Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Составной канал, дискретный по входу и по выходу, образованный путем включения в него модулятора и демодулятора/детектора как частей канала Если модулятор применяет двоичные сигналы, и детектор делает жесткие решения, то составной канал, показанный на рнс. 7.1.1, имеет на входе и выходе двоичную последовательность с дискретным временем. Такой составной канал характеризуется набором Х =10, 1~ возможных входов, набором У= 10, 1~ возможных выходов и набором условных вероятностей возможных выходов при условии возможных входов. Если канальный шум и другие нарушения вызывают статистически независимые ошибки при передаче двоичной последовательности со средней вероятностью р, тогда 1 Чаше всего, говора о декодировании декодером мягких решений детектора, имеют в виду, что Ьл=<о за отобрам<ается сигналом а;(1), а «1» отображается сигналом яз(1).
Альтернативное'; модулятор может передавать с7-битовые блоки за определенное время, используя М =2Я .': ВозмОжных сигналоВ. На приемной стороне цифровой системы связи демодулятор обрабатывает сигналн,:.,' искаженные каналом, и преобразует каждый принятый сипгал в скаляр или вектор„:: который представляет оценку переданных символов данных (двоичных или М-пози-; ционных). Детектор, который следует за демодулятором, должен решить, передан «О» илв:; «1». В этом случае детектор выносит жесткое реьяепие. Если мы посмотрим,на процесс ': вынесения детектором решения как на форму квантования, мы заметим, что жесткас:-. решение соответствует двоичному квантованию выхода демодулятора.
В более общем виде ':-' ны можем рассмотреть детектор, который квантует выход на О > 2 уровней, т.е. О-ичныи,': детектор. Если используются М-позиционные сигналы, тогда О> М. В экстремальном,'-'. случае, когда вообще не производится квантования выхода демодулятора, О = со. В случае, „! когда О > М, мы говорим, что детектор выносит сияглое решение. 1 Квантованный выход детектора затем подается на канальный декодер, который использует имеющуюся в его распоряжении избыточность для коррекции искажений в ": канале. В следующих разделах мы опишем три модели канала, которые будут нспользоваться -,:' ' для установления максимально возможной битовой скорости для канала. Р(У=ЩХ=1)=Р(У=ЦХ=О)=р, ф =ЦХ=1)=Р(У=О~Х=О)=1-р.
Таким образам, мы свели каскадное соединение двоичного модулятора, канала и двоичного демодулятора и детектора в эквивалентный канал с дискретным временем, который представлен графом на рис. 7.1.2. Этот симметричный канал с двоичным входом и двоичным выходом обычно называют двоичным симметричным каналом (ДСК). Поскольку каждый выходной двоичный символ канала зависит только от соответствующего входного двоичного символа, мы говорим, что этот канал без памяти.
1 — р. Вход ход 1 — р Рис. 7.1.2. Двоичный симметричный канал Дискретные каналы без памяти. ДСК является частным случаем более общего канала с дискретным входом и дискретным выходом. Предположим, что входом кодера канала являются т1-ичные символы, т.е. Х=(х„х„...,х„,~, а выходом детектора являются Д-ичные символы, где Д > М = 2" . Если канал и модуляция без памяти, тогда характеристика вход — выход составного канала, показанного на рис.7.1.1, описывается рядом из дД условных вероятностей Р(У= у,'1Х = х,) = — Р(у,.~х>), (7.12) где 1= О, 1, ..., Д-1 и т' = О, 1, ..., д -1.
Такой канал называется дискретным каналом без памяти (ДКБП) и его графическое представление показано на рис. 7.1.3. ТакимЪбразом, если входом ДКБП является последовательность из и символов и„и„...,и„, выбираемых из алфавита Х, и соответствующим выходом является последовательность о„о„..., о, символов из алфавита У, то совместные условные вероятности определяются так: в Р(У,=о„У,=о„...,У„'=о„1Х,=и„Х,=ттт,...,Х„=и)=ПР(У=о„~Х=и) (7.1.3) «=! "дч Уо ~ Рис.
7.1.3. Дискретный канал, о-ичный по входу и О-ичный по выходу 21-56 321 Это выражение — просто математическая констатация условия отсутствия памяти. В общем, условные вероятности (Р(у,~х,)), которые характеризуют ДКБП, могут быть упорядочены в форме матрицы Р =(р,.), где, по определению, р„— = РЯх,) . Р называется матрицей переходных вероятностей канала. Канал с дискретным входом н непрерывным выходом. Теперь предположим, что иа вход модулятора подаются символы, выбираемые из конечного и дискретного входного алфавита Х=(х„х„..., х„!), а выход детектора не квантован Я=со).
Тогда входом декодера канала можно считать любую величину на вещественной оси, т.е. У = (-»>о,оо) . Это ведет нас к определению составного канала без памяти с дискретным временем, который характеризуется дискретным входом Х, непрерывным выходом 1' и рядом условных ФПВ р(У~Х = х„), /с = О, 1, ..., д — 1. Наиболее важный канал этого типа — это канал с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ), для которого 1'= Х+(х, (7.1.4) где б — гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией а', а Х=х„, /с=0,1,...,9 — 1.
Для данного Х=х, следует, что 1' является гауссовской случайной величиной со средним х, и дисперсией а . Это значит -( 1' р(у~ Х = х ) = е (7.1.5) (2яа Для любой входной последовательности Х„!=0,1,...,п имеется соответствующая выходная последовательность У, = Х + б„! = 1» 2, ...,п . (7.1.6) Условие, что канал без памяти, можно выразить так: рЬ!>у2»- у»~Х! — и!»Хя — "2» -»Х» — "„) = » = ПР(У1Ж = Ц). (7.1.7) у(г) = 2 у, ~(г); х(г) = ~~~ х,Дг); п(г) = ~~! п,~(г), (7.1.9) 1 где (х, ~, (у, ~ и (п, ~ — ряд коэффициентов в соответствующих выражениях, например 322 Сигнальные каналы.
Мы можем отделить модулятор и демодулятор от физического канала и рассмотреть модель канала, в котором входы и выходы являются сигналами. Предположим, что такой канал имеет заданную полосу частот Н~ с идеальной частотной характеристикой Си = 1 внутри полосы Ф, а сигнал на его выходе искажен алдитивным белым гауссовским 'шумом.
Предположим, что х(г) является частотно-ограниченным входом для этого канала, а у(г) — соответствующий выход. Тогда у(г) = х(г) + п(г), (7.1.8) где п(г) представляет реализацию аддитивного шумового случайного процесса. Подходящий метод для определения ряда вероятностей, которые характеризуют канал,— это разложить х(г), у(г) и п(г) в полный ряд ортонормированных функций. Это значит, мы выражаем х(г), у(г) и п(1) в форме т !' У, = )У(Ф (гМ =Яхй+и(г)]У (гМ =х, +и,.
(7.1.10) а о Функции (Дг)) образуют полный ортонормированный ансамбль на интервале (О, Т), (7.1.1 1) р(у„у„...,у„Дх!,х„...,х„) = Г1р(у,.)х,) (7.1.13) для любого У. Таким образом, описание сигналов канала сведено к эквивалентному каналу с дискретным временем, характеризуемым совместной ФПВ, даваемой (7.1. 12). Когда аддитивный шум белый и гауссовский со спектральной плотностью —,!М„ дисперсия !3,' = ф М, для всех (в (7.1.12).
В этом случае отсчеты х(г) и у(г) можно брать со скоростью Найквиста 2И' отсчетов/с так, что х, = х(1/2И') и у! = у(г/2Ит) . Поскольку шум белый, отсчеты шума статистически независимы. Таким образом, (7.1.12) и (7.1.13) описывают статистику отсчбтов сигналов. Заметим, что на временном интервале длительностью Т имеются М=2И'Тотсчетов'.' Этот параметр используется ниже для получения пропускной способности частотно-ограниченного канала с АБГШ, Выбор модели канала для его использования на определенном временном интервале зависит от объекта исследования. Вели мы интересуемся синтезом и анализом качества кодера и декодера дискретного канала, приемлемо рассмотреть модели канала, в которых модулятор и демодулятор являются частью составного канала.
С другой стороны, если ваша цель — синтез и анализ качества цифрового модулятора и цифрового демодулятора, мы используем модель сигнального канала. 7.1.2. Пропускная способность канала Теперь рассмотрим ДКБП с входным алфавитом Х=(х„х„...,х, !) н выходным алфавитом У= (у,„у,,...,у,) и рядом переходных вероятностей Р(у,~х,.), определйнных в (7.12). Предположим, что передан символ х,, а принят символ у, Взаимная информация о событии Х = х, когда имеет место событие 1 = у„равно 1оя1Р(у,)х,)/Р(у!)], где Р(у ) — Р(У- у.) — 1 Р(х )Р(у.1х ). (7.1.14) 323 где бо — дельта-функция Кронекера.
Поскольку гауссовский шум белый, то в выражениях (7.1.9) можно использовать любой полный ансамбль ортонормированных функций. Теперь используем коэффициенты в указанных выражениях для характеристики канала. Поскольку у, = х, + л!, где и, — гауссовские случайные величины, то следует р(у ~х!) =,— е ' ', ! = 1, 2,... (7.1.12) (2п!т, Поскольку функции Ц(г)) в разложениях являются ортонормированными, то следует, что (и,) некоррелированы.
Поскольку они гауссовские, они также статистически независимы. Следовательно, Следовательно, средняя взаимная информация, получаемая по выходу )У о входе Х,: равна (7.1.15) Характеристики канала определяют переходные вероятности Р(у,)х,),но вероятности', входных символов определяются дискретным кодером канала. Величина /(Х;у), ' максимизируемая по набору вероятностей входных символов Р(х,.) является величиной,:;,:;::: которая зависит только от характеристик ДКБП через условные вероятности РОу,)х ).
Зта: величина названа пропускной способностью канала и обозначается С. Таким образом, пропускная способность ДКБП определяется так д-! о ! с= !(х;у) ~~у(*,)у!у~~,)ьу)у(у)*,)/у(у)). (7.!.!6) Максимизация /(Х; У) выполняется при условиях Р(х,.) 1 О;,,'~ Р(х,) = 1. Размерность С вЂ” бит/символ, если берется логарифм с основанием 2, и нат/символ, если берется логарифм с основанием е. Если символы поступают в канал каждые т, секунд, то пропускная способность канала в единицу времени в бит/с и нат/с равна С/т, = С' . Пример 7.1Л Для ДСК с переходными вероятностями Р(О/1) = Р(1/О) = р средняя взаимная информация максимизируется, если входные вероятности Р(0) = Р(1) = ",. Следовательно, пропускная способность ДСК равна С = р1ой2р+(1-р)1ой2(1 — р) = 1 — Н(р), (7.1.17) где Н(р) - двоичная энтропийная функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
