Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 25
Текст из файла (страница 25)
По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,46 0,68 0,59 1,97 1,03 0,62 0,89 1,93 0,881,66 1,34 1,99 0,59 0,00 0,46 1,48 1,35 1,74Вариант 21. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие A— выбранное число делится на 5; событие B — данное число оканчиваетсянулем. Что означают события A \ B и AB?2. В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошенаточка.
Пусть (X, Y ) — ее координаты. Найти P(max{X + 3Y, Y } ≤ 1/2).1693. Бросают 3 игральные кости. Какова вероятность того, что на нихвыпадет разное число очков?4. Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующей схеме:A3A1A2Âåðîÿòíîñòü âûõîäàñòðîÿêàæäîãîýëåìåíòàВероятностьвыходаèçизстроякаждогоэлемента Ak равна 0,02.Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга.Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.5. Одинаковые детали поступают на сборку с трех автоматов.
Первыйавтомат дает 20 %, второй 30 %, третий 50 % всех деталей, необходимыхдля сборки. Брак в продукции первого автомата составляет 2,5 %,второго — 2 %, третьего — 2,5 %. Найти вероятность поступления насборку бракованной детали. Найти вероятность того, что оказавшаясябракованной деталь изготовлена на первом автомате.6. По мишени одновременно стреляют три стрелка, вероятностипопаданий которых равны соответственно 0,55, 0,6 и 0,65.
Найти рядраспределения, математическое ожидание и дисперсию числа попаданийв мишень. Построить график функции распределения.7. Распределение Парето приближенно описывает распределениедоходов физических лиц. Плотность распределения равна Aпри x ≥ θ;xαf (x) =0 при x < θ.Здесь α > 2, θ > 0 — параметры распределения, A — нормирующаяконстанта. Найти константу A. Вычислить значение параметра α, прикотором математическое ожидание превосходит значение параметра θ в3 раза.8. Подбрасываются три симметричных монеты. Составить таблицусовместного распределения количеств выпавших гербов на трех монетахи на первых двух монетах. Найти коэффициент корреляции между ними.9. Время ожидания поезда метро за одну поездку имеет равномерноераспределение на отрезке от 0 до 5 минут.
Оценить вероятность того, чтосуммарное время ожидания за 30 поездок окажется меньше 1,5 часов.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по второму моменту170и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна 2x−x2 /θпри x > 0;θ ef (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения.
Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.2,05 0,80 0,32 3,31 1,12 3,29 3,87 2,65 2,01 2,65 1,19 -0,85 4,07 1,233,38 5,17 1,51 2,20 5,41 1,22 1,89 2,02 3,17 -1,02 2,73 1,10 3,8712. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,24 1,25 0,87 0,54 0,48 1,20 1,79 0,62 0,75 0,550,46 1,02 1,71 1,91 0,83 0,99 1,46 1,09 0,94Вариант 31.
Событие A — хотя бы одно из имеющихся четырех изделийбракованное, событие B — бракованных изделий среди них не менее двух.Что означают противоположные события A и B?2. В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошенаточка. Пусть (X, Y ) — ее координаты. Найти P(max{2X, Y } < 1/3).3. В студенческой группе 15 юношей и 10 девушек. На университетскийпраздничный бал группа получила только 2 пригласительных билета,которые разыгрываются по жребию. Какова вероятность того, что на балпопадут юноша и девушка?4. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг отдруга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует вниманиярабочего, равна для первого станка 0,6, для второго — 0,8, для третьего— 0,9, для четвертого — 0,7.
Найти вероятность того, что хотя бы один изстанков в течение часа не потребует внимания рабочего.1715. Станок обрабатывает 2 вида деталей A и B, причем время работыраспределяется между ними в соотношении 1:4. При обработке деталивида A он работает с максимальной для него нагрузкой в течение 70 %времени, при обработке детали вида B — 50 % времени. В случайныймомент времени станок работал с максимальной нагрузкой.
Определитьвероятность того, что в это время он обрабатывал деталь вида A; вида B.6. Вероятность попадания баскетбольного мяча в кольцо при бросанииначинающим спортсменом равна 1/4. Мяч бросают до первого попадания,но дают не более 4 попыток. Найти ряд распределения, математическоеожидание и дисперсию числа промахов. Построить график функциираспределения.7. Скорость пешехода на дистанции в 1 км является случайнойвеличиной, равномерно распределенной на отрезке от 2 км/ч до 4 км/ч.Найти математическое ожидание и стандартное отклонение времени,затраченного на преодоление дистанции. Найти вероятность того, что этовремя превысит 24 минуты.8. В группе из 25 студентов только двое изучали в школе модальнуюлогику, и именно они получили оценку «5» на экзамене. Из остальныхстудентов 10 человек получили оценку «4», 10 человек — оценку«3», и 3 студента получили «двойки».
Составить таблицу совместногораспределения оценки на экзамене и индикатора изучения модальнойлогики для выбранного наудачу студента. Найти коэффициент корреляциимежду ними.9. Число опечаток на странице книги имеет распределение Пуассона спараметром 2. Найти пределы, в которых с вероятностью 0,9 лежит числоопечаток в книге из 400 страниц.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моментуи методом максимального правдоподобия.
Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна 3x2−x3 /θпри x > 0;θ ef (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.1727,61 3,33 7,35 3,05 2,54 1,91 1,77 2,92 5,95 2,31 0,27 5,12 6,60 -1,585,42 5,67 6,28 -0,09 2,74 2,45 1,11 6,97 -1,59 -1,41 2,69 4,99 7,24 1,754,7612. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,49 1,42 0,61 2,00 0,59 0,58 1,18 1,58 1,01 0,570,05 0,25 0,17 1,30 0,52 0,91 0,84 1,66 1,24Вариант 41.
Монета подбрасывается три раза подряд. Построить пространствоэлементарных исходов Ω. Описать событие A, состоящее в том, что выпалоне менее двух гербов.2. В компании из трех человек решили сделать друг другу подарки, длячего каждый принес подарок. Все подарки сложили вместе, перемешалии случайно распределили среди участников. Найти вероятность, что хотябы один подарок вернется к своему владельцу.3. На линейке длиной 20 см случайно сделаны две насечки. Каковавероятность того, что первая окажется дальше от начала не менее, чем на5 см, по сравнению со второй?4. Детали проходят три операции обработки. На каждой изопераций может возникнуть брак независимо от остальных операцийс вероятностями 0,02, 0,03 и 0,035 соответственно. Найти вероятностьполучения небракованной детали.5.
Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,95.На заводе принята система из трех независимых испытаний, каждое изкоторых изделие, удовлетворяющее стандарту, проходит с вероятностью0,8, а неудовлетворяющее — с вероятностью 0,3. Какова вероятность того,что наудачу взятое изделие выдержит испытания? Какова вероятностьтого, что изделие, выдержавшее испытания, удовлетворяет стандарту?6. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженномтехнологическом процессе постоянна и равна 1/5.
Для проверки изделийотдел технического контроля берет из партии изделия одно за другим, ноне более 3 изделий. При обнаружении нестандартного изделия вся партия173задерживается. Найти ряд распределения, математическое ожидание идисперсию числа изделий, проверяемых в каждой партии. Построитьграфик функции распределения.7. Мощность W , выделяемая на сопротивлении R, вычисляется позакону W = RI 2 , где I — сила тока. Предполагается, что сила токараспределена равномерно на отрезке от 1 до 2 ампер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
