Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

.

Кроме того, для простоты примем, что импульсная характеристика удовлетворяет условию каузальности (причинности)

.

Согласно (4) входной сигнал представляется «плотной» последовательностью -функций с «амплитудными» коэффициентами, равными значениям сигнала в соответствующие моменты времени. Тогда выражение описывает выходной сигнал в момент времени , как интегральную сумму откликов на все эти -функции, воздействовавшие на вход цепи в прошлом. Каждая такая -функция отстоит от текущего момента на величину в прошлое, поэтому вклад от неё в текущее значение выходного сигнала определяется значением импульсной характеристики, соответствующим интервалу . Импульсная характеристика любой реальной цепи со временем убывает (затухает), таким образом цепь постепенно «забывает» значения входного сигнала, рис. 23.

Рис. 23. Иллюстрация смысла интеграла Дюамеля

1. Частотное описание ЛИС-цепей

Интеграл Дюамеля описывает действие оператора ЛИС-цепи на входной сигнал, представленный интегральным выражением (4) относительно базисного ядра . Проводя аналогию с конечномерным линейным пространством, можно ожидать, что возможно представление сигнала относительно ядра, аналогичного собственному базису; при этом действие оператора должно описываться более простым выражением. Другими словами, линейному оператору соответствуют векторы (функции), на которые действие этого оператора сводится к умножению на скалярный коэффициент. Обозначим такую собственную функцию ; она должна удовлетворять уравнению

,

где – некоторый числовой множитель (собственное значение, соответствующее данной собственной функции). Различным линейным операторам соответствуют различные наборы собственных функций и собственных значений.

Для линейного инвариантного к сдвигу (стационарного) оператора собственная функция должна удовлетворять уравнению, записываемому с учетом или :

.

Легко убедиться, что решением этого интегрального уравнения является комплексная гармоническая функция , где – её параметр, имеющий смысл частоты:

.

Итак, если на вход ЛИС-цепи поступает сигнал , то на выходе наблюдается этот же сигнал, умноженный на комплексное число, зависящее от частоты сигнала. Функция , описывающая эту зависимость, называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ) цепи и связана с импульсной характеристикой парой преобразований Фурье

,

.

Таким образом, функции времени при различных значениях являются собственными функциями оператора любой ЛИС-цепи, при этом конкретной цепи соответствует определенная КЧХ , определяющая масштабный коэффициент (собственное значение) для каждой функции при любом значении частоты .

Представим входной сигнал интегральным выражением относительно ядра :

.

Напомним, что это выражение представляет «сплошной» суммой базисных функций с «амплитудными коэффициентами» . Следовательно, отклик ЛИС-цепи с КЧХ на этот сигнал представляется интегралом

,

так как каждая функция умножается на . Учитывая, что , можно записать выражение , связывающее выходной сигнал ЛИС-цепи с входным сигналом.

Подытоживая, можно сказать, что представление входного сигнала относительно собственного базисного ядра имеет преимущество перед динамическим представлением, так как вместо интегрального выражения свертки связь входного сигнала с выходным описывается произведением спектральных плотностей. Уместно еще раз напомнить, что «естественное» временное представление сигнала – это также спектральная плотность, только относительно ядра .

Выражение

,

устанавливающее связь спектральных плотностей сигналов на входе и выходе ЛИС-цепи через её комплексную частотную характеристику, служит основой спектрального метода анализа линейных стационарных цепей, широко используемого благодаря своей простоте. Именно этим объясняется исключительная роль ряда и интеграла Фурье в теории сигналов и цепей.

Функция в общем случае является комплексной, , что неудобно. Часто рассматривают её модуль и аргумент по отдельности, при этом модуль называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цепи.

Пример 18. Интегрирующая -цепь, представленная на рис. 21, имеет амплитудно-частотную характеристику и фазочастотную характеристику, показанные на рис. 24.◄

Значение комплексной частотной характеристики при заданной частоте может в принципе быть измерено, как отношение сигнала на выходе ЛИС-цепи к входному сигналу, если этот входной сигнал – функция . Таким образом, функция при произвольно задаваемой частоте может рассматриваться, как испытательный сигнал, позволяющий получить описание цепи (КЧХ). Другим испытательным сигналом является -функция, которая могла бы быть использована для получения отклика цепи в виде импульсной характеристики. Поскольку КЧХ и импульсная характеристика связаны друг с другом взаимно однозначно (через пару преобразований Фурье), должна существовать связь и между соответствующими им испытательными сигналами. В самом деле, -функция может рассматриваться как интегральная сумма одновременно воздействующих на вход цепи функций , так как её спектральная плотность равна

.

Каждая из комплексных гармонических функций умножается цепью на соответствующее значение КЧХ, поэтому импульсная характеристика – отклик на -функцию

представляет собой как бы «равнодействующую» откликов на все такие функции.

Заметим, что указанные измерения КЧХ и импульсной характеристики на практике точно выполнить нельзя. Даже если бы существовали абсолютно точные измерительные приборы, потребовалось бы бесконечное время для генерирования функций (нельзя забывать, что они определены на всей временной оси!) и измерения отношений выходных сигналов к входным при всех значениях частоты . В свою очередь, -функция представляет собой «бесконечно короткий импульс бесконечно большой амплитуды», который также не может быть реализован точно. На практике КЧХ и импульсная характеристика могут быть измерены приближенно с помощью отрезков гармонических испытательных сигналов конечной продолжительности и коротких импульсов большой (но конечной) амплитуды.

Часто в выражениях, связанных со спектральным анализом сигналов и ЛИС-цепей, вместо частоты используется круговая частота . Пара – преобразований Фурье в результате замены переменных принимает вид

,

.

1. РЯД ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Как было показано выше, гармонические функции играют исключительно важную роль в анализе цепей, как собственные функции любого линейного стационарного оператора. Благодаря этому среди всех базисов пространств сигналов, применяемых в теории и практике, базис Фурье получил наибольшее распространение и заслуживает более детального изучения.

1. Представление рядами Фурье сигналов конечной длительности и периодических сигналов

Для пространства сигналов конечной длительности и ограниченной энергии ортонормальный базис является полным, следовательно, всякий сигнал можно на интервале представить обобщенным рядом Фурье по ортонормальным функциям

или рядом Фурье по ортогональным функциям

.

Спектральные коэффициенты находятся, как

и

.

Для ряда справедливо равенство Парсеваля

.

Для ряда выполняется равенство

.

До сих пор базисные функции рассматривались на конечном временном интервале . Нетрудно видеть, что эти функции могут рассматриваться и вне этого интервала, то есть на всей бесконечной временной оси. Поскольку все функции периодичны, причем для их периодов величина представляет собой наименьшее общее кратное, ряды и , рассматриваемые на всей временной оси, определяют периодическую функцию, которая представляет собой сигнал , повторяющийся с периодом .

Таким образом, ряд Фурье одинаково пригоден для представления сигналов конечной длительности и периодических сигналов. Коэффициенты в обоих случаях находятся по формулам или . Далее будет рассматриваться ряд Фурье в форме .

Коэффициенты ряда Фурье в общем случае являются комплексными. Для удобства графического представления рассматривают отдельно модули и аргументы коэффициентов , при этом совокупность называется амплитудным спектром, а – фазовым спектром сигнала. Для наглядности амплитудный и фазовый спектр изображают решетчатыми диаграммами, на которых соответствующие величины показаны длинами отрезков, а сами эти отрезки размещены на частотной оси с шагом, равным в выбранном масштабе частоте повторения сигнала , рис. 25.

Если сигнал принимает вещественные значения, амплитудный спектр обладает свойством четности, а фазовый – нечетности. Действительно, если

,

то с учетом вещественности сигнала и

.

Характеристики

Список файлов книги