Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Пример 5.3.1. Рассмотрим схему образования двоичной МНФ с индексом модуляции А = 3/4 и импульсом с парциальным откликом с Ь = 2. Определим состояние Я„схемы МНФ и вычертим фазовое дерево и решетку состояний. Сначала отмечаем, что имеется 2р = 8 состояний фаз, именно О (0 ~4 + л +з4 л ) Для каждого из этих состояний фаз имеется два состояния, которые обусловлены памятью схемы МНФ. Следовательно, общее число состояний М, = 1б, именно (0,1) (О,— 1) (л,1) (л,— 1) (4 ' ) (4 ' ) (2 ' ) (2 ' ) (, 1) (, л;- 1) (- ; 3) (- , ; 1) (-~л,1) (-;л,-1) (-~л,1) (-;л,-1) Если система находится в фазовом состоянии 0„=-4л и 1кч = — 1, тогда Решетка состояний иллюстрируется рис.
5.3.1. Путь по решетке состояний, соответствующий последовательности (1,-1,-1,-1,1,1), показан на рис. 5.3.2. 24З (о„,з „/„) (о,ц (о„,/„,) (о. ц (о,-ц (о, -ц (зз/4, ц (зз/4, Ц (зз/4, — Ц (я/4, -1) (зз/2, Ц (яз2, Ц (ззз2, -Ц (ззз2, -Ц (Зя/4, Ц (Зя/4, Ц (Ззз/4, -Ц (Ззз/4, -Ц (я, ц (я, ц (я, -ц (я, -ц (5зз/4, Ц (5зз/4, Ц (5я/4, -Ц (5я/4, -Ц (З а,ц (Зя/2, -1) (7я/4, Ц (Ззз/2, Ц (7я/4, Ц (7зз/4, -Ц (7 4,-1) Рис. 5.3.1. Решетка состояний для МНФ с парциалъным откликом (1,=2) с /з=3/4 Расчет метрик. Возвращаясь к математическим основам демодулятора максимального правдоподобия, данным в разд. 5.4.1, легко видеть, что логарифм условной плотности вероятности наблюдаемого сигнала г(») при условии передачи последовательности символов 1 пропорционален метрике взаимнойкорреляции СМ„(1) = ) г(») со(а.»+ ф; 1))с»» = СМ„з(1) +) г(») соз[а.»+6(»; 1)+ О„~з»».
(5 3.11) 243 Для того чтобы нарисовать фазовое дерево, мы должны знать огибающую сигнального импульса д(») . Рисунок 5.3.3 иллюстрирует фазовое дерево, когда ф») является прямоугольным импульсом длительности 2Т с начальным состоянием (О, 1) . Установив отображение решетки состояний для МНФ, рассмотрим расчет метрнк, формируемых алгоритмом Витерби. Слагаемое СМ„,(1) представляет метрики выживших путей (последовательностей) домомента пТ, а слагаемое А1;0„) = ~'""'"г(») з~в,»+0(»; 1)+0„~а (5.3.12) представляет дополнительный прирост метрики, вносимый сигналом на интервале: '- времени»»Т<» <(»»+ 1)Т.
Заметим, что имеются М~ возможных последовательностей 1=(1„,1,,...,1„„,) символов ир(или2р) возможныхсостояний фазы 10„~. Следовательно, имеем рМ (или 2рМ~) различных величин ~„(1;0„), вычисляемых на каждом сигнальном интервале, и каждая величина используется для прироста метрик, соответствующих рМ ' выживших последовательностей от предыдущего сигнального интервала. Общая блок-схема на рис.
5.3.4 иллюстрирует вычисления ч„(1;0„) для декодера Витерби. ь Заметим, что число выживших последовательностей в каждом состоянии для процесса декодирования по Витерби равно рМ~ ' (или 2рМ' '). Для каждой выжившей последовательности мы имеем М новых приращений ~„(1;0„), которые прибавляются к существующим метрикам, чтобы получить рМ (или 2рМ ) последовательностей с рМ' (нли 2рМ") метриками. Однако их число затем снова уменьшается до рМ' ' (нли 244 где Ь,', определено как »-'„=-~-1 (»-~фд)-~»;+»»3 м( Далее видим, что ф1Г; 1,.) — ф(~; 1,.) = $(~; 1,. — 1, ), так что, обозначив г, = 1, — 1,, '(5.3.15) можно переписать в виде Ь'=-"™~'" ( --.4; )1~, (5.3.1б) где любой элемент из г, может принять значения О,+2,+4,„.+2(М вЂ” 1), кроме Г„которое не может быть равным О. Вероятность ошибки МНФ определяется слагаемым Ь,',, соответствующим минимальному евклидову расстоянию, и ее можно выразить так: (5.3.17) где (1ой, М г~т1 Б' = ~ щ= ~ ~1 1 » ~— ~»л — »;)~ 1.
(.».1») у », , ~ я . ».~ ( Т о Заметим, что для обычной двоичной ФМ без памяти М = 1 и Ь' =Ь'„ =2. Следовательно, (5.3. 17) согласуется с нашим прежним результатом. Поскольку Ь' характеризует качество МНФ с МППО, мы можем исследовать влияние на Ь' изменения объема алфавита М, индекса модуляции Ь и длительности переданного импульса в системе МНФ с парциальным откликом. Прежде всего рассмотрим МНФ с полным откликом (Л= 1). Если возьмем сначала М = 2, то заметим, что последовательности ~»» 1» 2» з (5.3.19) которые отличаются при 1=О;1 и совпадают при 1г >2, приводят к двум фазовым траекториям, которые сливаются после второго символа. Это соответствует разностной последовательности ~ = (г,-г,о,о,...): (5.3.20) Евклидово расстояние для этих последовательностей легко вычислить из (5.3.16), а затем найти верхнюю границу для Ь'„ь.
Эта верхняя граница для М = 2 равна И'(Ь) =2 1 — ), М=2. (5.3.21) яп2тй»~ 2~й .»' НапРимеР, когда й = зз, что ведет к ММС, имеем И~я(~) = 2, так что Ь' „(~) < 2. Для М>2 и при полном отклике МНФ также можно легко увидеть, что фазовь<е траектории сливаются при г = 2Т. Следовательно, верхнюю границу Ь„можно получить, рассматривая последовательности разностей фаз г, = (и,-а,О,О,...), где сх=+2,+4,...,+2(М вЂ” 1).
Эти последовательности дают верхнюю границу (5.3.22) Графики зависимости дл(Ь) от Ь для М = 2, 4, 8„16 показаны на рис. 5.3.5. Из этих графиков очевидно, что большие выигрыши в качестве можно достичь увеличением объема алфавита Лг. Надо вспомнить, однако, что ба „(Ь) ьгУО(Ь).
Это значит, что веРхнЯЯ граница не достижима для всех значений Ь. Минимальное евклидово расстояние ба (Ь) было определено расчетом по 5 Ы1 Рис. 5.3.5. Верхние границы г7ла как функция индекса модулящги для сыпала МНф с полным агкликом и прямоугольным импульсом [Агяггг и ЯиЫЬегя 11984), ЕГ 1984,.Уаьн Я41еуЬгг11 247 (5.3.16) для различных сигналов МНФ Аулином и Сандбергом (1981). Например, рис. 5.3.6 иллюстрирует зависимость евклидова расстояния для двоичной ЧМНФ, как функцию индекса модуляции Ь при различном числе наблюдаемых символьных интервалов У (М = 1,2,3,4) . Показана также верхняя граница 0 О,1 0,2 О,З 0,4 0,5 О,б 0,7 О,а 0,9 ЬО Сдлк(Ь), ОнрсдспяЕМая (5.3.21).
В ЧаетНОСтн, видим, что когда Ьге 2, бг. (2) =2, это является тем же среднеквадратическим расстоянием, что для ФМ (двоичной или четверичной) с У = 1. С другой стороны, требуемое число интервалов наблюдения для ММС равно У = 2, из чего получаем б' (2) = 2. Следовательно, качество ММС с МППО сравнимо с качеством (двоичной или четверичной) ФМ, что мы видели раньше. Из рис. 5.3.6 мы также замечаем, что оптимальный индекс модуляции для двоичной ЧМНФ равен Ь=0,715, когда число интервалов наблюдения равно У=З.
Это дает б „(0,715) = 2,43 или выигрыш в 0,85 дБ относительно ММС. Рисунок 5.3.7 иллюстрирует зависимость евклидова расстояния от Ь для ЧМНФ с М = 4 и числом интервалов наблюдения скак параметра. Также показана (штриховой кривой, которая не достигается) верхняя граница саад, рассчитанная по (5.3.22). Заметим, что б',„достигает верхней границы при некоторых значениях Ь при одинаковых У. В частности, отметим, что максимальная величина Нл.
которая получается при Ь=0,9, приближенно достигается при Ф = 8 наблюдаемых символьных интервалах. Действительный максимум достигается при Ь = 0,914 с М 9. Для этого случая б' (0,914)=4,2, что дает выигрыш 3,2дБ относительно ММС. Также отметим, что евклидово расстояние имеет минимумы при Ь = ьа, 2с, Я,, 1 и других значениях. Эти значения Ь называют слабыми иидексалт модуляции, и их избегают. Похожие результаты возможны для больших значений М, и их можно найти в работе Аулина и Сандберга (1981) и в публикациях Андерсона и др.
(1986). ср(Ь) 2,5 3 2,0 о Рнс. 5.3.7. Мнннмальное елклндоло расстояние как $ункцня индекса модуляции для четнернчной ЧМНФ. Верхняя граница ол~. ~Аидп и БипИЬег811 981). 4Э 198 1,!ЕЩ 1л1 0,5 1.0 Ь Рнс. 5.3.6. Минимальное елклндоло расстояние как функцня индекса модуляции лля длончной ЧМНФ. Верхняя граница и' т. 1.4ийп и БипНЬег8 (1981), Се| 1981,!ЕЕЕ) Большие выигрыши в качестве можно также достичь при МППО и для МНФ, используя сигналы с парциальным откликом. Например, граница расстояния с1 (и) прн парциальном отклике импульса приподнятого косинуса, определяемого выражением 2гТ 1 сол2ТТ (Ое1~УТ) (5.3.23) О (для других Т), показана на рис.
5.3.8 для М =.2. Здесь заметим, что с ростом 1. параметр гтлт также достигает больших значений. Ясно. что качество МНФ улучшается по мере увеличения коррелятивной памяти А, но следует также увеличить Ь для того, чтобы достичь больших значений Ы'. Поскольку больший индекс модуляции требует большей полосы частот (при фиксированном Л), в то время как большая длина памяти Х, (при фиксированном Ь) требует меньшей полосы частот, то лучше сравнивать евклидова расстояние как функцию от нормированной полосы частот 2ггТь, где )к' — полоса с концентрацией 99% мощности, а Т, — битовый интервал. Рисунок 5.3.9 иллюстрирует этот вид сравнения с ММС, используемой как точка отсчета (О дБ).
Из этого рисунка видно, что имеется выигрыш в несколько децибел прн использовании сигналов с парциальным откликом и больших значений объема алфавита. Главная цена, которую нужно платить за этот выигрыш качества, — это экспоненциально растущая сложность в реализации декодера Витерби. 148 О! О5г1в 6 ! 8! в) в!в [ ядБ 5 6ПК в .Ф"; вв \ ЗДБ !- 4 ОдБ 2 о О,5 1,О 1,5 Ь Рис. 5.3.8.
Верхняя граница в!а~для минимального расстояния двоичной МНФ с парциальным Рис. 5.3.9 Выирыш в полосе частот по мошности для сигнала МНФ с частичным стали нога !импульс приподнятого косинуса — ПК) йт — полоса, содерлспцая 99 '/в мощности. 'РлпИЬег8 (1986), © 1986, 1ЕЕЕ) ! отклнгввьг (импульс приподнятого юсинуса) 15ипаьев8 (1986), © 1986,!ЕЕЕ1 МНФ со многими индексами (шп111-й). Изменением индекса модуляции от одного сигнального интервала к другому можно увеличить минимальное евклидово расстояние Результаты качества, иллюстрируемые на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
