Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 69
Текст из файла (страница 69)
172.14) 1=! Следовательно, гв, о (7.2.1 5) Теперь мы можем усреднить Р, (з!,ъ,) по ансамблю кодов. Поскольку все коды равновероятны, сигнальный вектор з! с равной вероятностью мажет соответствовать любой из 2" возможных вершин гиперкуба, и зто имеет место статистически независимо 335 тогда мы можем делать заключение, что для зтих кодов Р.ф) ) -+ О, когда Т-+ !с Для того, чтобы определить верхнюю границу для Р,. рассмотрим передачу й-битового сообщения Х =— ~х! х ...х„~, где х = О нли 1 для 7' = 1, 2, „ lг, Условная вероятность ошибки, усредненная по ансамблям кодов, равна Р(п') =— (7.2.16) Таким образом, математическое ожидание Р, (з„з,) по ансамблю кодов можно " Я[~„в,)=~Р(4~(~)= — „~( )Д[~ '). Ргд7) выразить так: Результат (7.2.17) можно упростить, если воспользоваться верхней границей для Д- функции , е-Ж~м, АЖ 1Уо Таким образом, '[ ") -Е "~ " -0--" ) ['[--"[[' ао (7.2.18) Мы видим, что правая часть (7.2.18) не зависит от индексов 1 и Л.
Следовательно, если мы подставим границу (7.2.18) в (7.2.12), то получим Р,(Х,)~~Р(з„з„)=(М вЂ” 1)~~(1+е'"~"')] <Лф(1+с "~"')] и! ыь Наконец, безусловную среднюю вероятность ошибки Р. получим усреднением Р,~Х,) по всем Ф-битовым информационным последовательностям. Таким образом, Р, = ~~~,Р,«Х )Р«Х,) < М~ф(1+с '~"')] ~Р~Х„) = Лф(1+е "~~')] (72 19) Этот результат можно выразить в более удобной форме, прежде всего определив параметр .К„который называется предельной скоростью и имеет размерность бит/измерение -всю, ) (7.2.20) Тогда (7.2.19) можно записать в виде Р <М2-"к = 2аг2- во Поскольку и = ИТ, то «7.2.21) можно выразить так Р 2-тапа;ю < Зависимость параметра В, как функции от Ф.
/ Ф, показана на рис. 7.2.2. Видно, что О ь Я, < 1. Следовательно, Р, — > О„Т вЂ” ь оэ, если информационная скорость А <ЕИ,. (7.2.21) (7.2.22) 33б от соответствия любой вершины сигнальному вектору з . Следовательно, Р(~, = з.) = ~ а, !' 4. з,. ~зв)=. ~ независимо для всех ю'= 1, 2, ..., и. Как следствие, вероятность того, что з, в '. з„различаются в а[ позициях, равна -ге -5 О 5 ге Рис.
7.2.2. Предельиаа сиарость передачи /г, как фуикциа ОСШ ив измереиие в децибелах -го,п;ь Р<2 гле у, — параметр, определяющей нормирование ОСШ, и равный л Л1, У. = У.- 1-1оь(|'-г ~") (7.2.27) (7.2.28) 22-56 Альтернативно (7.2.21) можно выразить так: Г Р < 2-мл,-л/пг (7.2.23) е е,а Отношение Л / Р также имеет размерность бит/измерение и может быть определено так: й к Л Л ЛТ /с Л = — — — — — —— (7.2.24) Р ут Таким образом, Л вЂ” зто скорость кода, н Р„< 2 "'"' "' (7.2.25) ед Мы замечаем, что, когда Л, < Л„средняя е вероятность ошибки Р, — г О, когда длина кодового блока и — + ее.
Поскольку среднюю величину а,ьч, гаьг вероятности ошибки можно сделать произвольно малой при гг-+ со, отсюда следует, что существуют коды в ансамбле 2~' кодов, которые имеют вероятность ошибки не больше, чем Р, . Из определения средней вероятности ошибки, данного выше, мы заключаем, что хорошие коды существуют.
Хотя мы нормально не можем выбрать коды случайно, интересно рассмотреть вопрос о том, может ли случайно выбранный код быть хорошим. Действительно, можно легко показать, что в ансамбле имеется много хороших кодов. Сначала заметим, что Р,-зто средняя по ансамблю вероятность ошибки, полученная усреднением по всем. кодам и что все отдельные вероятности. очевидно, положительные величины. Если код выбран случайно, вероятность того, что его вероятность ошибки Р, >аР„меньше, чем 1/а.
Следовательно, не больше, чем 10 процентов кодов имеет вероятность ошибки, которая превосходит 10Р, и не больше, чем 1 процент кодов имеют вероятность ошибки, которая превосходит 1ООР, . Мы хотим подчеркнуть, что коды с вероятностью ошибки, превосходящей /..', не является обязательно плохими кодами. Например, предположим, что среднюю вероятность ошибки Р, < 10 " можно получить, используя коды с размерностью л„, когда Л, >/1,. Тогда, если мы вьгберем код с вероятностью ошибки 1000Р, <10 ', мы можем скомпенсировать зто увеличение вероятности ошибки увеличением длины кода и от ц, до гг=10гг,/7. Таким образом, скромным увеличением размерности мы имеем код с Р, <10 ". Суммируя скажем, хороших кодов в изобилии и, следовательно, их можно легко найти даже случайным выбором.
Также интересно выразить среднюю вероятность ошибки в (7.2.25) через ОСШ на бит у,. Чтобы это сделать, выразим энергию кодового сигнала так: г2 гг8.' ~4 . (7.2.26) Следовательно, и=/г$~/В.. Также заметим, что Л/еь /Ф, =1. Таким образом, (7.2.25) можно выразить так: 2 Т 4 Теперь заметим, что Р, — > О, когда к — + са при условии, что ОСШ на бнт у, > у„ Зависимость у, от Л,,у„показана на рис. 7.2.3. Заметим, что когда Л,у„— + 0 у„= 2!л2 Следовательно, вероятность ошибки для М двоичных м Х кодовых сигналов эквивалентна вероятности ошибки, полученной из объединенной границы для М-ичных ортогональных сигналов, предполагая, что размерность кодового сигнала достаточно велика, так что 7„=21п2.
Параметр размерности й, который мы ввели в (7.2.5), пропорционален полосе канала, требуемой дяя рлю .Ню~, о рм -ш —.. в я ш л„в(яв) отсчетов, сигнал с полосой И~ можно представить 7 2 3 Нв ~~~~ гВ ~ииц 1 дхя ОС1Ц отсчетами, взятыми со ск' Ро ью 2 о " в/с. нзбкгдлядяаичнььх Таким образом, на временном интервале Т имеется противоположных сигналов в=2~оТ отсчЕтов или, что эквивалентно, имеем и степеней свободы (размерность). Следовательно, й можно приравнять 2И~. В заключение заметим, что двоичные кодовые сигналы, рассмотренные в этом разделе, используются, когда ОСШ на измерение мало, например, о„/Мь <10.
Однако, когда «/М„>10, величина Л, асимптотически приближается к 1 бит/измерение. Поскольку скорость кода ограничена так, что она меньше Л„, то двоичные кодовые сигналы получаются неэффективными при Ж,/У, >1О. В этом случае мы можем использовать недвоичные кодовые сигналы для того, чтобы достичь увеличение числа бит на измерение.
Например, многоуровневый кодовый ансамбль можно синтезировать из недвоичных кодов путем отражения каждого кодового элемента в один из возможных уровней (как в АМ), Такие коды рассматриваются ниже. Вместо того, чтобы синтезировать двоичные кодовые сигналы, предположим, что мы используем недвоичные коды с кодовыми словами вида (7.2.1), где кодовые элементы с, вьюираются из ансамбля (О, 1, ..., д — Ц . Каждый кодовый элемент отображается в одно пз о возможных значений амплигуд.
Таким образом, мы синтезируем сигналы, соответствующие и-мерным векторам (я,.), как в (7.2.4), где компоненты (л;,) выбираются пз ряда амплитуд, принимающих д возможных значений. Мы имеем гу" возможных 7.2.2. Случайное кодирование, основанное ня использовании М кодовых слов с многоуровневыми сигналами сигналов. Из них мы выбираем Ля' = 2" сигналов для передачи к -битовых ят информационных блоков. Величины ~7 амплитуд, соответствующих кодовым элементам (О, 1,, о — Ц, обозначим (и,, аз, ... а„) и будем предполагать, что они выбираются с вероятностями (Л,) . Предполагается, что уровни амплитуд равномерно распределены на интервале [ — з(й„ /$.1.
Для примера, рис. 7.2.4 иллюстрирует значения амплитуд при с(=4. в. Рнс. 7.2А. Снгнальный алфавнт, состоящий нз 4 уровней аынлнтулы гле /ч'„определено как (ч ч ч,=-' ь.~Харч. '""') ~-.1 н~ 1 (7.2.31) И,„, =~а,-а„~, /,чл= 1,2,„„,„д В частном случае, когда все уровни амплитуд равновероятны, Н =Р,„=1/ч/, (7.2.32) н (7.2.31) сводится к ч ч //ч= — 1оц,~ —,~~ ~~,р,~/„е ' ""'1. (7.2.33) '-~ч/'-...„, Г;.— Для примера, когда ч/ = 2 и а, = — э/й.', ал = эА, имеем Н„= ч/чэ = О, ч/,ч — ч/э, = 2э/~ и, следовательно, что совпадает с нашим прежним результатом. Когда ч/=4, а, = — э~4,, ач =-э/3,:/ч3.
а., = э1'гч/3, ач = Д, имеем ч/ „= О для гл = 1, 2, 3, 4, И,л =ч/лч=И,„=ч/л,=И,„=ч/„2 /~„:/3, с/,-=дч,—,ч/лч 4,э=а/3 и Н,„=ч/ч1 =2Д . Следовательно, 2 — Ь -в:чм, -чван„+ -вам„ /= Ясно, //„теперь насыщается до 2 бит/измерение по мере увеличения о,/Мч. График Л„как функции о,//ч'„при равноотстоящих и равномерно распределенных уровнях амплитуд показан на рис. 7.2.5 для ч/ = 2, 3, 4, 8„16, 32 и 64. Заметим, что таким образом, для больших ОСШ Р, -+ О, когда н — + чо при условии, что Л < ВЛ„=2Ю7с, бит/с. Если мы изменим пиковую энергию элемента, но сохраним заданную среднюю энергию на кодовое слово, как дано в (7229), возможно получить большую верхнюю границу на число бит/измерение.
Для этого случая, результат. полученный Шенноном (1959Ь), равен зэв 1чч В общем, соседние уровни амплитуд разделены интервалом 2/Ф,' /(с/ — 1) . Такое задание гарантирует не только то, что каждая компонента чч ограничена пиковой энергией но также и то, что каждое кодовое слово ограничено по средней энергии, удовлетворяющей условию ~ы~л а„„ (7.2.29) Путем повторения подхода, данного выше, для случайного выбора кодов в канале с АБГШ, находим, что средняя вероятность ошибки ограничена сверху М2 и 2м~2 л 2 «л "ало (7.э.30) 1 !ой, е+ — 1ой, — 1+ 1+ 1+ — ~'-- 1+ (7.2.35) График Л„в функции от ОСШ на измерение (о,'/УО ) также дан на рис. 7.2.5 Ясно, что наит выбор равномерно отстоящих, равновероятных уровней амплитуд, который приводит к Я„является субоптимальным. Однако, эти кодовые сигналы легче синтезировать и реализовать на практике.
Это важное преимущество, которое оправдывает их использование. 1О,О б,о 4,0 н 2,0 й'нн Об ьй 0,4 О,2 0,1 -1О О 1О 20 30 40 50 Энертетнчеаеае атнашенне не нэмеренне 10 1я 1в,и,1 Рис. 7.2.5. Предельная сюрость й для равноотстоящих уровней амплитуды с рявными вероятностями 7.2.3. Сравнение предельной скорости с пропускной способностью канала с АБГШ Р,Т П П имеем Р = — о, =/36,. (7.2.37) Определив С„ш С'/21т'ш С'//3 и заменив И/ и Р в (7.2.36), можно записать С„= — 1од2~1+2 — '-) "— — 1~щт(1+2Л.уе) бит/измерение. О Это выражение для нормированной пропускной способности канала можн В,, как показано на рис.
7.2.6. Поскольку ф— безусловный верхний пред передачи Я/В, то /т, < С„, как и ожидалось. Мы также видим, что для малых значений б„,/УО разница меду Л„и С„приближенно равно 3 дБ. Следовательно, использование (7.2.38) о сравнить с ел скорости Пропускная способность частотно-ограниченного канала с АБГШ с заданной средней мощностью входного сигнала было приведена в разделе 7.1.2 и определяется так: Р С' = Ф1од2 1+ — "-) бит/с, (7.2.36) О где Є— средняя мощность входного сигнала, а 1т' — полоса канала. Интересно выразить пропускную способность этого канала в бит/измерение, а среднюю мощность в энергии/измерении. С учбтом того, что /3 = 21т' и случайно выбираемых, оптимально ограниченных по усредненной мощности многоуровневых сигналов приводит к функции скорости 250, которая находится внутри 3 дБ зоны пропускной способности канала.
Требуется тщательно разработанная техника определения границ, чтобы показать, что вероятность ошибки можно сделать сколь угодно МаЛОй, КОГда тт <.0С„= 21РС„= С З,о ',к "25 к с '> ип.20 ~~$ а.в о- 1,О 0,5 -1О -5 0 5 10 !5 к. ио(лп! Рис. 7,2.6. Сравнение предельной скорости Л,' с пропускной способностью для канала с АБГШ 7.3. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ СВЯЗИ, ОСНОВАННЫЙ НА ПРЕДЕЛЬНОЙ СКОРОСТИ В предыдущем обсуждении мы характеризовали качество кодирования и модуляции через вероятность ошибки, которая конечно является определяющей при синтезе системы связи, Однако, во многих случаях, расчет вероятности ошибки чрезвычайно сложен, особенно, если при обработке сигнала в приемнике используются нелинейные операции, такие, например, как квантование сигнала, или когда аддитивный шум не гауссовский.
Вместо того„чтобы стремиться к расчету точных значений вероятности ошибки для .'', ' специальных кодов, мы можем использовать усредненную по ансамблю среднюю вероятность ошибки при случайном выборе кодовых слов. Предполагается, что канал имеет д входных символов 10, 1, ...,9 — Ц и Я выходных символов (0,1, ...,Д вЂ” Ц и характеризуется переходными вероятностями Р(1 ~у), где 7 = О, 1, ..., д — 1 и 1=0,1, ..., 0 — 1, причем О>д, Входные символы появляются с вероятностями 1р 1 и считаются статистически независимыми. Дополнительно, шум в канале считается не5ависимым во времени, так что нет зависимости между принимаемыми соседними .!::.. символами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
