5,92 -5,10 5,38 14,71 7,55 3,91 1,23 8,50 -5,58-1,97 17,93 9,42 11,99 9,39 4,78 5,43 9,40 8,68 2,20 7,15 14,78 14,77-15,1612.
По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,183принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1,49 1,96 0,64 0,76 0,01 0,82 0,23 0,82 1,961,28 1,49 1,07 1,92 0,17 1,68 1,01 0,48Вариант 101. Брошены две игральные кости. Пусть событие A состоит в том, чтовыпавшая сумма очков нечетна, а событие B — в том, что хотя бы на однойиз костей выпала тройка. Описать события AB и AB.2. Из полного набора костей домино наудачу берутся пять костей.Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна с шестеркой.3. На линейке наудачу поставлены 2 точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
