Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Предполагается, что элементы выходят из строянезависимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будетпропускать ток.2185. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире».Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаютсяв отношении 11:10. Из-за помех искажается в среднем 30 % сигналов«точка» и 20 % сигналов «тире», причем «точка» искажается в «тире»,а «тире» в «точку». Найти вероятность искажения сигнала. Определитьвероятность того, что сигнал не был искажен, если известно, что приняли«точку».6. Два игрока играют в шахматы на деньги.
Известно, что всреднем из 10 партий три выигрывает первый игрок, три заканчиваютсявничью, и четыре выигрывает второй игрок. В случае проигрышапервый игрок платит второму 30 рублей. Сколько он должен получатьв случае выигрыша, чтобы математическое ожидание его выигрышаравнялось нулю? Найти ряд распределения и дисперсию суммы выигрыша(отрицательная сумма выигрыша — это сумма проигрыша, взятая сознаком «минус»).
Построить график функции распределения.7. Случайная величина ξ имеет плотность распределения(22A√e−(x−a) /(2σ ) при |x − a| > 2σ;σ2πf (x) =0 при|x − a| ≤ 2σ.Найти нормирующую константу A, вычислить математическое ожидание.Построить график плотности распределения при a = σ = 1.8. В подъезде 5 однокомнатных квартир площадью по 40 кв. м., 10двухкомнатных квартир по 60 кв. м. и 5 трехкомнатных квартир по 70кв.
м. Для выбранной наудачу квартиры найти совместное распределениечисла комнат и площади. Найти коэффициент корреляции между ними.9. Суммарное время работы машины складывается из интерваловвремени, каждый из которых измеряется со стандартным отклонением в1 минуту. Найти максимальное число интервалов времени такое, чтобыфактическое время работы отличалось от измеренного не больше, чем на2 часа, с вероятностью 0,95.10. Для выборки (X1 , X2 , . .
. , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моментуи методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна x−x/θ3при x > 0;θ6 ef (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляя219вместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения. Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.22,95 -2,61 11,87 1,37 5,92 -5,10 5,38 14,71 7,55 3,91 1,23 8,50 -5,58-1,97 17,93 9,42 11,99 9,39 4,78 5,43 9,40 8,68 2,20 7,15 14,78 14,77-15,1612.
По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.1,94 1,96 0,64 0,76 0,01 0,82 0,23 0,82 1,961,28 1,49 1,07 1,92 0,17 1,68 1,01 0,48Вариант 301. Может ли разность двух событий совпадать с их произведением?Привести примеры.2. В чулане лежат три разных пары ботинок. Случайно выбираются триботинка.
Чему равна вероятность того, что среди них не будет ни однойпары?3. На линейке наудачу поставлены 2 точки. Какова вероятность того,что расстояние между ними окажется меньше трети длины линейки?4. Электрическая цепь состоит из элементов Ak , соединенных последующей схеме:A5-A2A4A1A3-Вероятность выхода из строя элемента A2 равна 0,01, остальныхэлементов Ak — по 0,1. Предполагается, что элементы выходят из строянезависимо друг от друга. Найти вероятность того, что цепь будетпропускать ток.5. Первое орудие 4-орудийной батареи пристреляно так, чтовероятность попадания для него равна 1/2. Для остальных орудий онаравна 2/5.
Батарея дала залп по цели. Найти вероятность того, что цель220поражена. Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель, еслиизвестно, что цель была поражена. Для поражения цели достаточно одногопопадания.6. Вероятность приема отдельного сигнала равна 0,3. Радиосигналпередается 6 раз. Найти ряд распределения, математическое ожиданиеи дисперсию числа принятых сигналов. Построить график функциираспределения. Найти вероятность того, что принятых сигналов будет неменьше 2, но не больше 4.7. Диаметр круга является случайной величиной, равномернораспределенной на отрезке [0; d].
Найти плотность распределения,функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию площадикруга. Найти вероятность того, что площадь превосходит πd2 /32.Начертить графики плотности распределения и функции распределения.8. В отделе работает один сотрудник с двумя высшими образованиямипо 13-му разряду, два сотрудника с высшим образованием по 12-муразряду, и шесть сотрудников без высшего образования по 10-му разряду.Для выбранного наудачу сотрудника найти совместное распределениеразряда и количества высших образований.
Вычислить коэффициенткорреляции между ними.9. Время ожидания автобуса пассажиром имеет показательноераспределение со средним значением 9 минут. Найти число поездок,для которого суммарное время ожидания автобуса превысит 3 часа свероятностью не более 0,2.10. Для выборки (X1 , X2 , . . . , Xn ) из распределения с плотностьюраспределения f (x) найти оценки параметра θ > 0 по первому моментуи методом максимального правдоподобия.
Проверить состоятельностьполученных оценок. Плотность распределения равна x2−x/θ3при x > 0;2θ9 ef (x) =0 при x ≤ 0.11. Дана выборка из нормального распределения с неизвестнымипараметрами. Найти оценки параметров распределения. Подставляявместо неизвестных параметров их точечные оценки, записать выражениедля оценки плотности распределения.
Построить на одном графикегистограмму с шагом, равным среднеквадратическому (стандартному)отклонению, и график оценки плотности распределения.9,63 19,48 3,89 4,45 15,11 15,90 24,94 1,72 3,25 -3,77 12,17 10,08 14,369,39 1,27 7,89 8,68 1,59 10,57 3,21 -6,11 15,61 10,82 1,68 5,63 6,7922120,27 -2,1512. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о том, что выборкаимеет равномерное распределение на отрезке [0; 2]. Сделать вывод о том,принимается ли эта гипотеза на уровне доверия 0,1; на уровне доверия0,01; на уровне доверия 0,001.0,64 1,43 0,40 1,23 1,40 0,76 1,09 1,65 1,321,24 1,39 0,81 0,39 0,76 1,14 1,24 1,69 1,58222Приложение.
ТаблицыТ а б л и ц а 1. Нормальное распределение.√12πЗначения функции Φ(x) =Φ(x) = Φ(−x) = 1 − Φ(x).x4,754,263,723,092,582,332,051,961,881,751,641,280,840,520,250,001Φ(−x)0,0000010,000010,00010,0010,0050,010,020,0250,030,040,050,10,20,30,40,5·Rxt2e− 2 dt и функции−∞Φ(x)0,9999990,999990,99990,9990,9950,990,980,9750,970,960,950,90,80,70,60,5Для x > 4, 75 можно использовать аппроксимацию−x2 /2Φ(x) ∼ ex√2π .1223Т а б л и ц а 2.
Равномерно распределенные на [0,1] случайные числа0,59163127361766359313340614136700547758896079971159409121039941016253962945132226531441351094621379196562069071289162821674630120639639018851820339936787748041841643313631476319047158253821262526459664947053039031892243982099550142156145719819924237119757595643083653078764548936875050895483821479231133611039948157253652638794304474654258893374683883152141886549634188175274492378125523838546165321989612460122129192238004488247803690194955963268836484788078033741219699534728190747766570838201155803683691547158307232900101739720362267856288613584527065122558278621397441567359865132101943872943190444485978361722101374179054126700940567001932215459405860781808339202962997094754700575861094343306107042714743865072367641617403936256826679927950336122482951904049854901934052364716936005198742016493224Т а б л и ц а 3.
Распределение χ2 (n). Квантили распределения:χ2p,nχ2p,np=Z0n123456789101112131415161718192021222324252627282930p1·kn (x)dx = n/22 Γ(n/2)Zxn/2−1 e−x/2 dx00,10,30,50,70,90,950.9990,99990,0160,2110,5841,061,612,202,833,494,174,875,586,307,047,798,559,3110,0910,911,712,413,214,014,815,716,517,318,118,919,820,60,1480,7131,422,203,003,834,675,536,397,278,159,039,9310,0811,712,613,514,415,416,317,218,119,019,920,921,822,723,624,625,50,4551,392,373,364,355,356,357,348,349,3410,311,312,313,314,315,316,317,318,319,320,321,322,323,324,325,326,327,328,329,31,072,413,674,886,067,238,389,5210,711,812,914,015,5216,217,318,419,520,621,722,823,924,926,027,128,229,230,331,432,533,52,714,616,257,789,2410,612,013,414,716,017,318,513,421,122,323,524,826,027,228,429,630,832,033,234,335,636,737,939,140,33,845,997,829,4911,112,614,115,516,918,319,721,015,523,725,026,327,628,930,131,432,733,935,236,437,738,940,141,342,643,86,639,2111,313,315,116,818,520,121,723,224,726,220,129,130,632,033,434,836,237,638,940,341,643,044,345,647,048,349,650,910,813,816,318,520,522,524,326,127,929,631,332,926,136,137,739,340,842,343,845,346,848,349,751,252,654,155,556,958,359,7225Т а б л и ц а 4.
Распределение Стьюдента S(n)Значения функции tγ,n1+γ=2Ztγ,n−∞nΓ( n+12 )sn (x)dx =·n √Γ( 2 ) πn1234567891012141618202224262830∞Ztγ,nx2(1 + )−(n+1)/2 dxn−∞γ0,90,950,980,996,3142,9202,3532,1322,0151,9431,8951,8601,8331,8121,7821,7611,7461,7341,7251,7171,7111,7061,7011,6971,64512,7064,3033,1822,7762,5712,4472,3652,3062,2622,2282,1792,1452,1202,1012,0862,0742,0642,0562,0482,0421,96031,8216,9654,5413,7473,3653,1432,9982,8962,8212,7642,6812,6252,5842,5522,5282,5082,4922,4792,4672,4572,32663,6579,9255,8414,6044,0323,7073,4993,3553,2503,1693,0552,9772,9212,8782,8452,8192,7972,7792,7632,7502,576226Список литературы[1] Боровков А.А. Теория вероятностей. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. —470с.[2] Боровков А.А.
Математическая статистика. — Новосибирск: Наука,1997. — 772с.[3]Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей иматематической статистики. — СПб., 1999. — 223с.[4] Бородихин В.М. Теория вероятностей и математическая статистика:Практикум. — Новосибирск, 2000. — Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
