Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 33
Текст из файла (страница 33)
На линейке длиной 20 см случайно сделаны две насечки. Каковавероятность того, что растояние от первой насечки до начала линейкипревосходит расстояние от второй насечки до начала линейки более, чемна 15 см?4. Радиосигнал передается последовательно через 3 ретранслятора. Накаждом ретрансляторе может возникнуть помеха независимо от остальныхретрансляторов с вероятностями 0,02, 0,03 и 0,04 соответственно. Найтивероятность получения радиосигнала без помехи.5. Вероятность того, что изделие удовлетворяет стандарту, равна 0,95.На заводе принята система из четырех независимых испытаний, каждое209из которых изделие, удовлетворяющее стандарту, проходит с вероятностью0,9, а неудовлетворяющее — с вероятностью 0,4. Какова вероятность того,что наудачу взятое изделие выдержит испытания? Какова вероятностьтого, что изделие, выдержавшее испытания, удовлетворяет стандарту?6.
Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженномтехнологическом процессе постоянна и равна 1/9. Для проверки изделийотдел технического контроля берет из партии изделия одно за другим, ноне более 5 изделий. При обнаружении нестандартного изделия вся партиязадерживается. Найти ряд распределения, математическое ожидание идисперсию числа изделий, проверяемых в каждой партии. Построитьграфик функции распределения.7. Высота H, которой достигает брошенный вверх мяч, определяетсяпо формуле H = v 2 /(2g), где v — скорость, с которой брошенмяч, g — ускорение свободного падения, которое примем равным 10м/с2 .
Предполагается, что v — случайная величина, распределеннаяравномерно на отрезке от 10 до 20 м/с. Найти плотность распределения иматематическое ожидание высоты, достигнутой мячом. Найти вероятностьтого, что высота превысит 15 м.8. В научном отделе 3 лаборатории. В первой лаборатории 6сотрудников и 2 исследовательских проекта, во второй 8 сотрудникови 1 проект, в третьей — 4 сотрудника и 2 проекта. Найти совместноераспределение числа сотрудников и числа проектов в выбранной наудачулаборатории. Найти коэффициент корреляции между ними.9.
Погрешность измерений длины каждого из участков маршрутараспределена по нормальному закону с нулевым средним и стандартнымотклонением 5 метров. Найти, на сколько участков можно разбитьмаршрут, чтобы суммарная погрешность не превосходила по модулю 100метров с вероятностью 0,95.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моментуи методом максимального правдоподобия.
Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна(√1√ − x/θ3при x > 0;3 xe2θf (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения.
Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражение210для оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.-1,07 -0,72 -4,46 -3,24 2,42 -1,70 -1,24 -0,07 6,20 2,67 1,80 0,26 9,612,51 1,44 -3,65 5,50 4,17 -2,06 7,48 2,60 7,61 2,54 9,77 9,67 7,36 7,8611,22 3,3812. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2].
Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1,06 1,44 0,70 1,33 0,74 0,61 1,03 1,25 0,850,81 1,04 0,76 0,80 1,55 1,61 0,82 1,70 1,63Вариант 251. Брошены четыре монеты. Пусть событие A состоит в том, что покрайней мере на двух монетах выпал герб, а событие B — в том, что хотябы на двух монетах выпала решка. Описать события AB, AB, AB.2. В шахматном матче участвуют 4 пары шахматистов. Вероятностьничьей в каждой партии равна 1/4. Найти вероятность того, что в матчебудет хотя бы одна ничья.3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, врезультате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части.Определить вероятность того, что длина каждой из первых двух частейне превосходит 3/5, длина же последней части больше 1/2.4. Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующей схеме:A2- A1A3-A4Вероятность выхода из строя элемента Ak равна 0,1. Предполагается,что элементы выходят из строя независимо друг от друга.
Найтивероятность того, что цепь не будет пропускать ток.5. На сборку поступают детали с четырех автоматов. Первый и второйавтоматы дают по 40 %, а третий и четвертый по 10 % всех деталей,211необходимых для сборки. Брак в продукции первого и второго автоматасоставляет 1 %, а третьего и четвертого — 4 %. Деталь, изготовленнаяавтоматом, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что онаизготовлена на первом автомате?6. Вероятность отказа сервера при каждом из независимыхподключений с помощью модема равна 0,2.
Попытки подключенияпроизводятся до установления связи. Найти ряд распределения,математическое ожидание и дисперсию числа произведенных попытокподключения, если число попыток ограничено шестью. Построить графикфункции распределения.7. Закон Эрланга с плотностью распределенияAx2 e−αx при x ≥ 0;f (x) =0 при x < 0описывает время ожидания прихода трех вызовов в пуассоновскомпотоке. Найти коэффициент A, математическое ожидание и дисперсию.(Рекомендуется использовать таблицы определенных интегралов).8.
На 8 карточках написаны цифры от 1 до 9. Найти совместноераспределение числа, написанного на выбранной наудачу карточке, ииндикатора того, что это число больше трех. Найти коэффициенткорреляции между ними.9. Количество воды, расходуемое жителями одной квартиры в сутки,8имеет показательное распределение со средним значением 100 литров.Найти, для какого количества квартир достаточно 100 000 литров водыс вероятностью 0,94.10.
Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна 1−x/θ3при x > 0;θ3 ef (x) =0 при x ≤ 0.11.
Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.2124,38 -1,10 13,11 10,84 9,45 8,56 7,87 7,34 -4,06 3,48 4,70 7,13 -1,084,53 13,56 2,66 7,29 9,41 11,86 9,54 10,86 2,50 -2,84 11,21 8,9312. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,23 0,49 1,12 1,98 0,25 1,52 0,52 0,03 1,101,59 0,27 1,30 1,79 1,93 0,23 1,84 1,04Вариант 261.
На отрезке [0, 1] наудачу ставятся две точки. Построить подходящеепространство элементарных исходов Ω и описать событие A, означающее,что вторая точка ближе к правому концу отрезка [0, 1], чем к левому, исобытие B, означающее, что расстояние между двумя точками меньшеполовины длины отрезка, а также событие AB.2. Трое женщин и трое мужчин садятся случайным образом за круглыйстол. Найти вероятность того, что мужчины и женщины за столом будутчередоваться.3.
Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике состоронами 1 и 2. найти вероятность того, что расстояние от А доближайшей стороны прямоугольника не превосходит 1/3.4. Вероятность установления соединения с сервером при каждойпопытке равна 0,9. Найти вероятность того, что соединение будетустановлено не раньше четвертой попытки.5. Студент выучил к зачету только 10 вопросов из 30.
Для получениязачета достаточно ответить на два из четырех разных вопросов. Каковавероятность того, что зачет будет получен? Какова вероятность того, чтостудент ответил не менее чем на три вопроса, если известно, что он получилзачет?6. Пользователь компьютера забыл пароль и перебирает наудачу 5возможных.
После четырех неудачных попыток компьютер блокируется.Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числапопыток. Построить график функции распределения.7. Случайная величина ξ имеет стандартное логарифмическинормальное распределение, если ξ = eη , где η имеет стандартное213нормальное распределение. Найти плотность распределения иматематическое ожидание случайной величины ξ. Найти вероятностьтого, что ξ > 1.8. В двух из четырех комнат температура 25 градусов, а влажность80 процентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
