Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Чтобы использовать преимущества такой модели, следует вначале убедиться в том, что действиям над элементами линейного пространства (векторами) соответствуют операции, применимые к реальным сигналам.

1. ПРОСТРАНСТВА СИГНАЛОВ

   1. Сигналы и действия над ними

В каждой практической задаче, связанной с получением (генерированием), передачей, приемом и обработкой сигналов, рассматриваются сигналы из определенного множества. Так, можно, например, рассматривать множество всех континуальных сигналов, заданных на конечном временном интервале (интервале наблюдения), или множество всех дискретных сигналов, определенных на конечном участке дискретной временной оси . Сигналы из одного множества обладают некоторыми общими свойствами, что и позволяет рассматривать множество, как целое.

На практике над сигналами выполняются некоторые действия (операции), такие, например, как сложение (суммирование). Для этого применяются устройства, называемые сумматорами. Кроме того, суммирование выполняется естественным путем при распространении различных сигналов в общем канале связи или в пространстве, и в этом случае говорят о взаимных помехах. Суммирование применимо к сигналам, имеющим общую область определения. Например, складывая сигналы и , определенные на конечном интервале , получаем сигнал , определенный на этом же интервале (сумма сигналов из множества снова принадлежит ), р

Рис. 8. Сигнал (а), помеха (б) и
сумма сигнала и помехи (в)

ис. 8. В таких случаях говорят, что множество замкнуто относительно сложения.

Вторая операция, часто применяемая на практике – умножение на некоторый постоянный коэффициент. Множитель может быть больше единицы, что соответствует усилению сигнала, или меньше единицы, тогда имеет место ослабление. Ослабление может быть естественным (вследствие затухания сигнала в линии передачи или рассеяния энергии в пространстве) или преднамеренным, выполняемым, например, с помощью устройств, называемых аттенюаторами. Усиление выполняется при помощи усилителей. Множитель может быть и отрицательным, тогда меняется полярность сигнала, а соответствующее устройство называют инвертирующим усилителем, или инвертором. На рис. 9 сплошной линией показан сигнал, пунктиром тот же сигнал, усиленный вдвое, а штриховой линией – инвертированный сигнал.

Обычно предполагается, что множество сигналов замкнуто относительно умножения на число, таким образом, усиление или ослабление сигнала не нарушает его принадлежности к данному множеству.

Указанные операции над сигналами обусловливают глубокое сходство множества сигналов с линейным (векторным) пространством. Это позволяет использовать линейное пространство в качестве модели для множества сигналов, которое в таком случае становится пространством сигналов.

1. Линейное пространство

Л

Рис. 9. Исходный, усиленный и
инвертированный сигналы.

инейным пространством называется множество объектов (векторов), удовлетворяющее следующим аксиомам.

А. Для любых двух векторов из определена операция сложения, причем сумма вновь принадлежит . Говорят, что множество замкнуто относительно сложения, то есть ( читается «для всех»).

Выполняются следующие аксиомы сложения:

1. ассоциативность ;

2. существование нейтрального элемента (нулевого вектора) ( читается «существует»);

3. существование обратного элемента ;

4. коммутативность .

Перечисленные аксиомы известны в высшей (абстрактной) алгебре, как аксиомы коммутативной группы по сложению.

В. Для любого вектора из определена операция умножения на скаляр (элемент некоторого поля – как правило, это поле вещественных или поле комплексных чисел), причем результирующий вектор снова принадлежит . Иными словами, множество замкнуто по умножению на скаляр:

Выполняются следующие аксиомы умножения на скаляр:

1. ассоциативность ;

2. существование в поле скаляров особых элементов – нуля и единицы ; ;

3. дистрибутивность .

Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что все эти аксиомы выполняются для сигналов, как аналоговых, так и дискретных – вещественных и комплексных. Поэтому сигналы можно называть векторами.

В радиотехнике и связи часто используются комплексные сигналы, принимающие значения из поля комплексных чисел. Далее, если явно не сказано обратное, всегда подразумевается, что сигналы комплексные; вещественные сигналы можно рассматривать, как комплексные с нулевой мнимой частью.

Очевидно, множество всех аналоговых сигналов можно рассматривать, как линейное (векторное) пространство (обозначим его ). Практический интерес представляет пространство сигналов ограниченной энергии, которое принято обозначать . В частных случаях пространство сигналов сужают, например, до подпространства сигналов ограниченной энергии, определенных на данном конечном временном интервале (сигналы конечной длительности , тождественно равные нулю вне интервала ), или подпространства сигналов с ограниченной полосой частот . Линейным пространством является и множество всех дискретных сигналов ограниченной энергии при . Между двумя последними пространствами, как будет показано ниже, можно установить взаимно однозначное соответствие, что делает возможной цифровую обработку сигналов, изначально аналоговых, с последующим преобразованием результата снова в форму аналогового колебания.

Поскольку определено сложение векторов и умножение вектора на скаляр, определена и линейная комбинация конечной совокупности векторов :

.

Совокупность векторов линейно независима, если равенство возможно лишь при условии . Множество всех линейных комбинаций данной совокупности векторов при всевозможных наборах весовых коэффициентов образует её линейную оболочку. Линейная оболочка совокупности линейно независимых векторов представляет собой линейное пространство; число – размерность этого пространства. Набор в этом случае представляет собой базис пространства. Для любого пространства существует множество различных базисов, и в каждой задаче можно выбрать наиболее удобный.

Пример 1. Множество , где , линейно независимо, рис. 10. Следовательно, оно может служить базисом четырехмерного пространства. Это пространство всех функций вида при , где коэффициенты принимают всевозможные комплексные значения. ◄ (Символ ◄ здесь и далее отмечает окончание примера).

Пример 2. Множество функций целой переменной, определенных на участке дискретной временной оси , линейно независимо. Поэтому оно может служить базисом восьмимерного пространства, например, пространства всех дискретных сигналов вида , где – произвольные наборы вещественных чисел. ◄

Пространство всех аналоговых сигналов бесконечномерно, поэтому никакая конечная совокупность сигналов (функций) не может служить его базисом. Бесконечная совокупность функций может быть базисом бесконечномерного пространства , если множество всех линейных комбинаций вида совпадает с пространством . Тогда произвольный сигнал из можно представить бесконечным набором коэффициентов разложения относительно данного базиса, называемого в таком случае полным (разумеется, для конкретного сигнала может оказаться, что лишь конечное множество коэффициентов отлично от нуля). Вопрос о полноте базиса бесконечномерного пространства решается в общем случае не просто, однако для базисов, обычно применяемых на практике, полнота доказана [3].

Пространство всех дискретных сигналов, заданных при , также бесконечномерно. Один из полных базисов этого пространства определяется выражением

и представляет собой бесконечный набор -последовательностей при всевозможных целочисленных сдвигах .

Пример 3. Множество всех двоичных векторов при содержит лишь конечное множество элементов (а именно 256). Тем не менее, оно может рассматриваться, как линейное пространство, если сложение векторов определить через сложение компонент по модулю 2, а в качестве поля скаляров принять так называемое поле Галуа , содержащее всего два числа – 0 и 1. Такие пространства играют очень важную роль, например, в теории кодирования, которая составляет важнейшую часть теории связи. В качестве базиса данного пространства можно принять любые 8 линейно независимых ненулевых векторов. ◄

Характеристики

Список файлов книги