Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Например, согласованный фильтр был впервые предложен Нортом (1943) для детектирования радиолокационных сигналов, и его иногда называют фильтром Норта. Альтернативным методом для получения оптимального демодулятора и детекгора является разложение Карунена — Лоэва, которое описано в классических работах Давенпорта и Рута (1968)„Хелстрома (1968) и Ван Триса (1968).
Их использование в теории детектирования радиолокационных сигналов описано в публикациях Келли и др. (1960). Эти методы детектирования базируются на методах проверки пшотез, разработанных статистиками, например, Нейманом и Пирсоном (1933) и Вальдом (1947).
Геометрические подходы к синтезу сигналов и детектированию, которые были представлены при рассмотрении цифровой модуляции, имеют свои корни в оригинальных работах Шеннона. Они концептуально привлекательны и теперь широко используются, начиная с книги Возенкрафта и Джекобса (1965).
Расчет и анализ сигнальных созвездий для каналов с АБГШ привлекали значительное внимание в технической литературе. В частности, исчерпывающим является анализ качества двухмерных (КАМ) сигнальных созвездий, которые рассматривались в публикациях Кана (1960), Ханкока и Лакки (1962), Кампопиано и Глэйзера (1962), Лакки и Ханкока (1962), Сальца и др. (1971), Саймона и Смита (1973), Томаса и др. (1974), Фошини и др. (1974). Синтез сигналов, основанный на использовании многомерных сигнальных созвездий, был описан и проанализирован в работах Гершо и Лоуренса (1984). Алгоритм Витерби был разработан его автором (1967) для целей декодирования сверточных кодов.
Его использование, как оптимального алгоритма для максимально- правдоподобного последовательного детектирования сигналов с памятью, было описана Форни (1972) и Омура (1971). Его использование для обработки сигналов с модуляцией 271 . несущей было рассмотрено Унгербоеком (1974) и Мак Кеншни (1979). Он был впоследствии использован для демодуляции МНФ Аулином и Свндбергом (1981) и др. злдлчи 5.1. Согласованныи фильтр имеет частотную характеристику -/тя/т н(Т) = а) Определите импульсную характеристику г!(!), саатвстствуташую Н(Т) . Ь) Определите сигналы, с которыми фильтр согласован. 5.2. Рассмотрите сигнал 1(А1 Т) ! саа2Я /;1 (О ~ г а Т), ~0 (для других Т).
а) Определите импульсную характеристику фильтра, согласованного с этим сигналом Ь) Определите выход согласованного фильтра при 1 — Т с) Допустим, что сигнал я(г) прошел через автокаррслятор. Определите сигнал на выходе автокоррслятора при ! — Т . Сравнвте ваш результат с результатам (Ь). 5.3. Эта задача касается характеристик сигналов ДФМ. а) Предположим, чта мы хатим передать последовательность данньж 110100010110 посредством двоичнои ДФМ. Пусть л(г)=Асах(2я/;!+О) представляет переданный сигнал на нскоторои сигнальном интервале длительностью Т.
Определите фазу переданного снпьзла для последовательности данных Начните с О = 0 для передачи фазы первого бита. Ь) Если последовательность данных не коррелнроваиа, определите и нарисуйте спектральную плотность мощности переданного сигнала ДФМ. 5.4. Для передачи информации двоичная цифровая система связи использует сигналы Яа(Г) = 0,0 5 г < Т, х!(г)=Л,0<гает. Демодулятор выдает результат взаимной корреляции принимаемого сигнала г(г) и л,(1) и стробируст выход коррелятора в момент Г = Т .
а) Определите оптимальныи детектор для канала с АБГШ н оптимальный порог, предполагая, что сигналы равновероятны. Ь) Определите вероятность ошибки как функцию ОСШ. Насколько ОСШ нада поднять по сравнению с противоположным!г сигналами при одинаковой вероятности ошибки. 5.5. Метрики корреляции, даваемые (5.1.44), равны С(г,я ) = 2~~ г„я „— ~~> ь з,л! = 1,2„..!)Т, и=! и! где г„=~ г(г)Т„(г) й, л„,„= ( л (!)Т„(!)гй. Покажите, что зти корреляционные метрики эквивалентны метрикам С(г„яю)=2~ гЯ<„!(Г)!!1-~ х-"„Яй, гг 5.6. Рассмотрите эквивалентный низкочастотный сигнал л! Я, 0 ~ г я т, с энергией в = з ~ ~Щ ь!1. Предположите, что этот сигнал искажается в канале с АБГШ, который представлен эквивалентным низкочастотным шумом г(1) .
Таким образом, наблгодаемый сигнал равен г,(!) = л!(Г)+г(Г),051 < Т. Принимаемый сигнал проходит через фильтр, который имеет эквивалентную низкочастотную импульсную характеристику /г(Г). Определите Ь,(г) так, чтобы фильтр максимизнравал ОСШ на своем выходе (в момент г = Т ). 5Л. Пусть г(г) = х(г)+уу(г) является комплексным белым гауссовским шумовым процессом с нулевым средним н функцией автокорреляцнн ф (г)- М„б(г) Пусть у (г),и=1,2„,М, является ансамблем Л,у артогональнь х эквивалентных низкочастотных сигналов, определенных на интервале 0 < г < Т . Найдите и, -я[1 1К.'1в~~=а...м.
а) Определите дисперсию для М Ь) Докажите, что Е(М Мы)=0 для Ьмт. 1 5.8. Два эквивалентных низкочастотных сигнала, показанных иа рис. Р5.8, используются для перезрчи двоичной последовательности по каналу с АБГШ. гч(0 Т Рнс. Р5.8 Принимаемый сигнал можно выразить так: ,И=,И+ гио < г < ТУ= 12, гле г(г) — гауссовский процесс с нулевым средним и автокорреляционной функцией ф (т)=ьЕ(х*(г) (г+ ))=М,б(). а) Определите переданную энергию посредством х,(г) и хз(г) и коэффициент взаимной корреляции этих сигналов рм.
Ь) Предположим, что прибмник построен как когерентный детектор с использованием двух сагласованнмх фильтров: один согласован с х,(г), другой — с х (г) Нарисуйте эквивалентную низкочастотную импульсную характеристику согласованного фильтра. с) Нарисуйте свободные от шума отклики двух согласованных фильтров, если передается сипая х. (1) . а) Предположим, па приемник состоит из двух взаимных корреляторов (умножителей, за которыми слсл)зот интеграторы), работающих параллельно.
Нарисуйте выход каждого интегратора клк функлзпо времени на интервале 0 <1~ т, когда передается сигнал хт(г). е) Сравните рисунки, полученные в пп. (с) и (д). Объясните результат. Г) Зная характеристики сигналов, дайте выражение для вероятности ошибки длл этих двоичных систем связи. 5.9. Допустим, что имеется комплексная гауссовская случайная величина х=х г)у, где (х,у)— статистически независимые величины с нулевыми средними и дисперсией Е(х'-) = Е(у ) = а .
Пусть г=хьш, где пг=ш„+~ай, н определите г так г=а+)Ь. Ясно, что а = х+ ш„и Ь = у+ пб . Определите следуквцие ФГГВ: а) р(а,Ь), а) р(в,ф), где и = 4аз+Ь', а ф =ага~(Ь/а), с) р(и). Замечание: в (Ц удобно определить ф = агсф(гп;/ш„), так что гл„= ш, +и, сахб,пб = ш„+пб лГпб.
г т 2 273 Далее следует использовать соотношение а зл — 1 е" й"о)Аф=1оЫ= ~1~ 2к Ь о 2х" („~)т * где 1о(м) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, 5.10. троичная светелка связи передаст один из трех сигналов я(г), 0 или -а(г) каждые т секунд. принимаемый сигнал равен й(г)=х(г)+х(г), й(г)=х(Ф) или й(г)=-аф)+х(1), где я(г) — белый гауссовский шУм с Е1х(1)1= 0 и ф .(г)=~-Е(х (Г)г(!+т))=ало(т).
Оптимальный пРиеьлник вычислЯет коРРелЯционные метрики и сравнивает 11 с порогами А и -А. Если У > А, принимается решение, что передан а(1). Если У <-А, принимается решение в пользу — х(1). Если — А < У < А, то принимается решение в пользу нуля. а) Определите три условных вероятностях ошибки: Р, при условии, что передан «(1), Рх при условии, что перед~и — я(1) и Рз при условии передачи О. о? Определите среднюю вероятность ошибки Р, как функцию от порога А, предполагая, что три сигнала апр1юрно равновероятны. с) Определите величину А, которая минимизирует Р, 5.11.
Два эквивалентных низкочастотных сигнала, показанных на рис. Р5.11, используются для передачи двоичной информационной последовательности, Передаваемые с одинаковой вероятностью сигналы подвергается воздействию АБГШ с нулевым средним, который имеет эквивалентное низкочастотное представление г(Г) с функцией корреляции ф .(т)-.~-Е~Р (ф(Г+т))= Агоб(т), а3 Какою энергия передаваемого сигнала? Щ Каюва вероятность ошибки иа бнт, если в приемнике используется когсрентное детектирование? с) Какова вероятность ошибки на бит, если в приемнике используется некогерентное детектирование? 5.12. В разд.
4.3.1 было показано, что минимальный разнос частот для ортогонализацин двоичных сигналов ЧМ с когерентным детектированием равен Ь1 =112Т. ;Сб Рис. Р5.11 Однако еще меньшие значения вероятности ошибки возмвкны при когереигном детектировании ЧМ, если Ь/ больше, чем 1 2Т. Покажите, что оптимальное значение Л1 равно 0,715IТи определите вероятность ошибки длл этой величины Ь1'. 5 13. Эквивалентнью низкочастотные сигналы для трех ансамблей сигналов поюзаны на рис. Р5.13. Каждый ансамбль можно использовать для передачи одного из четырех равновероятных сообщений через канал с АБГШ. Эквивалентный низкочастотный шум э(1) имеет нулевое среднее и функцию корреляции ф (т)= Уоб(т).
а) Классифицируйте сигналы в ансамблях 1, Д и 1Гк Другими словами, усиновиге класс, к которому огноситсл каждый сигнальный ансамбль. 1>) Какова средняя передаваемая энергия для юждого сигнального ансамбля? .г(г) ЗА гч(г) ль1 А О А 0 -А -ЗА льП А оо А о о ! ль Ш 4/2А о 4/2 А 4/2А о /иг А о 4/2 А 4/2 А ~ 4/2А Рис. Р5.13 с) Для сигналов ансамбля 1 определите среднюю вероятность ошибки, если сигналы детектируются когерентно.
а) Для сигналов ансамбля 11 дайте объединенную границу лдя вероятности ошибки на символ, если детектирование выполняется когерентно (1) и некогерентно (й). е) Возможно ли некогерентное детектирование для сигналов ансамбля 111. Объясните. Какой сигнальный ансамбль или сигнальные ансамбли вы выберете, если желаете достичь отношения битовой скорости к полосе частот Л /1т' не менее 2. Края!ко обьясните ваш ответ. 5.14. Рассмотрите четырехпазиционную (М = 4 ) систему связи, которая передает каждые Т секунд один из четырех равновераятных сигналов з,(е).— я,(!)зз(г),— яз(г). Сигналы а!(г) и яз(г) ортогональны и с равной энергией. Алдитивный шум гауссовский белый с нулевым средним и автокорреляционнай функцией 4„(т)= М б(т). Демодулятор состоит из двух фильтров, согласованных с я,(г) и яз(г), и их выходы в стсчетных точках равны У, и У,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
