Васюков В.Н. Введение в теорию сигналов (1275344), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пример 4. В состав декодирующего устройства мобильного телефона стандарта D-AMPS входит устройство памяти, хранящее две «кодовые книги» [4]. Каждая из них содержит по 128 кодовых слов (двоичных векторов), состоящих из 40 компонент, и, следовательно, принадлежащих 40-мерному пространству. Однако фактически они принадлежат 7-мерному подпространству, натянутому на 7 базисных векторов, поэтому для задания кодового слова достаточно указать набор его координат в этом базисе, состоящий из 7 двоичных символов. ◄

1. Метрика, норма и скалярное произведение

Наличие в пространстве полного базиса позволяет описать любой вектор (сигнал) из этого пространства. Во многих случаях нужно знать не только индивидуальное описание сигналов, но и иметь возможность определить количественно отличие сигналов друг от друга. Для этого вводят скалярный функционал^) , определенный для всех пар и , называемый расстоянием (метрикой), а пространство в таком случае называют метрическим.

Метрика должна удовлетворять аксиомам

1. и ,

2. ,

3. (неравенство треугольника).

Отметим, что различные метрики, введенные на одном и том же множестве сигналов, дают различные метрические пространства. Например, на множестве всех аналоговых сигналов, заданных на интервале можно определить следующие метрики [2]:

1). ,

2). ,

3). и т.п.

На множестве всех дискретных сигналов, заданных при , можно ввести метрики

4). ,

5). ,

6). и т.д.

Иногда при сравнении сигналов нет необходимости знать точный вид сигнала, и можно ограничиться лишь его числовой характеристикой (энергией, максимальным значением и т.п.). Обобщением для таких характеристик служит понятие нормы вектора. Функционал, исполняющий роль нормы вектора и обозначаемый , должен удовлетворять следующим условиям

1. и ( читается «только если»),

2. ,

3. .

Норму, как и метрику, можно ввести различными способами. Для аналоговых сигналов чаще всего применяется норма

,

имеющая смысл квадратного корня из энергии сигнала. Находят также применение нормы и . Аналогично вводится норма для дискретных сигналов. Наиболее часто используются нормы и . Пространство с нормой называется нормированным. Следует отметить, что, как и в случае метрики, способ задания нормы сильно влияет на свойства пространства.

Ввиду очевидного сходства аксиом нормы и метрики часто (но не всегда!) метрику определяют, как норму разности векторов:

.

Например, в пространстве дискретных сигналов норме можно сопоставить упомянутую выше метрику , которая обобщает на бесконечномерный случай евклидову метрику (расстояние находится «по теореме Пифагора»). Очевидно, метрика является обобщением евклидовой метрики на пространство континуальных сигналов.

В большинстве практических задач, связанных с анализом и обработкой сигналов, важную роль играет операция, называемая скалярным произведением. Скалярное произведение определено для произвольной пары векторов из данного линейного пространства, а результатом является число (скаляр) из поля . Таким образом, скалярное произведение представляет собой функционал. Скалярное произведение векторов и , обозначаемое должно удовлетворять следующим условиям (аксиомам) [2]:

3. и .

Знак * в условии а) обозначает комплексное сопряжение величин. Условие b) означает линейность скалярного произведения относительно одного из операндов. Из условия с) следует, что через скалярное произведение можно задать норму, определяемую выражением

.

Таким образом, скалярное произведение порождает норму, а через неё – метрику. Если пространство со скалярным произведением и порожденными им нормой и метрикой полно (то есть вместе с любой сходящейся последовательностью векторов содержит и предел этой последовательности [2]), то оно называется гильбертовым пространством. Наиболее часто в теории сигналов используются именно гильбертовы пространства. Отметим, что в конечномерном случае гильбертово пространство является евклидовым.

Пример 5. Множество аналоговых сигналов ограниченной энергии, заданных на конечном интервале , становится гильбертовым пространством, если определить скалярное произведение выражением

,

а норму и метрику, соответственно, выражениями

и .

Это пространство принято обозначать . Если носитель сигнала – вся вещественная (временная) ось, то пространство сигналов ограниченной энергии обозначается или просто . ◄

Пример 6. Множество дискретных сигналов (последовательностей) бесконечной протяженности становится гильбертовым пространством, если определить скалярное произведение выражением

и ввести норму и метрику выражениями

и .

Пространство, содержащее все последовательности конечной нормы , обозначается и называется пространством квадратично суммируемых последовательностей. ◄

Пример 7. Важную роль в теории сигналов и цепей играют нормированные пространства и , с нормами, определяемыми соответственно выражениями

и .

Эти пространства не являются гильбертовыми. ◄

1. Гильбертово пространство

Важная роль гильбертовых пространств, как моделей для пространств сигналов, связана со скалярным произведением и теми преимуществами, которые дает введение этой операции на множестве сигналов. Ниже рассмотрены основные из этих преимуществ.

Скалярное произведение позволяет сравнивать сигналы более полно, чем это возможно в метрическом или нормированном пространстве. Из определения скалярного произведения следует неравенство Шварца , которое можно переписать в виде . Смысл неравенства Шварца в том, что в гильбертовом пространстве, как и в евклидовом, скалярное произведение двух сигналов не может превзойти по модулю произведения их норм, поэтому для пары вещественных сигналов можно определить угол между ними выражением .

Рассмотрим два частных случая. В первом случае ; это означает, что сигналы и имеют одинаковую форму и отличаются только нормой. Большой практический интерес представляет второй случай, когда , тогда сигналы называются ортогональными. Можно сказать, что первый случай соответствует максимальному сходству сигналов, тогда ортогональность означает их максимальное несходство.

Пример 8. Приёмное устройство системы связи с ортогональными сигналами, структура которого иллюстрируется рисунком 11, содержит каналов, каждый из которых «настроен» на прием одного сигнала, причем все сигналов взаимно ортогональны. В приемном устройстве формируются (генерируются) опорных колебаний, каждое из которых совпадает по форме с одним из ожидаемых сигналов. В каждом канале вычисляется скалярное произведение принимаемого колебания и одного из опорных колебаний . Очевидно, если входное колебание совпадает по форме с одним из опорных, например, с , то на всех выходах схемы, кроме -го, по окончании интервала наблюдения будет нулевое значение, а на -м выходе – произведение норм принимаемого и опорного колебаний, заметно отличное от нуля. Таким образом, измеряя напряжение на выходах схемы, можно определить, какой из ортогональных сигналов присутствует на входе. Реальное входное колебание всегда содержит смесь сигнала с шумом и/или помехой, поэтому скалярное произведение на выходе канала отличается от указанных точных значений; в этом случае ортогональность сигналов гарантирует максимальную помехоустойчивость системы. ◄

Второе преимущество пространств со скалярным произведением связано с представлением векторов относительно заданного базиса. Скалярное произведение позволяет находить коэффициенты разложения произвольного вектора в данном базисе. Пусть – базис пространства, в котором определено скалярное произведение. Можно построить другой базис , называемый сопряженным, такой, что при любых и справедливо выражение , где – символ Кронекера. Это означает, что каждый вектор сопряженного базиса ортогонален всем векторам первого базиса, кроме одного, с которым он имеет скалярное произведение, равное 1. Сопряженный базис представляет собой вспомогательное средство для разложения вектора в основном базисе.

Пусть вектор представляется в виде линейной комбинации базисных векторов . Тогда коэффициент находится, как скалярное произведение заданного вектора и вектора из сопряженного базиса:

.

Особенно просто находятся коэффициенты разложения, если базис состоит из взаимно ортогональных векторов, нормы которых равны 1. Такой базис называется ортонормированным или ортонормальным. Нетрудно убедиться, что ортонормальный базис является самосопряженным, так как для него выполняется условие поэтому коэффициенты разложения для произвольного вектора находятся его скалярным умножением на базисные векторы .

Пример 9. В пространстве (комплексных) сигналов конечной длительности , заданных на интервале базис , где , является ортогональным. В самом деле, для двух произвольно выбранных функций из этого базиса скалярное произведение равно

.

Нормируя базисные функции путем деления на , можно получить ортонормальный базис , для которого справедливо равенство . Коэффициенты разложения сигнала в данном базисе находятся, как скалярные произведения:

,

так что любой сигнал на интервале можно представить рядом Фурье

.

Часто используется и представление в ортогональном базисе

,

Характеристики

Список файлов книги