Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

известным как преобразование Фурье, а формула интегрального представления сигнала

называется обратным преобразованием Фурье. ◄

Запишем скалярное произведение двух сигналов и , выразив сигналы через спектральные плотности при помощи обратного преобразования Фурье:

.

Таким образом, получена обобщенная формула Рэлея

для интегрального представления сигналов относительно базисного ядра Фурье . Аналогичное выражение будет справедливо для интегрального представления сигналов относительно любого самосопряженного ядра.

Подставляя в , получаем равенство Парсеваля

.

Симметричная форма левых и правых частей выражений и должна наводить на мысль, что «естественное» временное представление сигнала есть на самом деле представление относительно некоторого самосопряженного ядра. Справедливость такого утверждения устанавливается в следующем примере.

Пример 14. Для пространства сигналов примем в качестве базисного ядра сдвинутую (задержанную) -функцию (вместо переменной использовано обозначение задержки буквой ). Легко убедиться, что это ядро является самосопряженным. Поэтому спектральная плотность сигнала относительно данного ядра определяется выражением

,

а формула интегрального представления сигнала

.

Полученное выражение, описывающее стробирующее свойство -функции и совпадающее с динамическим представлением сигнала , явно демонстрирует тот факт, что обычное временное представление сигнала можно рассматривать, как интегральное (спектральное) представление относительно базисного ядра со спектральной плотностью . Иными словами, временная функция , описывающая сигнал, есть не что иное, как спектральная плотность. Таким образом, временное представление сигнала является не более (и не менее) естественным, чем частотное представление или любое другое представление относительно самосопряженного базисного ядра. ◄

Пример 15. Очень важное значение в теории сигналов имеет самосопряженное ядро вида (вместо переменной использована переменная , имеющая смысл времени).Это ядро является самосопряженным. Поэтому спектральная плотность сигнала относительно данного ядра определяется выражением

,

а формула интегрального представления сигнала

.

Полученные выражения представляют собой пару преобразований Гильберта (прямое и обратное) и используются, в частности, для описания узкополосных детерминированных и случайных колебаний. ◄

Пример 16. Для представления дискретных сигналов из пространства используется ядро , зависящее от непрерывной переменной , имеющей смысл частоты, и от дискретной (целой) переменной . Спектральная плотность сигнала относительно данного ядра определяется выражением

,

а формула интегрального представления сигнала – выражением

.

Эти выражения представляют собой пару преобразований Фурье для последовательностей и используются в цифровой обработке сигналов. ◄

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ

   1. Линейные преобразования и операторы

В

Рис. 20. Преобразование сигнала

сюду, где применяются сигналы, они подвергаются преобразованиям. Под преобразованием можно понимать любое изменение сигнала, как целенаправленное, так и непреднамеренное. В наиболее общей форме преобразование представляется схемой рис. 20. Обозначая входной сигнал , а выходной сигнал , можно записать

,

где – обозначение преобразования.

С математической точки зрения преобразование представляет собой отображение множества входных сигналов во множество выходных сигналов . Эти множества могут быть одинаковыми или существенно различными. Например, входные сигналы могут принадлежать , а множество выходных сигналов может состоять из двух значений, условно обозначаемых 0 («сигнала нет») и 1 («сигнал есть»), что соответствует задаче обнаружения полезного сигнала во входном колебании на временном интервале . Далее предполагается, что входные и выходные сигналы принадлежат одному и тому же пространству (или ): в этом случае преобразование называется оператором. Такая постановка соответствует, например, задаче фильтрации сигналов.

Рассмотрение преобразований в такой общей постановке не дает каких-либо содержательных результатов именно в силу своей предельной общности. Для того, чтобы получить практическую пользу, математическая модель должна быть конкретизирована (сужена). Очень плодотворный подход состоит в ограничении рассмотрения так называемыми линейными операторами.

Оператор называется линейным, если он удовлетворяет свойствам аддитивности

и однородности

,

обычно объединяемым в одну формулу, выражающую принцип суперпозиции:

.

Таким образом, если оператор, описывающий некоторое устройство (цепь), является линейным, то отклик этой цепи на входной сигнал, представленный обобщенным рядом Фурье , равен сумме ряда, составленного из откликов на базисные функции с теми же весовыми (спектральными) коэффициентами:

.

Выражение представляет собой математическую запись спектрального метода анализа линейных цепей. Вместо обобщённого ряда Фурье может быть использовано интегральное представление входного сигнала.

Линейные операторы в конечномерных пространствах описываются квадратными матрицами с постоянными элементами. Рассмотрим пространство дискретных сигналов, каждый из которых представляется комплексными отсчетами ( -мерное пространство). Результатом воздействия линейного оператора, описываемого матрицей на вектор-столбец является вектор-столбец , при этом

,

и значение (отсчет) выходного сигнала описывается выражением , . Наглядно представить себе поведение линейного оператора можно на примере его действия на базисные векторы , , ..., . Легко видеть, что вектор преобразуется в вектор , аналогично остальные векторы ортонормального базиса преобразуются в векторы-столбцы матрицы линейного оператора.

Из линейной алгебры известно, что существуют векторы, которые данным оператором преобразуются наиболее простым образом: изменяются лишь их длины (нормы); такие векторы называются собственными векторами, а коэффициенты, определяющие изменение длин, называются собственными значениями оператора. Нетрудно видеть, что если базис пространства составить из собственных векторов данного оператора, то матрица оператора будет диагональной

,

где главная диагональ матрицы составлена из собственных значений, и отсчёты выходного сигнала находятся наиболее просто: , (штрихами отмечены компоненты векторов относительно собственного базиса).

Переход к бесконечномерному пространству дискретных сигналов приводит к тому, что векторы и содержат бесконечное количество компонент, соответственно матрица линейного оператора становится бесконечной . Значение (отсчет) выходного сигнала определяется выражением , , представляющим собой скалярное произведение строки матрицы оператора на вектор-столбец входного сигнала.

Гильбертово пространство аналоговых сигналов отличается тем, что множество компонент каждого его вектора несчетно, поэтому дискретные индексы заменяются непрерывными переменными, а место матрицы занимает функция двух переменных, называемая ядром оператора. Тогда действие линейного оператора на сигнал описывается интегральным выражением

.

1. Временное описание линейных цепей, инвариантных к сдвигу

Используя выражение , найдём отклик цепи на сигнал, представленный выражением (4). Очевидно,

,

где весовая функция (ядро оператора) – отклик (реакция) цепи в момент на входной сигнал в виде -функции, воздействующий на цепь в момент .

Особое значение в анализе цепей имеет случай, когда весовая функция фактически зависит только от разности переменных , тогда приобретает вид

.

Выражение известно под названием свёртки или интеграла Дюамеля.

Если подставить в в качестве входного сигнала , выходной сигнал

.

Таким образом, функция представляет собой отклик ЛИС-цепи на бесконечно короткий импульс ( -функцию) и называется импульсной характеристикой цепи. Зная входной сигнал и импульсную характеристику цепи, всегда можно точно определить выходной сигнал. Поэтому импульсная характеристика (ИХ) представляет собой исчерпывающее описание ЛИС-цепи. Цепи, описываемые выражением , называются линейными стационарными или линейными инвариантными к сдвигу (ЛИС-цепями). Условие означает, что, зная реакцию цепи на воздействие , можно определить отклик на сдвинутое воздействие путем простого сдвига импульсной характеристики на такую же величину . Иными словами, поведение такой цепи неизменно во времени.

Пример 17. Интегрирующая -цепь, представленная на рис. 21, имеет импульсную характеристику , , рис. 22.◄

Для уяснения физического смысла интеграла Дюамеля, играющего важнейшую роль в анализе линейных стационарных цепей, полезно выполнить замену переменных, так что

Характеристики

Список файлов книги