Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Если время отсчета отличается от оптимального времени отсчета, усредненный сигнал ошибки на выходе фильтра нижних частот не равен нулю, и таймерная последовательность смещается в сторону отставания или опережения, в зависимости от знака ошибки. Таким образом, сглаженный сигнал ошибки используется для управления ТУН, чей выход является желательным таймерным сигналом, который используется для стробирования. Выход ТУН также используется как таймерный сигнал для генератора символьного сигнала, который выдает ту же базовую форму импульса, что на выходе фильтра передатчика. Эта форма импульса смещается во времени на 6 в сторону опережения и отставания, и полученные 309 образцы ожидаемого сигнала поступают на два коррелятора, как показано на рис. 6.35. ", Заметим, что, если сигнальные импульсы прямоугольные, нет надобности в генераторе., сигнального импульса внутри отслеживающей петли.
Рис. 6 3.5. Блок-схс>зз синхрониъпорз с окн;игн нз зздсржлэ -оисрс>ление Мы видели, что синхронизатор с окнами на задержку-опере>кение имеет в своей основе систел1у замкнутого петлевого управления, чья полоса относительно узка иа сравнению со скоростью передачи символов 1/Т. Полоса петли определяет качество оценки времени задержки. Узкополосная петля обеспечивает большее усреднение по аддитивному шуму н, таким образом, улучшает качество оцениваемых отсчетных величин в предположении, что время распространения в канале неизменно и таймерньш генератор на передаче не дрейфует со временем (или дрейфует очень медленно во времени).
С другой стороны, если время распространения в канале меняется со временем и (или) таймер передатчика также дрейфует со временем, тогда полосу петли следует увеличить, чтобы обеспечить отслеживание быстрых изменений во времени параметров синхронизации. В устройствах отслеживания два коррелятора эффективно взаимодействуют при соседних символах. Однако, если последовательность информационных символов имеет нулевое среднее, как в случае с АМ и при других видах модуляции, вклад в выходы корреляторов от соседних импульсов усредняется до нуля в фильтре нижних частот.
Эквивалентная реализация для синхронизатора с окнами на задержку-опережение, которая несколько проще в реализации, дана на рис. 6.3.6. В этом случае таймерньш сигнал от ТУН опережает и запаздывает на б, и эти таймерные сигналы используются для стробирования выходов двух корреляторов. Синхронизатор с окнами на задержку-опере>кение, описанный выше, является оценивателем задержки сигнала„не управляемым решениями, который аппроксимнрует максимально правдоподобный оцениватель.
Это утверждение лю>кно продемонстрировать путем аппроксимации производной от логарифма функции правдоподобия конечной разностью, т е. зю Ф н л )Ф~) = ~~[+1 ~щ)~;ф,т)ю~, (6.4.1) где з, (»; ф, т) — эквивалентный низкочастотный сигнал, который имеет общую форму: Ь|1;ф, )= ч~[~1ЛО Т- )+»~!К~~- Т- )~, (642) где (1„) и (1,) — две информационные последовательности. Заметим, что для АМ можем считать 1„= 0 для всех н, а последовательность (1)'. вещественная.
Для КАМ и ФМ положим ~„= 0 для всех л, а последовательность (1„) комплексно~ Для офсетной КФМ обе последовательности (1„) и (.Ц вЂ” ненулевые, и и (») = д(» — 2 Т) Для МП оценивания ф и т, управляемого решениями, логарифм отношенщ, правдоподобия равен л )ф,т)=й ~~ ~)гр~ $~-~з„"*,(~)», и (6.4.3) У„(т) = 4б 1 г(»)Я (» — нТ вЂ” т)»1», (6.4.4) х„(т) = ) гЯв"(»-»»Т — т)»1», О Необходимые условия для того, чтобы оценки ф и т были МП оценками, таковы: ал )ф, 1 ал,)г г) (6 4.5) Удобно ввести определение А(т) + 1В(т) = — ~ ~1„"у„(т) + 11„'х„(т)1 . С этим определением (6.4.3) можно выразить в простой форме Л (ф,т) = А(т)созф — В(т)япф. Теперь условия (6.4.5) для совместных МП оценок можно записать в виде дЛ, ф,т = — А(т) яп ф — В(т) сон ф = 0 „ дф дЛ, ф, т й4т) дВ(т) = — созф — япф = О.
дт дт дт (6.4.6) (6.4.7) (6.4.8) (6.4.9) Из (6.4.3) получаем Вамп Я А(т Ц ф „= — агс»я (6.4.10) Подставляя (6.4.10) в (6.4.9), находим решение для т в виде 312 полученных при совместной оптимизации„меньше или равны дисперсиям оцен ' параметров, полученных при раздельной оптимизации функций правдоподобия.
Рассмотрим совместное оценивание фазы несущей и параметра задержки. Логарнфн, функции правдоподобия для этих двух параметров можно выразить через эквивалентны низкочастотные сигналы так: у! Отслеживающая петля с прямым решением для КАМ (или ФМ), полученная из этого уравнения, иллюстрируется на рис.
6.4.1 Рис. б.4.1. Совместная отсасжиааюпаи истая, упраааясмая рсщснисн, дяя опснияанпя 4яаы несущей и парвмстра задержки дяя КАМ и ФМ Офсетная КФМ требует немного более сложную структуру для совместного оценивания ф и т. Структуру легко получить из (6.4.6) и (6.4.11). Кроме совместного оценивания, управляемого решениями, также возможно получить совместные оценки для фазы несущей и параметра задержки без управления решениями хотя мы не будем обсуждать этот подход.
Мы хотим также напомнить, что возможно совместить проблему оценки параметров с демодуляцией информационной последовательности (1„) . Это значит, что можно рассматривать совместно максимально правдоподобное оценивание 11„), фазы несущей ф н параметра задержки т Результаты по вопросам совместного оценивания появились в технической литературе, например у Кобаяси (1971), Фальконера (1976) и Фальконера и Сальца (1977). 313 (65.4) 6.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ КАЧЕСТВА МП ОЦЕНИВАТЕЛЕЙ Качество оценки параметра сигнала обычно измеряется ее смешением и дисперсие((, ':, ь1тобы определить эти характеристики, предположим, что мы имеем последовательность:;: наблюдений (х( х, х, ...х„~ = х с ФПВ р(х)ф), из которых извлекаем оценку параметра ф.
';: Смещение оценки ф(х) определяется так: смещение = Е~ф(х)] — ф, ( 1) ггде ф — истинное значение параметра. Если Е(ф(х)] = ф, мы говорим, что оценка::. леглф(еф(1фчпдвь Дисперсия оценки ф(х) определяется так: ~' = е))ф(*5)б ) — (е)ф( Г)) . (6.5.2) В общем (т, трудно вычислить. Однако хорошо известным результатом в теории ф оценивания параметра (см. Хелстром, 1968) является нижняя граница Крамера-Рао для среднеквадратической ошибки. >/( е)1ф(*( фб))'-[~11ф("()]/лг)[.
'"1(*1~ф) 1 (б'» Заметим, что если оценка несмещенная, то числитель в (6.53) равен единице„и граница (6.5.3) приводит к нижней границе для дисперсии а оценки ф(х), т.е. ~;,'-1/е)[ф( и(* Ф)] Поскольку 1и/>~х ф) отличается от логарифма отношения правдоподобия постоянным ' множителем, не зависящим от ф, то получим Е][~~~( Р1*1ф)] (=Е[[~~~( Л)ф)] )= — ЕГ б ( Л(ф)). (б5 5> Следовательно, нижняя граница для дисперсии равна Г 1 .
»1/Е[[~3 Л(ф)) )= — 1/ГГ(ф г 1 ° Л(ф)( (б5 51 Эта нижняя граница — очень полезный результат. Она дает оценку близости при сравнении дисперсии практической оценки относительно нижней границы. Несмещенная оценка, дисперсия которой достигает нижней границы, называется эфг/>ектдпавой. В общем эффективные оценки являются редкими. Если они существуют, то являются оценками максимального правдоподобия. Хорошо известньш результат из теории оценивания параметра — это то, что МП оценка параметра асимптотически (при произвольно большом числе наблюдений) не смещена и эффективна. В значительной степени зти желательные свойства определяют важность МП оценки параметра. Также известно, что МП оценка имеет асимптотически гауссовское распределение 1со средним ф и дисперсией, равной нижней границе, определяемой (6.5.6)].
В случае МП оценок, описанных в этой главе для двух сигнальных параметров, дисперсии в общем обратно пропорциональны отношению сигнал-шум или, что эквивалентно, обратно пропорциональны мощности сигнала, умноженной на интервал наблюдения ул'. Далее, дисперсии оценок, управляемых решениями, при малых вероятностях ошибки в целом ниже, чем дисперсии оценок, не управляемых решениями. 514 Фактически качество МП оценок, управляемых решениями, для ф и т достигает нижней границы. Следующие примеры относятся к расчету нижней границы Крамера-Рао для МП оценки фазы несущей.
Пример 6.5.1. МП оценка фазы немодулированной несущей, как было показано в (6.2.11), удовлетворяет условию ) «(!)з!п(2ф„'1+ф~,)М = О, (6 5.7) где «(г) = з~(;ф)+«>(() = А сов(2ф~+ф)+ и(/) . (6.5.8) Условие (6.5.7) получено при взятии производной логарифма функции правдоподобия Л 1$) = 1~ ) «(!)фф)М. (6.5.9) Дисперсия ф „имеет нижнюю границу 1-> ( > -! ~ф,4 О)1и 1ж~нФ)ю) =ф э) (6.5.10! м м (гт м„в. А70 >А >А> Множитель 1/270 — это эквивалентная (односторонняя) шумовая полоса идеального интегратора.
Из этого примера мы видим, что дисперсия МП оценки фазы имеет нижнюю границу о= > 1/у,, (6.5.11) где у — А" /2У„В,„; петлевое ОСШ. Это также дисперсия, получаемая при оценке фазы несущей посредством ФЗП с оценкой, управляемой решениями. Как мы уже видели, оценки, не управляемые решениями, нельзя выполнить так хорошо из-за потерь в нелинейностях, требуемых для снятия модуляции, например потерь из-за квадратирования нли возведения в М-ю степень. Похожие результаты можно получить для качества оценок параметра задержки.
рассмотренных выше. В дополнение к их зависимости от ОСШ качество оценки параметра задержки является функцией от огибающей сигнального импульса. Например, на практике обычно используется импульс, имеющий спектр в виде приподнятого косинуса (см. разд. 9.2). Для такого импульса среднеквадратическая ошибка (а,) оценивания параметра задержки как функция от ОСШ показана на рис. 6.5.1 для оценок, управляемых и не управляемых решениями.
Отметим значительное улучшение качества оценки, управляемой решениями, по сравнению с оценкой, не управляемой решениями Теперь, если меняется полоса частот импульса т, меняется огибающая импульса и„следовательно. среднеквадратическая ошибка оценки параметра задержки также меняется. Например, если меняется полоса частот импульса, который имеет спектр в форме приподнятого косинуса, среднеквадратическая ошибка меняется так, как показано на рис.6.5.2. Заметим, что ошибка уменьшается по мере увеличения полосы частот импульса В заключение мы представили метод МП оценки сигнальных параметров и применнлп его для оценки фазы несущей и параметра задержки символов.
Мы также описали пх характеристики качества. 315 0.50 0.20 0,20 « О,10 р 0215 о О о «Ю о 9212 «010 й «. «а 005 а « О о ж о 0,02 0 1ГД 0 2 о,з 0,1 о; Ко«1«1«10«о«г м1ыоо «о «о«о«о о«с«о О !цо«ос« - 11«О! 25! 5 1О 15 20 25 осш !«гя Рис. 6.5 2. Качество оценки параметра задержки для фиксироаапиого ОСШ и фиксарслытое патлепой полосы !1.Ггапко, Зупсьгопгг«ггеа зоб«у«!Опг Апа!уз!О Оп11 Рео!Кгь 1ра31 Рис. 6.5. 1. Качестао сцепки параметра задержки дчя фиксиропаппого сипыло и фпксирож1ппой петлелой полосы !1..Ггел!сэ бупс1иопгтабоп А 01 ..' 6РОО! 1 19831 6.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
