Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 70
Текст из файла (страница 70)
При этих условиях, среднюю вероятность ошибки по ансамблю при случайном выборе кодовых слов можно получить с использованием границы Чернова (см. Витерби и Омура, 1979) Общий результат, который получен для дискретных каналов без памяти, таков: 0 < -л(до -ЯЮ) (7З. Ц .,:: где п — длина кодового блока, А — информационная скорость в битах/с,  — число .:.-:-' к1иеРений в секУндУ, а Яп — пРедельнаЯ скоРость длЯ квантователЯ с 0 УРовнЯми, определяемая так: 341 2 д-( ХР,з~~(Ф) О-! -!ОЯ2Х )-и (7.3.2) С точки зрения синтеза кода, комбинация из модулятора, канала н демодулятора образует канал с дискретным временем с (7 входами и О выходами. Переходные вероятности (Р() ) 7)) зависят от характеристик канального шума, числа уровней квантования и типа квантователя, например. равномерного нлп неравномерного.
Для примера, в канале с АБГШ и двоичным входом, условное распределение выхода коррелятора в точке отсчета можно выразить так: -(»)ч РЬ'(Й = г — е "' "' ' ", 7' = О, 1, т/2к(т (7.3 3) где и~О=-Д,Ш)=Д Ипт=~-М Эти две ФПВ показаны на рис. 7.3.1. Рисунок также иллюстрирует схему квантования, которая разделяет вещественную ось на пять областей.
Прн таком разделении мы можем вычислить переходные вероятности и оптимальным образом выбрать пороги, при которых деление на области происходит так, что максимизируется 1(„при заданном О. Имеем О Сз) З О О~ Рнс. 7.3Л. Пример квантования выходя дсмодуляторв пятью уровнямн Р(Ф) = /„Р(У И4' (7.3.4) (7.3.5) т ( 4, =п(ах -!оц.~ "~ р,~фу~Д ау' Я ~=я где Р„О< у «7-1 определяет вероятность передачи у-го символа, а Р(у17) — условная 342 где интеграл от Р(у~у) вычисляется по области г,, которая соответствует переходной вероятности Р() Я. Величина скорости Яо в пределе, когда О-+ со, определяет предельную скорость для неквантованного выхода демодулятора или согласованного фильтра. Можно непосредственно показать, что, когда О-+оо, первое суммирование (сумма от 1=0 до Π— 1) в (7.3.2) заменяется интегрированием, а переходные вероятности заменяются соответствующими ФПВ.
Таким образом, когда канал состоит из (7 дискретных входов и одного непрерывного выхода у, который представляет неквантованный выход согласованного фильтра или коррелятора в системе связи, которая использует ФМ или многоуровневую (АМ) модуляцию, предельная скорость определяется так Предположим, что М сигналов ортогональны, так что М.выходов, обусловленных частными входными сигналами, статистически независимы. Как следствие, и-~ Р(6) = Р,.(у;)ПР.1У) (7.3.7) ьц где Р „(у,) — ФПВ выхода согласованного фильтра, соответствующего переданному сигналу с номером у, а (р„(у,.)) определяется сигналами на выходах остальных М-1 согласованных фильтров.
Если (7.3.7) подставить в (7.3.6), мы получаем (7.3.а) Максимизация Л, по набору вероятностей входных сигналов приводит к р, =1/М для ! < !' < М. Следовательно, (7.3.8) ведет к Л, =!ояз 1+(ы-1)[! 4и...Йл.0 М~~ =~~, ~~-~щ,!~-(~~-~)!! .~~„„(~р„~~ф! ! Это - искомый результат для предельной скорости для канала с М-ичным входом и М-ичным векторным неквантованным выходом.
При когерентном детектировании М-ичных ортагональных сигналов соответствующие ФПВ равны Р (у)= е ~" с/2ка (7.3.10) Р,„(у) = — ' — е '"~, /2ха где т= Л и сг =~И,. Подставив эти соотношения в (7.3.9) и вычислив интеграл, получим з~ !+(М 1)е ~ з~о ~ з~ !+(М !)е-киьи где Ж вЂ” знергия принимаемого сигнала, Л вЂ” информационная скорость в битах/сигнал, а у, = $/М, - ОСШ на бит. Подчеркнем, что параметр скорости Л включает в себя кодовую скорость Л.. Для примера если М=2 и код двоичный то Л„=Л,. В более общем случае, если код двоичный и М = 2", тогда М-ичные сигналы содержат Л = чЛ. бит информации. Также интересно заметить, что если код двоичный и М = 2, тогда (7.3.11) преобразуется к г Л =1ояз „, М = 2 (ортогональных сигнала), з[1+е я""- !' что на 3 дБ хуже, чем предельная скорость для противоположных сигналов.
Ес в (7.3.11) Л = Л, и выполним решение относительно 7,, то получим (7.3.12) ли положим (7.3.13) Зависимость Л, от у, для некоторых значений М иллюстрируется на рис.7.3.3. Заметим, что кривые насыщаются для любых значениях М при Л, = 1опз М Интересно также рассмотреть предельную форму (7.3.11) при М -+ со.
Получаем о 1пп Л, =, битусигнал. (7.3.14) м 2Мо1п2' Поскольку б = Р Т, где Т вЂ” длигельносгь сигнала, то следует з,о з,о р~ ьз Я ьо о 1 з 3 4 5 6 7 ОСШ кк бис П (лБ) Рнс. 7.3.3. Требуемое ОСШ нв бит для роботы с предельной скоростью Л, при использовании М-ичных ортогонвльных сигналов и когерентного детектирования в клнллс с АБГШ Л„Р. йп —,, =~=зС . (73,15) ы Т 2М 1п2 Таким образом, при М -+ со предельная скорость равна половине пропускной способности канала с АБГШ с неограниченной полосой. Альтернативно, подставляя к = Лопь в (7.3.14) дает уь = 21п2 (1„4 дБ), что является минимальным значением ОСШ, требуемым для работы со скоростью Л„когда М вЂ” воз.
Таким образом, при работе со скоростью Л, требуется на 3 дБ больше мощности, чем предел Шеннона. Величина Л„определенная (7.3.11)„базируется на использовании М ортогональных сигналов, которые субоптимальны, когда М мало. Если мы попытаемся максимизировать Л„путем выбора наилучшего ансамбля из М сигналов, то не будем удивлены, когда найдем, что оптимальным является ансамбль симплексных сигналов.
Действительно, Л„ для этих оптимальных сигналов определяется так: М Л,; Ьйз ~ 1+(М вЂ” 1)е (7.3.16) Если сравним зто выражение с (7.3.1!), то заметим, что Л, в (7.3.16) просто отражает тот факт, что ансамбль симплексных сигналов энергетически более эффективен в М/(М вЂ” 1) раз. 7.4. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ Основополагающая работа по описанию канала в терминах его пропускной способности и случайного кодирования принадлежит Шеннону (1 948а, Ь, 1949). Дополнительный вклад был впоследствии сделан Гильбертом (1952), Элиасом (1955), Галлагером (1965), Вайнером (1965), Шенноном и др.
(1967), Форин (1968) и Витерби (1969). Все эти ранние публикации собраны в 1ЕЕЕ Ргезз Ьоо1с под заголовком Кеу Рарегх ьч !)зе Оеке!ортеп! о! 1н!огта()он ТЬеогу под редакцией Слепяна (1974). Использование параметра предельной скорости в качестве критерия синтеза было предложено и разработано Возенкрафтом и Кеннеди (1966) и Возенкрафтом и Джекобсом (1965). Он был использован Джорданом (1966) при синтезе кодированных сигналов для М-ичных ортогональных сигналов с когерентным и некогерентным детектированием. Следуя этим основополагающим работам, предельная скорость была широко использована в качестве критерия синтеза кодовых сигналов для множества различных условий в канале.
ЗАДАЧИ 7.1. Покажите, что следуюшие двв отношения являются необходимыми и достаточными уславнямн для ансамбля входных вероятностей (Р(х,)), пабы максимизировать )(Х;У) и, таяны образом, достичь пропускной способности ДКБП: !1х,; у) < С для всех ! с Р1т,)> О, )(х гУ)=С длявсем ! с Ррг )=О, где С вЂ” пропускная способность канала и Р(уйх ) )(х гу)=~~> Р(у, ~х )(оя — '-' — ! —.
7.2. Рис. Р.7.2 иллюстрирует М-ичный симметричный ДКБП с переходными вероятностями Р(у~х)=1-р, когда х=у=й,для 2=01 2,...,М-1,и Р(у~х)= р/(М-1), когда хну. я) Покажите, что этот канал удавлепюряет условиям, тинным в задаче 7.1, когда Р(х„) = 1/М . Ь1 Определите и постройте зависимость пропускной способности канала от р. визд М-1 Рис. Р.7.2 яь';, 7.3. Определите пропускные способности каналов, показанных нв рис. Р.7.3. 7А. Рассмотрите два канала с переходными вероятнастямн, показанными на рис. Р.7.4. Определите. достигается ли максимизация скорости передачи по каналу при равной вероятности входных символов.
7.5. Телефонный канал имеет полосу частот И' = 3000 Гц и отношение мошностей сигнала и шума 400 (26дБ). Предположим, что мы характеризуем канал, как частотно-ограниченный канал с АБГШ с Р,СИЯ, = 4ОО. (а) (Ь) Рис. Р.7.3 х, уз у, х о уз 0,6 (а) (Ь) Рис. Р7.4 а) Определите прэпускную способность канала в бит/с. Ь) Достаточно ли пропускная способность канала для обеспечения передачи рсчсвого сигнала, которьш стробируется и кодируется посредством логарифмической ИКМ7 с) Обычно канальные искажения, отличные от адаптивного шума, ограничивают скорость передачи по телефонному каналу меньше, чем пропускная способность эквивалентного частотно-ограниченного канала с АБГШ, рассмотренном в п. (а).
Предположим, что на практике достигнута скорость передачи 0,7(, бсз канального кодирования. Какие из методов кодирования речевого источника, описанные в разделе 3.5, обеспечат достаточное с>китае„чтобы удовлетворить частотным ограничениям телефонного канала? 7.6. Рассмотритс дискретный канал без паьшти (ДКБП) с двоичным входом и чстверичным выходом, паазаиный на рис. Р.7.6. х, Рис. Р.7.6 а) определите пропускную способность этого канала; Ь) покажите, что этот канал эквивалентен ДСК.
7.7. Определите пропускную способность канала, показанного на рис. 7.7. Рис. Р.7.7 7.8. Рассмотрите ДСК с переходной вероятностью ошибки р. Допустим, что Л вЂ” зтп число бит в кодовых словах, которые представляются одним из 2" возможных уровней на выходе квантовзтсля. Определите: з) вероятность того, что кодовое слово, переданное по ДСК, принимаетсл без ошибок; Ь) вероятность иметь ошибки хотя бы в одном бите (сил<воле7) кодового слова; с) вероятность иметь л или л<сньше ошибок в кодовом слове; й) вычислите вероятность (з), (Ь) и (с) для Л = 5, р = 0,01 и и, — 5. 7.<з.
покажите. что для Дск срсднял взаимная информация между последовательностью х,х. канальных входов и соотвегствтющих каизчьных выходов удовлепюряют условию Н Е(Х,,Х„,......,Х„;1;,Ут,......„у„)<~ 1/Х,.;У,Е с равенством тогда и талька тогда, когда сил<воль< в последовательности независил<ы. 7.10. Рис.р.7. 1О иллюстрирует двоичный канал со стиранием с переходными вероятностями Р((30) = Р(331) = 1 — р и 1'(л30) = Р(е 1) = р .
Выха < у Вероятности входных символов равны Р(Х = О) = <х и 1'(Х = 1) =1 — <л . <-и а) определите среднюю взаимную ин<)юрл<ацию 1(Х; Т) в битах; Р Ь) определите величину а<, которая максимизирует 1(Х;)'), т.с. обеспечивает пропускную способность канала в битЕсимвал и постройте я С кяк фучкцню ат р для оптимального значения гл; с) Для величины се, наиденной в (Ь), определите взаимную информацию 1(х;р) = 1(О;О), 1(1;1), 1(0;е) и 1(1„.е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
