Васюков В.Н. Введение в теорию сигналов (1275344), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Функцию Хевисайда, в частности, удобно использовать для представления прямоугольного импульса единичной амплитуды и длительности , рис. 4б:

.

1. -Функция Дирака (читается «дельта-функция») , которая на самом деле является обобщенной функцией, то есть, строго говоря, не функцией в обычном смысле слова [1]. Определяется -функция выражением

,

которое известно, как стробирующее (фильтрующее) свойство -функции. Оно означает, что -функция, входящая в произведение под знаком интеграла, выделяет бесконечно узкий «срез» функции в точке . Выражение (2) можно понимать, как предел

.

С такой точки зрения -функцию можно рассматривать, как предел последовательности все более коротких прямоугольных импульсов со все большей амплитудой, так, что площадь импульсов постоянна и равна 1. Тогда нестрого можно считать -функцию «импульсом» нулевой длительности и бесконечной амплитуды с единичной площадью, рис. 5а. Не следует, однако, забывать, что это не обычная, а обобщенная функция, которая имеет особые свойства: так, например, -функцию можно дифференцировать^), но нельзя возводить в квадрат. Поэтому, например, выражение «мощность -функции» не имеет смысла. Нужно отметить, что -функция играет в теории сигналов совершенно исключительную роль, и в дальнейшем часто будет использоваться.

Из рис. 5а видно, что интеграл

.

Сопоставляя это выражение с формулой , легко видеть, что функция Хевисайда связана с -функцией выражениями

; ,

таким образом, -функцию можно формально использовать для дифференцирования разрывных функций.

Выражение , переписанное с учетом четности -функции в виде

,

можно представить, как предел

,

описывающий сигнал, как «сплошную сумму бесконечно узких импульсов», рис. 5б. Такое представление часто называют динамическим. Для сигнала, удовлетворяющего условию при возможна другая форма динамического представления, основанная на функции Хевисайда:

.

(Упражнение. Выведите из представление сигнала, отличного от нуля на всей вещественной оси)

Для представления дискретных сигналов используются функции целого аргумента, обладающие свойствами, аналогичными А) – С):

1. Гармонические последовательности и и комплексная экспоненциальная последовательность .

2. Ступенчатая последовательность, рис. 6а, аналогичная функции Хевисайда и определяемая выражением

.

1. Функция дискретной переменной, называемая -последовательностью и играющая в теории дискретных сигналов роль, аналогичную роли -функции для аналоговых сигналов, определяется выражением

и является вполне обычной функцией, которую можно представить графиком, рис. 6б.

Операция дифференцирования для решетчатых функций не имеет смысла и заменяется вычислением разности соседних отсчетов, поэтому выражениям соответствуют очевидные соотношения

и .

Дискретный сигнал , , можно представить выражением, аналогичным динамическому представлению аналогового сигнала :

.

Это очевидное выражение означает, что сигнал представляется суммой сдвинутых -последовательностей при всевозможных целых сдвигах , при этом каждая -последовательность умножается на соответствующий амплитудный коэффициент, равный .

Используя функции (А – С) и (а – с) при различных значениях параметров (амплитуд, частот и начальных фаз для гармонических функций, а также амплитуд и сдвигов для остальных) можно получить представления (модели) для очень широкого класса сигналов (континуальных и дискретных), – фактически для всех сигналов, применяемых на практике. Однако во многих случаях удобнее оказываются иные модели.

Представление сигнала (колебания) в виде графика описывающей его функции является наглядным и привычным. В самом деле, большинство сигналов представляют собой функции времени, а одним из наиболее распространенных приборов для измерения характеристик электрических сигналов является осциллограф, отображающий именно временной график сигнала.

Временное представление не является, однако, ни единственным, ни самым лучшим, и на практике при решении конкретных задач следует выбирать наиболее удобные формы описания сигналов.

Основное неудобство, связанное с временным представлением сигналов, заключается в том, что сигналу соответствует сложный объект (функция, изображаемая графиком) в простом пространстве (на плоскости). В современной теории сигналов используется представление сигнала простым объектом (точкой) в сложном пространстве [2]. Это пространство представляет собой множество всевозможных сигналов, рассматриваемых в данной задаче, наделенное соответствующими структурными свойствами. При этом свойства сигналов получают наглядное геометрическое истолкование, а для синтеза и анализа сигналов и систем их обработки применяется аппарат современной математики (функциональный анализ).

Основные идеи такого представления проще изложить для дискретного сигнала. Рассмотрим для примера множество дискретных сигналов, таких, что все значения (отсчеты) этих сигналов равны нулю, за исключением значений, соответствующих и . Придавая значениям и сигнала смысл абсциссы и ординаты точки (вектора) на плоскости, получаем представление всего множества таких сигналов множеством векторов в двумерном евклидовом пространстве, рис. 7а. Множество сигналов, которые могут иметь три ненулевых отсчета (например, при , и ), представляется множеством векторов в трехмерном пространстве, рис. 7б.

Продолжая рассуждения, приходим к представлению множества всех сигналов, определяемых их значениями в конечном множестве точек дискретной временной оси множеством векторов -мерного евклидова пространства. Каждый такой вектор представляет собой упорядоченный набор чисел (координат), равных значениям сигнала в соответствующие моменты времени. Ясно, что такое представление является взаимно однозначным, а, следовательно, не приводит к потере информации.

Несмотря на то, что евклидово пространство размерности выше трёх обычный человек представить не в состоянии, -мерное евклидово пространство является весьма обычным и удобным инструментом исследования, так как свойства евклидова пространства сохраняются при любой его размерности. Кроме того, в большинстве случаев интерес представляют пары сигналов (векторов), а любые два вектора лежат в общем для них двумерном подпространстве (плоскости). Таким образом, даже не очень богатого пространственного воображения оказывается вполне достаточно для того, чтобы ориентироваться в сигнальном пространстве любой размерности.

Устремляя к бесконечности, получаем бесконечномерное евклидово пространство, пригодное для представления всех дискретных сигналов, определенных на бесконечной целочисленной временной оси . Это пространство имеет бесконечное, но счетное множество «координатных осей». Каждому сигналу соответствует бесконечный (счетный) упорядоченный набор координат вектора, равных отсчетам этого сигнала в соответствующие моменты времени.

Переходя к континуальным сигналам, получаем бесконечномерное пространство с несчетным множеством (континуумом) «координатных осей», при этом сигналу соответствует бесконечный несчетный упорядоченный «набор координат» вектора, равных отсчетам этого сигнала в соответствующие моменты времени, которые теперь следуют друг за другом «бесконечно плотно», то есть непрерывно. Таким образом, и дискретные, и аналоговые сигналы могут быть представлены векторами в линейном пространстве соответствующей размерности.

Характеристики

Список файлов книги