Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Построить график функции распределения.7. Случайная величина ξ — координата точки, совершающейколебательные движения по закону x = a sin(ωt), и наблюдаемой в204случайный момент времени T , равномерно распределенный на периодеколебаний [0; 2π/ω]. Найти математическое ожидание и стандартноеотклонение cлучайной величины ξ. Найти вероятность того, что ξ > a/2.8. Составить таблицу совместного распределения числа выпавшихчетных и нечетных чисел при одном подбрасывании игральной кости.Найти коэффициент корреляции между ними.9. Оценить, сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы суммавыпавших очков превысила 300 с вероятностью не менее 0,92.9 Для выборки (X1 , X2 , . .
. , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 4 по первому моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна(θ − 2)x−θ+1 при x > 1;f (x) =0 при x ≤ 1.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.0,87 1,26 1,58 2,11 0,01 1,35 2,05 0,76 1,65 1,61 0,12 2,03 1,07 1,103,06 0,38 0,64 1,63 0,54 2,65 0,82 1,21 0,73 1,99 2,44 0,93 0,47 0,8812.
По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1,46 0,68 0,59 1,97 1,03 0,62 0,89 1,93 0,881,66 1,34 1,99 0,59 0,00 0,46 1,48 1,35 1,74Вариант 221. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второготипа. События: Ak , k = 1, 2, — исправен k-й блок первого типа, Bj , j =1, 2, 3, — исправен j-й блок второго типа.
Прибор исправен, если исправныхотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа.Выразить событие C, означающее исправность прибора, через Ak и Bj .2052. Бросают 4 игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бына двух из них выпадет одинаковое число очков?3. Стержень единичной длины AB разломан в двух наудачу выбранныхточках X и Y . С какой вероятностью расстояние между этими точками непревзойдет длины отрезка BY ?4. Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующей схеме:A3- A1A2A4Вероятность выхода из строя каждого элемента Ak равна 0,02.Предполагается, что элементы выходят из строя независимо друг от друга.Найти вероятность того, что цепь будет пропускать ток.5. Одинаковые детали поступают на сборку с трех автоматов.
Первыйавтомат дает 25 %, второй 30 %, третий 45 % всех деталей, необходимыхдля сборки. Брак в продукции первого автомата составляет 2,5 %,второго — 2 %, третьего — 3 %. Найти вероятность поступления насборку небракованной детали. Найти вероятность того, что оказавшаясянебракованной деталь изготовлена на первом автомате.6.
По мишени одновременно стреляют три стрелка, вероятностипопаданий которых равны соответственно 0,4, 0,7 и 0,9. Найти рядраспределения, математическое ожидание и дисперсию числа попаданийв мишень. Построить график функции распределения.7. Максимальный нуль стандартного броуновского движения на [0; 1]имеет координату ξ с функцией распределения√Aarcsin x при x ∈ [0; 1];F (x) =1 при x > 1.Найти константу A. Построить графики функции распределения иплотности распределения случайной величины ξ.8.
Подбрасываются три симметричных монеты. Составить таблицусовместного распределения количеств выпавших гербов на первой монетеи на трех монетах. Найти коэффициент корреляции между ними.9. Время ожидания поезда метро за одну поездку имеет равномерноераспределение на отрезке от 0 до 5 минут. Оценить число поездок, втечение которых суммарное время ожидания окажется меньше 1 часа свероятностью 0,96.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по второму моменту206и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок.
Плотность распределения равна 2x−x2 /θ3при x > 0;θ3 ef (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.2,50 0,80 0,32 3,31 1,12 3,29 3,87 2,65 2,01 2,65 1,19 -0,85 4,07 1,233,38 5,17 1,51 2,20 5,41 1,22 1,89 2,02 3,17 -1,02 2,73 1,10 3,8712. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,42 1,25 0,87 0,54 0,48 1,20 1,79 0,62 0,75 0,550,46 1,02 1,71 1,91 0,83 0,99 1,46 1,09 0,94Вариант 231.
Судно имеет одно рулевое устройство, четыре котла и две турбины.Событие A означает исправность рулевого устройства, Bk , k = 1, 2, 3, 4,— исправность k-го котла, а Cj , j = 1, 2, — исправность j-й турбины.Событие D — судно управляемое, что будет в том и только в том случае,когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы однатурбина. Выразить D через A, Bk и Cj .2. В студенческой группе 10 юношей и 15 девушек.
На университетскийпраздничный бал группа получила 5 пригласительных билетов, которыеразыгрываются по жребию. Какова вероятность того, что на бал попадетхотя бы одна девушка?3. На отрезке единичной длины наудачу поставлены две точки, врезультате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части.Определить вероятность того, что длина всех трех получившихся частейне превосходит 2/3.2074.
На трех телеканалах часть времени занята рекламой: на первом —60 % времени, на втором — 40 %, на местном — 30 %. Найти вероятностьтого, что в случайный момент времени нет рекламы хотя бы на одном изканалов.5. Станок обрабатывает 2 вида деталей A и B, причем время работыраспределяется между ними в соотношении 2:3. При обработке деталивида A он работает с максимальной для него нагрузкой в течение 60 %времени, при обработке детали вида B — 90 % времени. В случайныймомент времени станок работал с максимальной нагрузкой. Определитьвероятность того, что в это время он обрабатывал деталь вида A; вида B.6. Вероятность попадания баскетбольного мяча в кольцо при бросанииначинающим спортсменом равна 1/9. Мяч бросают до первого попадания,но дают не более 6 попыток.
Найти ряд распределения, математическоеожидание и дисперсию числа промахов. Построить график функциираспределения.7. Сила, действующая на электрон в электрическом поле, вычисляетсяпо формуле F = k/r2 , где r — расстояние от анода — случайная величина,распределенная равномерно на [R; 2R]. Найти математическое ожиданиеи стандартное отклонение силы F . Найти вероятность того, что эта силапревысит k/(2R2 ).8. В группе из 20 студентов только двое изучали в школе французскийязык, и именно они получили оценку «4» на экзамене. Из остальныхстудентов 10 человек получили оценку «3», 5 человек — оценку«3», и 3 студента получили «двойки». Составить таблицу совместногораспределения оценки на экзамене и индикатора изучения францускогоязыка для выбранного наудачу студента.
Найти коэффициент корреляциимежду ними.9. Число опечаток на странице книги имеет распределение Пуассонас параметром 0,5. Найти, сколько должно быть страниц в книге, чтобычисло опечаток в ней не превысило 200 с вероятностью 0,75.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок.
Плотность распределения равна 3x2−x3 /θ3при x > 0;θ3 ef (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя208вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.7,16 3,33 7,35 3,05 2,54 1,91 1,77 2,92 5,95 2,31 0,27 5,12 6,60 -1,585,42 5,67 6,28 -0,09 2,74 2,45 1,11 6,97 -1,59 -1,41 2,69 4,99 7,24 1,754,7612. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2].
Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,94 1,42 0,61 2,00 0,59 0,58 1,18 1,58 1,01 0,570,05 0,25 0,17 1,30 0,52 0,91 0,84 1,66 1,24Вариант 241. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одноймашины.
Событие A — исправна машина, событие Bk , k = 1, 2, — исправенk-й котел. Событие C означает работоспособность машинно-котельнойустановки, что будет в том и только в том случае, если исправна машинаи хотя бы один котел. Выразить события C и C через A и Bk .2. В компании из десяти человек решили сделать друг другуподарки, для чего каждый принес подарок. Все подарки сложиливместе, перемешали и случайно распределили среди участников. Найтивероятность того, что три конкретных человека получат свой собственныйподарок.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
