Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В третьей комнате температура 20 градусов, а влажность90 процентов. В четвертой комнате температура 25 градусов, а влажность90 процентов. Найти совместное распределение температуры и влажностив выбранной наудачу комнате. Найти коэффициент корреляции междутемпературой и влажностью.9. Участник лотереи бросает несколько шаров, каждый из которыхможет попасть в лузы с номерами от 1 до 6. Участник получает ценныйприз, если сумма очков меньше 12. Найти, при каком числе шароввероятность получения ценного приза будет меньше 0,01.10.
Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна 3√x√−x x/θ3при x > 0;2θ3 ef (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.5,61 6,70 2,88 9,09 -2,06 6,25 6,46 4,25 16,16 7,07 1,35 13,58 7,96 14,64-2,14 10,81 2,50 2,24 -1,04 5,31 11,93 16,20 7,49 -5,21 5,90 5,63 7,2612. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2].
Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,64 0,79 0,64 1,06 0,42 0,69 1,65 0,45 0,431,48 0,44 0,97 1,49 0,46 1,29 0,37 0,45Вариант 272141. Из множества супружеских пар выбирается одна пара. Событие A ={Мужу больше 25 лет}, событие B = {Муж старше жены}, событие C ={Жене больше 25 лет}.Выяснить смысл событий: ABC, A\AB, ABC.2.
На отрезке AB наудачу выбираются две точки M и N . Каковавероятность того, что точка M окажется по крайней мере вдвое ближек точке A, чем к точке N ?3. Собрались вместе три незнакомых человека. Найти вероятность, чтохотя бы у двух из них совпадают дни рождения.4. Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующей схеме:A2- A1A4 A3Вероятность выхода из строя элемента A1 равна 0,1, остальныхэлементов Ak — по 0,04. Предполагается, что элементы выходят изстроя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будетпропускать ток.5. Прибор состоит из четырех независимо работающих блоков,вероятности отказа которых за смену равны соответственно 0,01, 0,02, 0,03и 0,04.
Вероятность выхода из строя прибора при отказе одного из блоковравна 0,8; при отказе более чем одного блока — 1. Определить вероятностьвыхода прибора из строя за смену. Найти вероятность того, что отказалодин блок, если известно, что прибор вышел из строя.6. При игре с автоматом в случае выигрыша игрок получает 10 рублей.Для участия в игре игрок бросает в автомат 5 рублей.
Найти вероятностьвыигрыша, если математическое ожидание выигрыша равно минус 2рублям. (В случае проигрыша сумма выигрыша считается отрицательнымчислом, равным сумме проигрыша, взятой со знаком «минус».) Найти рядраспределения и дисперсию суммы выигрыша. Построить график функциираспределения.7. Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ имеетвид f (x) = Ae−|x−a| (распределение Лапласа). Найти коэффициент A,вычислить математическое ожидание и стандартное отклонение.
Найтивероятность того, что случайная величина ξ примет значение, большее 2a.8. В трех из четырех аудиторий по 20 студентов и уровень шума60 децибелл, а в четвертой аудитории нет студентов и уровень шума 20децибелл. Найти совместное распределение числа студентов и уровня шума215в выбранной наудачу аудитории. Найти коэффициент корреляции междучислом студентов и уровнем шума.9.
Количество 10-копеечных монет, необходимое для выдачи каждойсдачи в кассе, принимает значения от 0 до 4 с равными вероятностями. Вкассе в начале рабочего дня находится 2500 10-копеечных монет. Найти,для какого количества покупателей получение сдачи гарантировано свероятностью 0,8.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с9 плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра 2 < θ < 3 по первому моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна 1 −(θ−1)/(θ−2)при x > 1;θ−2 xf (x) =0 при x ≤ 1.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами.
Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.1,92 12,70 10,80 -10,19 4,32 12,02 13,68 3,75 -0,90 2,94 15,07 2,08 16,2213,42 1,55 -6,05 15,70 12,35 13,94 -0,56 24,10 7,45 3,60 -0,24 16,84 6,13-5,28 3,00 10,0412. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2].
Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,82 1,13 1,78 0,65 0,55 1,02 0,88 0,76 0,571,71 0,62 1,69 0,15 0,23 1,99 1,53 1,91 1,57Вариант 281. Брошены три игральные кости. Пусть событие A состоит в том, чтовыпавшая сумма очков нечетна, событие B — в том, что хотя бы на однойиз костей выпала единица, событие C — в том, что хотя бы на одной костивыпала двойка. Описать события: ABC, ABC, ABC.2162. Номер лотерейного билета состоит из 8 цифр.
Какова вероятностьтого, что первые четыре цифры четные, а последние четыре — нечетные?3. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольнике состоронами 1 и 2. найти вероятность того, что расстояние от А до каждойдиагонали прямоугольника не превосходит 1/3.4. Интервал движения между автобусами маршрута А — 5 минут,маршрута Б — 6 минут, маршрута В — 10 минут.
Пассажир приходит наостановку в случайный момент времени. Какова вероятность того, что хотябы один автобус придет в течение 2 минут после прихода пассажира?5. В девяти урнах содержится по 4 белых и 2 черных шара, а водной урне 9 белых и 1 черный шар. Какова вероятность, что из урны,взятой наудачу, будет извлечен черный шар? Найти вероятность, что шаризвлечен из урны с 9 белыми и 1 черным шаром, если он оказался черным.6.
Прибор состоит из четырех малонадежных элементов. Отказыэлементов за некоторый период времени независимы, а их вероятностиравны соответственно 0,1; 0,1; 0,2; 0,2. Найти ряд распределения,математическое ожидание и дисперсию числа отказавших элементов.Построить график функции распределения.7. Точка M движется по оси Ox по закону x = aet . В случайный моментвремени, равномерно распределенный на отрезке [0; T ], наблюдаетсяположение ξ точки M .
Найти плотность распределения, математическоеожидание и стандартное отклонение случайной величины ξ.8. Четыре поезда метро, уходящие с интервалом в 4 минуты, увезли по200 пассажиров. Четыре поезда, уходящие с интервалом в 6 минут, увезлипо 300 пассажиров. Два поезда, уходящие с интервалом в 8 минут, увезлипо 100 пассажиров. Найти совместное распределение числа пассажиров иинтервала движения для выбранного наудачу поезда. Найти коэффициенткорреляции.9.
Количество бракованных изделий в коробке имеет распределениеПуассона с параметром 4. Найти максимальное число коробок такое, чтобывероятность найти в них более 200 бракованных изделий была меньше 0,04.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 4 по второму моментуи методом максимального правдоподобия.
Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равнаf (x) =(θ − 2)x−θ+1 при x > 1;0 при x ≤ 1.21711. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.14,29 7,48 2,82 22,84 7,49 8,98 13,84 14,17 7,07 9,69 -8,35 12,77 14,935,81 8,62 11,22 3,85 2,86 9,52 15,93 9,43 19,48 19,19 12,20 19,40 12,098,47 6,7912.
По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1,19 0,91 0,30 1,34 0,61 1,12 1,00 0,53 1,58 0,620,41 0,89 1,20 1,51 0,78 1,44 0,46 0,69 1,33Вариант 291.
Может ли сумма двух событий A и B совпадать с их произведением?Привести соответствующие примеры.2. В бригаде 4 рабочих. Какова вероятность того, что по крайней мередвое из них родились в один и тот же месяц? Считать, что вероятностиродиться в каждый месяц одинаковы.3. Случайная точка A наудачу выбирается в прямоугольномтреугольнике с катетами 1 и 2. Найти вероятность того, что расстояниеот А до ближайшей стороны треугольника не превосходит 1/3.4. Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующей схеме:A4- A1A2-A3Вероятность выхода из строя элемента A2 равна 0,01, остальныхэлементов Ak — по 0,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
