Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Кривая для С в зависимости от р иллюстрируется на рис. 7.1.4. Заметим, что прн р = О пропускная способность равна 1 бит/символ. С другой стороны, при р = —,' взаимная информация между выходом и входом равна О. Следовательно, пропускная способность равна О. При —,' <р<1 мы можем поменять местами на входе ДСК О и 1, так что С оказывается симметричной функцией 1 относительно точки р = —,. В нашей трактовке двоичной модуляции и демодуляции, данной в главе 5, мы показали, что р является монотонной функцией от отношения сигнал — шум (ОСШ), как показано на рнс.?.1.5(а). Следовательно, когда С строится как функция ОСШ, она возрастает монотонно по мере увеличения ОСШ.
Зависимость С от ОСШ иллюстрируется на рис. 7.1.5(Ь). Далее рассмотрим канал без памяти с АБГШ и дискретным временем, описываемый переходными ФПВ, определяемыми (7.1.5). Средняя максимальная взаимная информация между дискретным входом Х = (х„х„...,х,,) н выходом )У = (-со,!!о) определяется пропускной способностью канала в бит/символ и равна 324 Интересно отметить, что в двух моделях канала, описанных выше, выбор одинаковой вероятности для входных символов максимизирует среднюю взаимную информацию. Таким образом, пропускная способность канала получается, когда входные символы равновероятны. Однако, такое решение для пропускной способности канала, даваемое формулами (7.1.16) и (7.1.17), не всегда имеет место.
0,Я в о с>~ 0,6 н я ян 0,4 й 0,2 -20 -Ы -! +4 +!2 ! О!я (АЯЛая! (як! Рнс. 7.!.6. Пропускная способность кяк функция ОСШ (АЯ!2п!) для кянаяя без памяти с АБГШ и двоичным входом (7.1.22) 326 Ничего нельзя сказать в общем относительно задания вероятностей входа, которые максимизируют среднюю взаимную информацию. Однако, в двух моделях канала, рассмотренных выше, переходные вероятности канала проявляют форму симметрии, которая влияет на максимум 1(Х; У), который получается, когда символы входа равновероятны. Условия симметрии можно выразить через элементы матрицы переходных вероятностей Р канала.
Когда каждая строка этой матрицы является перестановкой других строк и каждый столбец является перестановкой других столбцов, матрица переходных вероятностей симметрична, а входные символы с равной вероятностью максимизируют 1(Х; У) . В общем необходимые и достаточные условия для совокупности вероятностей входных символов (Р(х„)), при которых максимизируется 1(Х;1') и, следовательно, достигается пропускная способность ДСК, таковы (задача 7.1): 1~х,.; У) < С для всех 1 с Р~х ) > О, 1~х,; у) = С для всех ! с Р(х,) = О, (7.1.21) где С вЂ” пропускная способность канала, и — Р~у,~х,) 1~х,; 1) '=,,'~ Р(у,!х,)1оя Обычно относительно просто проверить, удовлетворяет ли совокупность входных символов с равными вероятностями условиям (7.1.21).
Если они не удовлетворяются, то ряд входных символов с неравными вероятностями (Р(х,)) могут удовлетворять (7.1.21). Теперь рассмотрим ограниченный по полосе частот канал с аддитивным белым гауссовским шумом. Формально, пропускная способность такого канала в единицу времени определена Шенноном (1948) так: (7.1.24) (7.1.26) У Мп2 Р„= Я ф (д~И = Т Я КЯ = '"Т" ! (7.1.28) Следовательно, ТР Р, ст„= — ~ = —.
М 2И'' (7.1.29) Подставив этот результат в (7.1 27) для о'„получаем (х„; „)= ~г~+ — "1~. В заключение можно получить пропускную способность канала в единицу времени путем деления результата (7.1.30) на Т. Таким образом, Р '1 С' = К 1оф 1+ (7.1.3 1) Это базовая формула для пропускной способности частотно-ограниченного канала с АБГШ с частотно-ограниченным и ограниченным по средней мощности входом. Она была впервые получена Шенноном (194б).
График пропускной способности (бит/с), нормированной к полосе К, как функция от отношения средних мощностей сигнала Р„и шума И%„дан на рис. 7.1.7. Заметим, что пропускная способность увеличивается монотонно с увеличением ОСШ. Таким образом, при фиксированной полосе пропускная способность канала увеличивается (7.1.30) З27 С =! пп шах — 1(Х; У), (7.1.23) г-+а р(я) где усредненная взаимная информация определена (3.2.17). Альтернативно, мы можем использовать отсчеты или коэффициенты 1у,.), 1х,) и 1п,.) в ряде разложений х(г),у(г) и л(~) соответственно для определения средней взаимной информации между х„= ~х, х, ...
х„1 и у„= 1у, у, ... у„~, где М = 2УТ, у, = х, + у, и р(у ~ х, ) определены (7.1.12). Средняя взаимная информация между х„и у~ для канала с АБГШ равна 4х„;т„) = 1...Ц... 1~(у„~,„) ~щ — "--"'-*4ь,ау„- - х 1 Ык~* И41~-~'-)1 ФФ„ р(у,1х,)= е ' (7.1.25) /лМ, Максимум 7(Х; У) по входной ФПВ получается, когда входы 1х,) статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними, т.е. (;) = Г2„—.— ""' где а„— дисперсия каждого х, . Затем из (7.1.24) следует, что шах 7(Х„; УА,) = ~Ф 1од~ 1+ — *) = ~ М 1ой~1+ — ' ~ = УТ1ой1+ —,. ' '. (7.1.27) - а1 Предположим, что мы накладываем ограничение на среднюю мощность входных сигналов х(~), т.е. с увеличением переданной мощности сигнала. С другой стороны, если Р,„фиксирована, пропускную способность можно увеличить за счет увеличения полосы )и' .
н и (Р ~М )!аа,е о Ю о — 4 0 4 а 12 !6 20 ) о )а(г„лги,) (г(гч) Рис. 7.1.7. Нормированная пропускная способность канала как функция ОСШдля ограниченного по полосе частот канала с АЬГШ Рис. 7.1.8. Пропускная способность канала как функция полосы частот при фиксированной средней моц(ности сигнала Рис. 7.1.8 даст зависимость С' от Иг. Заметим, что если И~ становится неограниченной, пропускная способность канала приближается к предельной в Р Р С= ~~1ой,е= о о Поучительно выразить нормированную пропускную способность канала С/И' как функцию от ОСШ на бит. Поскольку Р представляет среднюю мощность (в Ваттах), а С определено в бит/символ, то следует Р =Сф, (7.1.33) где ~~ — энергия сигнала на бит.
Следовательно, (7.1.31) можно выразить так: еличине (7.1.32) С ( С $1 И =1ойт),1+)р М~. а (7.1.34) Следовательно, (7.1.36) Ф,,суя — = 1ип Я):ь=1п2, (7.1.37) М, суи о С'/~ которое равно — 1,6 дБ. Зависимость С'/гг' от Фь' / М, показана на рис. 5.2.17. Итак, мы получили выражение для пропускной способности для трех важных моделей канала, которые рассматриваются в этой книге. Первая — это модель канала с дискретными входом и выходом, для которой ДСК частный случай. Вторая, с дискретным входом и непрерывным выходом, — это модель канала без памяти с АБГШ. При помощи этих двух 328 8 2~>~ 1 (7.1.35) о Когда С'/Ю=1, йь/М, =1 (ОдБ). При С'/И~-+ о — = ех — ~1п2 — 1и — ~ .
Таким образом, йь / М, растет экспоненциально, когда С'/И~ — + со. С другой стороны, когда С'/)г' -+ О, моделей канала мы можем судить о качестве кода при получении жестких и мягких решений (детектора) в цифровых системах связи. Третья модель канала сфокусирована на нахождении пропускной способности в бит!с непрерывного (по входу и выходу) канала. В этом случае мы предположили ограничение полосы частот канала, что сигнал искажается в канале аддитивным белым гауссовским шумом и что средняя мощность передатчика ограничена.
При этих условиях мы получили результат, даваемый (7.1.31). Главное значение формул для пропускной способности канала, данных выше, это то, что они служат верхней границей скорости передачи для реализуемой связи по каналу с шумом. Фундаментальная роль, которую играет пропускная способность канала, определена теоремами кодирования в канале с шумами, данными Шенноном (1948 а).
Теоремы кодирования в канале с шумами Существуют кодеры канала (и декодеры),которые делают возможным достичь надежную связь со столь малой, насколько желательно, вероятностью ошибки, если скорость передачи Я <С, где С вЂ” пропускная способность канала. Если Я >С„то нет возможности обеспечить стремление вероятности ошибки к нулю каким угодно кодом.
В следующем разделе мы исследуем выгоду кодирования для моделей каналов с аддитивным шумом, описанных выше, и используем пропускную способность канала. чтобы судить о доступном качестве реального кода. 7 1.3. Пропускная способность канала, достигаемая при помощи ортогональных сигналов 1-[1-фу)1 '<1 (7.1.39) для всех у, мы можем использовать эту границу для у<у„т.к. она плотнее, чем единичная граница.
Тогда (5.2.21) можно оценить верхней границей так: Р < ) е-~» ~ ~ и г/у+ ) е «Де~+-~ ~)/~сну (7 1 40) ,/2п,/2к Величину у, которая минимизирует эту верхнюю границу, можно найти дифференцированием правой части (7.1.40) и приравниванием производной нулю. Зто выполняется легко и решение таково: е ~Д=М (7.1.41) или, что эквивалентно, В разделе 5.2 мы использовали простую объединенную границу, чтобы показать, что для ортогональных сигналов вероятность ошибки можно сделать сколь угодно малой путем увеличения числа сигналов М при условии, что ~з / М >21п2. Мы указывали, что простая объединенная граница не дает наилучшую нижнюю границу для ОСШ на бит.
Проблема в том, что верхняя граница, использованная для аппроксимации Ц(х) не очень плотная при малых х. Альтернативный подход сводится к использованию двух различных верхних границ для (3(х) в зависимости от величины х. Начиная с (5.2.21), мы видели, что 1 — (1-(31у)1 <(М вЂ” 1)фу)< Ме ~ . (7.1.38) Зто как раз объединенная граница, которая плотная, когда у велико, т.е. у > у„где у, зависит от М. Если у мало, объединенная граница превышает единицу для больших М. Поскольку Р,=.Г2\ 77 = 771 27 Р,ЛХ= 7771 2. (7.1.42) Определив у,, вычислим простые экспоненциальные верхние границы для интегралов в (7.1.40).
Для первого интеграла имеем 1'Р7 ф,(7«ф 1 (-(.!7« -4 «7 /2 1-- / з-- = ®2у — у ), у, < з/2у, (7.1.4З) <;(~~ «-Р)*~ у ~,фу Второй интеграл ограничен сверху так: е 7Р!«е ( !7«) /«г(у -М вЂ” е «««~ е ~77(х< !2«г Р Лк -И -«л у дт (7.1.44) Ме " е(7" '" ~ (у, >,/у/2). Объединяя границы для двух интегралов и подставив е Р1 ' для М, мы получим е '~ +е(77'" ' (О<уо>Ду) е«" « ')/+е(л«)!е( "«' 7 (7/ у <у <,/2у) В области О<у, <Зг«у Р «7 '«(1гг 7" ' 7) 7 7"' '7, (О у, ~,Яу).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
