Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 68
Текст из файла (страница 68)
77.1.417 В области Ду < у, <,Г2у два слагаемых в (7.1.45) идентичны. Следовательно, Р <2е (!7«Р1)! ( ~~у < у < /2у) (7.1.47) Поскольку у, = ~/21п М = ~Г2Йп2 и у = Усу„границы (7.1.46) и (7.1.47) можно ', . выразить так: 2 ( )! М< (~ — 7 )7 2е (1и М иу) (4у <1пМ~у). (7.1.48) Первая верхняя граница совпадает с объединенной границей, представленной ранее, но она шире для больших значений М. Заметим, что Р, — +О, когда к — эоо (М вЂ” э77о) при условии, что у, >21п2. Но 1п2 — зто предельное значение ОСШ на бит, требуемое для надежной передачи, когда скорость передачи равна пропускной способности канала с АБТШ при неограниченной полосе частот, как было показано в разделе (7.1.2).
Действительно, если выражения Р, = Г2Й1 2 = 72Я7хь 7, ТР, (7,1.49) у = — '~. = ТС' 1п2 = С„1п 2 подставить в две верхние границы, даваемые (7.1.46) и (7.1.47), где С= Р l(М,!п2)— пропускная способность канала с АБГШ при неограниченной полосе частот, получаем результат ззо г.г"-"- ") (0<л<',с„,), 2 гас 4Ж (-ес <Л<С) (7.1.50) 7.1.4. Функции надежности канала Экспоненциальные границы для вероятности ошибки М-ичной ортогональной системы сигналов в канале с АБГШ н неограниченной полосой, даваемые (7.1.50), можно выразить так <2 г-ткнп „< (7.1.51) Показатель экспоненты ( з ф— Л ~(~с., —.%) (О< Л <",С.) (.С„< Л < С.,) (7.1.52) в (7.1.51) назван фулят1лев лаМжююости капала с АБГШ и неограниченной полосал. График Е(Л)/С дан на рис.
7.1.9. Показан также показатель экспоненты для объединенной границы для 1'„„даваемый (5.2.27), которую можно выразить так: 1'„<Ф 2 '(' "). 0<л<ФС„,. Ясно, что показатель экспоненты в (7.1.53) не так плотен, как Е(Л) из-за изменения аргумента в объединенной границе в широких пределах. Как показал Галлагер (1965), границы, даваемые (7.1.51) и (7.1.52), являются зкспоненциально плотными. Это подразумевает, что не существует другая функция надежности, скажем Е,(л), удовлетворяющая условию Е,(л) > Е(Л) для произвольного Л. Следовательно, вероятность ошибки ограничена сверху и снизу как К .2 тнл!< 1' <К 2 ™(и!, И а (7.1.
54) где константы имеют только слабую зависимость от Т, т.е. они меняются медленно с изменением 1. Поскольку ортогональные сигналы обеспечивают по существу то же качество, что и оптимальные симплексные сигналы для больших М, нижняя граница в (7.1.54) приемлема зля любого ансамбля сигналов. Следовательно, функция надежности Е(Л), определяемая (7.1.52), определяет экспоненцнальные характеристики вероятности ошибки для цифровых сагналов в канале с АБГШ и с неограниченной полосой частот.
Таким образом, мы выразили границы через С, и битовую скорость по каналу Л. Первая верхняя граница приемлема для скоростей ниже ~С„, в то время как вторая плотнее, чем первая, для скоростей между ~~с„и С„Ясно„что вероятность ошибки можно сделать произвольно малой, взяв Т вЂ” +со (М-+м для фиксированного Л), в предположении, что Л < С., = Р„ /(М, 1п 2) . Более того, мы видели, что ансамбль ортогональных сигналов достигает границ пропускной способности канала, когда М -+ сс, когда скорость Л < С;, . 1т' й в е я в й ~'~ 1 4 Я ь дО о Я с король передачи Я (оя1кз Рис.
7.1.9. Функция надвжности копала с АБГШ при неограниченной полосе частот Хотя вероятность ошибки можно сделать как угодно малой увеличивая число ортогональных или биортогональных или симплексных сигналов при Л < С;,, для относительно умеренного числа сигналов, имеется большое расхождение между реальным качеством и лучшим достижимым качеством, даваемой формулой для пропускной способности канала.
Для примера, из рис. 5.2,17 мы видим, что ансамбль из М=1б ортогональных сигналов требует для достижения вероятности ошибки Р, =10 ' ОСШ на бит при когерентном детектировании примерно 7,5 дБ. В контрасте формула для пропускной способности канала указывает на то, что для С/И~= 0,5 надежная передача возможна с ОСШ порядка — О,Я дБ. Это представляет большую разницу в 3,3 дБ/бит и является стимулом для поиска более эффективных форм сигналов. В этой главе и главе 8 мы покажем, что кодированные сигналы могут значительно сократить расхождение. Аналогичные расхождения в качестве существуют также в частотно — ограниченной области рис.
5.2.17, где Л/И~ > 1. Однако, в этой области мы должны быть более искусны для того, чтобы использовать кодирование для улучшения качества, поскольку мы не можем расширить полосу частот, как в области с ограничением мощности сигнала Польза от техники кодирования для эффективных по полосе частот систем связи также обсуждается в главе 3. 7.2. СЛУЧАЙНЫЙ ВЫБОР КОДОВ Синтез систем кодированной модуляции для эффективной передачи информации можно разделить на два базовых подхода. Один — это алгебраический подход, который первоначально касался синтеза техники кодирования и декодирования для специального класса кодов, такие как циклические блоковые коды и сверточные коды.
Второй подход является вероятностным и он касается анализа качества общего класса кодированных сигналов. Этот подход дает границы для вероятности ошибки, которые можно достичь для связи по каналу с некоторыми специфическими характеристиками. 4 В этом разделе мы ознакомимся с вероятностным подходом к кодированной модуляции.
Алгебраический подход, базирующийся на блоковых и сверхточных кодах, рассматривается в главе 8. С, =[си с,„... с,.„], 1=1,2,...,М, (7.2.! ) где с =-О или 1. Каждый символ кодового слова отображается двоичным ФМ сигналом, к так что сигналы, соответствующие кодовому слову С, можно выразить так: Ф ;(с) = Х ',,Ф).
1=1,2,...,М, (7 2,2) где Д, если с.,=1, Л; — Д, если г:„. =О (7,2.З) и и — энергия на кодовый символ. Таким образом, сигналы .ф) эквивалентны л-мерным векторам з, = ~ьл з;з ... л;.„~, / = 1,2, ..., М, (7.2.4) которые соответствуют вершинам гиперкуба в и-мерном пространстве.
Теперь предположим, что информационная скорость на входе кодера равна Л бит/с н иы кодируем блоки из Ф бит на определенном временном интервале Т посредствога одного изМсигналов. Следовательно, 1 = ЛТ и требуется М = 2' = 2Я' сигналов. Удобно определить параметр О следующим образом; и .0 = — измер.к Т ('7.2. 5) Таким образом, и = ЙТ вЂ” это размерность пространства сигналов. Гиперкуб имеет 2" = 2ог вершин, из которых М = 2~~ могут быть использованы для передачи информации. Если мы навяжем условие В> 11, то часть вершин, которые мы используем как сигнальные точки, равна (7.2.б) Ясно, если В> Л, имеем )г — + О, когда Т вЂ” + оэ.
Вопрос, который мы хотим ставить, следующий. Можно ли выбрать подмножество М=2 ' вершин из 2" =2 имеющихся в распоряжении вершин так, чтобы вероятность ошибки Р-+О при Т-+се или, что эквивалентно, когда и-+~с? Поскольку часть используемых вершин приближается к нулю, когда Т-+ х, возможно выбрать М сигналов, имеющих минимальное расстояние, которое увеличивается, когда Т вЂ” +со и, следовательно, Р, -+ О.
Вместо гого, чтобы пытаться найти простой ансамбль из М кодовых сигналов, для л~м которых мы рассчитаем вероятность ошибки, рассмотрим ансамбль из 12") различных путей, по которым мы можем выбрать М вершин из 2" имеющихся в распоряжении вершин гиперкуба. С каждым из 2~' выборов мы можем связать систему связи, содержащей модулятор, канал и демодулятор, которые оптимальны для выбранного 7.2.1. Случайное кодирование, основанное на использовании ансамбли из М двоичных кодовых слов рассмотрим ансамбль из М кодовых слов, образованных нз л-мерных двоичных кодовых слов вида набора из М сигналов.
Таким образом, имеется 2 систем связи, одна для каждого ллг выбора М кодовых сигналов, как показано на рис. 7.2.1. Каждая система связи характеризуется своей вероятностью ошибки. Виэднлл лоллддавлтлльло Рис. 7.2Л. Ансамбль 2м' систем связи. Каждая система выбирает одну из 2 возможных последовательностей изагсигнадов ли Предположим, что наш выбор М кодовых сигналов основан на случайном выборе из множества 2лм возможных ансамблей кодов. Таким образом, случайный выбор и-го кода, обозначенного (з;), происходит с вероятностью 'УИЮ' Р~(з;) )= 2 '"', (7.2.7) и соответствующую условную вероятность ошибки для этого выбора кодовых сигналов обозначим Р„((т; ~ ). Тогда средняя вероятность ошибки по всему набору кодов 17.2 8) где верхняя черта над Р, означает усреднение по ансамблю колов.
Ясно, что некоторые выборы кодов приведут к большим вероятностям ошибки Например, код, который сопоставит все М гг-битовых последовательностей одну и ту же вершину гиперкуба приведет к очень большой вероятности ошибки. В таком случае Р„((л,~ ) > Р, . Однако, будут так же выборы кодов, для которых Р,((т,.) ) < 1',, Следовательно, если мы получим верхнюю границу для Р„эта граница будет так же справедлива для тех кодов, для которых Р(Я ) < Р„. Далее, если !', -+ О при 7'-+го, зз1 Р,(Х,)= 2„Р,(Х!,Ц )Р((ь;.) ), (7.2.9) где Р(Х„Ц ) — условная вероятность ошибки к-битового сообщения Х„которое передается посредством кода (4ф . Для т-го кода вероятность ошибки Р(Х, Я ) имеет верхнюю границу 17.2.1О1 где Р, (а!,ц) — вероятность ошибки для двоичной системы связи, которая использует сигнальные векторы з! и з„для передачи одного из двух равновероятных х-битовых сообщений.
Таким образом, Р,(Х„) <,3. Р,(Ц ),~;Р,.(з„з,). 17.2.111 Меняя порядок суммирования в 17.2.11), получаем Р(х )г~[ ~ Рф1 )Р !~„д 1~(~Р1и„и,), (72.!2) !~в где Р,(з!,з,) представляет среднюю по ансамблю вероятность Р2„(з„з,), полученную усреднением по 2~ кодам или по 2 системам связи. Для канала с АБГШ вероятность ошибки двоичной системы Р, (зь з,) равна ..(')= ~-,„~ 17.2.13) о где а~, = !з! — з„! . Если я, и з„отличаются по с1 координатам, то И„' =1з! — з!~) =~~> (з -з.) =п(2Д) =4гВ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
