Васюков В.Н. Введение в теорию сигналов (1275344), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Таким образом, коэффициенты комплексного ряда Фурье вещественного сигнала попарно комплексно сопряжены. Пользуясь этим свойством, для вещественных сигналов можно получить другую форму ряда Фурье, также находящую применение.

Просуммируем пару базисных функций с номерами (индексами) и

.

Тогда ряд Фурье можно записать в виде

,

где , так как, очевидно, коэффициент является вещественным.

Ещё одна форма ряда Фурье для вещественных сигналов основана на разложении по тригонометрическим функциям, образующим ортогональный базис

,

со спектральными коэффициентами

,

.

Сложим две функции этого базиса, имеющие одинаковую частоту:

.

Сравнивая с выражениями , видим, что , а , откуда следуют связи между спектральными коэффициентами для различных форм ряда Фурье

, ,

, , .

Очевидно, если сигнал представляет собой четную функцию, то все синусоидальные компоненты ряда равны 0; аналогично, все косинусоидальные компоненты равны нулю, если сигнал – нечетная функция (при этом равна нулю и постоянная составляющая).

Пример 19. Периодическая с периодом последовательность прямоугольных импульсов длительности показана на рис. 26.

Спектральные коэффициенты комплексного ряда Фурье находятся как

,

где введено обозначение круговой частоты . Таким образом, диаграмма амплитудного спектра сигнала, показанная на рис. 27, имеет огибающую в форме и

Рис. 26. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

звестной функции вида . Заметим, что все коэффициенты оказались вещественными, так что фазовый спектр равен нулю для всех . Значение постоянной составляющей сигнала , где – параметр импульсной последовательности, называемый скважностью.

П

Рис. 27. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

оследовательности прямоугольных импульсов широко применяются в радиотехнике и связи, поэтому спектр данного сигнала заслуживает более внимательного рассмотрения. Прежде всего, обратим внимание, что огибающая спектра впервые пересекает ось частот при , то есть при или при . Таким образом, численное значение скважности прямоугольной импульсной последовательности показывает, во сколько раз ширина главного лепестка огибающей спектра больше шага следования по оси частот спектральных составляющих.

К

Рис. 28. Аппроксимация периодической последовательности,
показанной на рис. 26 суммой 5 членов ряда Фурье

онечная сумма ряда Фурье может служить аппроксимацией сигнала. На рис. 28 – 30 показаны конечные суммы ряда Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов при числе слагаемых 5, 11 и 25. Видно, что аппроксимация становится точнее с ростом количества слагаемых. Ошибка аппроксимации при удержании в сумме слагаемых (от -го до -го) может быть найдена на основе равенства Парсеваля как

. ◄

При увеличении числа слагаемых ряда Фурье ошибка аппроксимации периодического сигнала стремится к нулю по норме пространства , то есть

.

З

Рис. 29. Аппроксимация периодической последовательности, показанной на рис. 26 суммой 11 членов ряда Фурье

Рис. 30. Аппроксимация периодической последовательности, показанной на рис. 26 суммой 25 членов ряда Фурье

десь – аппроксимация сигнала . При этом максимальное значение разности стремится не к нулю, а к конечной величине (порядка 9% от амплитуды импульса). Это явление известно как явление Гиббса. Причиной явления Гиббса является неравномерная сходимость ряда Фурье для разрывных функций. Дело в том, что предел последовательности непрерывных функций, каковыми являются конечные суммы ряда Фурье, при равномерной сходимости сам должен быть непрерывной функцией. В некоторых практических задачах, таких, как синтез цифровых фильтров, явление Гиббса нежелательно; существуют методы уменьшения гиббсовских пульсаций (осцилляций), основанные на коррекции коэффициентов ряда Фурье [5].

1. Свойства преобразования Фурье

Для пространства сигналов бесконечной длительности и ограниченной энергии ортонормальный базис не является полным ни при каком , и, следовательно, непригоден для представления сигналов, так как ошибку аппроксимации нельзя в общем случае сделать произвольно малой путем учета достаточного числа слагаемых ряда Фурье. Подходящим для является представление сигналов интегралом Фурье^)

,

где

–

спектральная плотность. Уникальное свойство комплексной экспоненциальной функции состоит в том, что она является собственной функцией для произвольного ЛИС-оператора. Именно этим объясняется столь широкое применение в радиотехнике и связи рядов Фурье и преобразования Фурье.

Рассмотрим непериодический сигнал конечной длительности . Его спектральная плотность определяется выражением прямого преобразования Фурье . Повторение сигнала с периодом , большим, чем длительность , дает периодический сигнал , который в силу своей периодичности может быть представлен рядом Фурье со спектральными коэффициентами, определяемыми выражением . Сравнивая выражения и и учитывая, что интеграл в бесконечных пределах от финитной функции (сигнал имеет конечную длительность, то есть является финитным) равен интегралу по интервалу, содержащему область определения функции, можно записать равенство

.

Таким образом, спектральная плотность импульсного сигнала имеет форму огибающей спектральных коэффициентов ряда Фурье периодических последовательностей, образованных повторением данного импульсного сигнала. Заметим, что с ростом периода повторения спектральные составляющие следуют друг за другом по оси частот все более плотно. Непериодический сигнал представляет собой предельный случай периодического при , поэтому можно считать (нестрого), что спектральная плотность – это «сплошная» совокупность спектральных коэффициентов. Следует, однако, иметь в виду, что «амплитуда» каждой спектральной составляющей при этом также стремится к нулю. Кроме того, не следует забывать, что спектральная плотность имеет размерность [Вольт/Герц].

Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье, которые полезно знать при практическом его использовании. Для краткости будем использовать обозначение для функций времени и частоты, связанных парой преобразований Фурье.

1. Линейность.

.

1. Дуальность (симметрия) преобразования Фурье

Читателю предлагается доказать это свойство в качестве упражнения.

1. Теорема сдвига

Рассмотрим сигнал . Его спектральная плотность

.

Таким образом, .

1. Теорема свёртки

,

где – символическое обозначение свертки, была фактически доказана в разд. 3.3.

1. Теорема умножения

справедлива в силу теоремы свёртки и свойства дуальности преобразования Фурье.

1. Теорема масштаба

Рассмотрим сигнал , представляющий собой сигнал , сжатый по оси времени в раз. Его спектральная плотность

.

Итак, .

1. Теорема дифференцирования

Обозначим через сигнал , продифференцированный по времени. Спектральная плотность производной равна

.

Здесь использована формула интегрирования по частям. Первое слагаемое равно нулю, так как сигнал в силу ограниченности энергии стремится к нулю при . Таким образом, .

1. Теорема интегрирования

Обратной к теореме дифференцирования является теорема интегрирования

.

1. Теорема модуляции

Под модуляцией здесь подразумевается умножение сигнала на комплексную экспоненциальную функцию :

,

так что .

1. Теорема обращения

Обращение сигнала означает перемену знака аргумента (времени). Обозначим сигнал , обращенный во времени, . Его спектральная плотность:

,

так что обращение временной оси приводит к такому же обращению оси частотной .

Рассмотренные свойства справедливы без дополнительных ограничений, налагаемых на вид сигнальной функции . На практике часто такие ограничения позволяют упростить решение задачи спектрального анализа с учётом более частных свойств спектральных плотностей.

Например, предположение о том, что сигнал является вещественным, приводит к свойству сопряженной симметрии спектральной плотности:

,

или, что равносильно, и . Это обстоятельство следует учитывать при решении практических задач, так как в большинстве случаев рассматриваются именно вещественные сигналы. В частности, такая симметрия спектра используется в технике связи: для уменьшения требуемой пропускной способности каналов связи применяются так называемые сигналы с одной боковой полосой (ОБП-сигналы).

Если сигнал является вещественным и четным, то его спектральная плотность также вещественна и чётна:

.

Это следует из того, что обращение во времени не изменяет вещественного чётного сигнала, а следовательно, не влияет на спектральную плотность, которая должна, таким образом быть инвариантной к обращению частоты, то есть вещественной и чётной.

Если сигнал является вещественным и нечетным, то его спектральная плотность мнимая и нечетная:

.

Действительно, обращение во времени изменяет знак нечётного сигнала, следовательно, его спектральная плотность также должна при обращении частоты лишь менять знак, но поскольку спектральная плотность вещественного сигнала сопряженно-симметрична, то отсюда следует, что её вещественная часть равна нулю, то есть она является мнимой.

Спектральная плотность сигнала представляет собой -функцию. Отыскание спектральной плотности такого сигнала прямым преобразованием Фурье затруднительно, так как функция не принадлежит пространству . Однако задача легко решается, если найти сигнал, соответствующий спектральной плотности через обратное преобразование Фурье:

.

Характеристики

Список файлов книги