Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 49
Текст из файла (страница 49)
232 Здесь х и у являются некоррелированными гауссовскими случайными величинами с одинаковой дисперсией гг„= Мс. Фаза равна О, = агс1й(у/х). (5.2. б8) На этой стадии мы имеем проблему, которая идентична той, которую мы' решали ранее лля фазово-когерентной демодуляции. Единственная разница в том, что дисперсия шума теперь в два раза больше, чем в случае ФМ.
На этом основании заключаем, что характеристика качества ДФМ на 3 дБ хуже, чем для ФМ. Этот результат относительно хорош для М>4, но он пессимистичен для М=2 в том смысле, что действительная потеря ДФМ относительно ФМ менее 3 дБ при больших ОСШ. Это мы покажем ниже, В двоичной ДФМ два возможных значения фазы передаваемого сигнала равны 0 и л.
Как следствие, только реальная часть г,г„*,, необходима для извлечения информации. Используя (5.2.б7), выразим реальную часть так: М~,тьгь,~ = г (Г„гь, +гьгь 1О- Ю. 'Я г в О г й о 1О-ь О З Ь а а 1О осш ок, т„лв Рис. 5.232. Всрмтность сшибки длк деанчной ФМ и ДФМ )2 14 ' Зтот результат можно получить зна ппельно проще (см. Л.М. Финк 1 1) ю формулы длл вероятности ошибки двоичной системы сигналов, ортогональных в усиленном смысле, если учесть, что сипшлы двоичной ДФМ на интервале 2Т ортогональны в усиленном смысле (прп).
233 Поскольку мы предполагали, что разность фаз между сигналами на соседних интервалах равна О, ошибка возникает, если Ке(гд,)<0. 4 Вероятность того, что гьг„,+г„г, <О, это специальный случай исследования, данного в приложении В, где обсуждается вероятность того, что общая квадратичная форма комплексных случайных гауссовских величин меньше нуля. Общая форма для этой вероятности дается (В.21) в приложении В, и она зависит всецело от первого и второго моментов комплексных гауссовских случаиных величин г и гь, Вычислив моменты и параметры, которые являются функциями моментов, получим вероятность ошибки двоичной ДФМ в виде Рь (5.2.б9) где уь = 5/У, — это ОСШ набит.
Графики Рь(уь ) показаны на рис. 5.2.12. На этом графике показана также вероятность ошибки двоичной когерентной ФМ. Видно, что при вероятности ошибки менее 3 дБ. При Р, < 10" разница в ОСШ м Р, <10 ' разница в ОСШ между ФМ и ДФМ еньше 1 дБ. 1О- 2 й 1О- Х 5 И д 1О. $5 О~ 1О 1О. О 2 4 б 3 1О 12 ОСШна бит, тк,дБ Рис. 5.2.13. Вероятность ошибки иа бит длкдеоичиой и четырбхфазиой ФМ и ДФМ Вероятность ошибки на бит для четырехфазной ДФМ с кодом Грея можно выразить через известные функции. Мы просто сформулируем здесь результат, а читателю, интересующемуся деталями, рекомендуем приложение С.
Результат выражается в виде Р, = 0,(п,Ь) — 17е(а Ь)ехр1( — ~(п'+Ь')~, где 0,(аЬ) — это 0-функция Маркума, определенная (2.1.122) и (2.1.123). 1,(х) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, определенная (2.1.120), а параметры а и Ь определяются так: = 1 2у,(1 -,/Д2~, (5.2,71) Ь =,/2у,~1 ° /Д2~. Рисунок 5.2.13 иллюстрирует зависимость вероятности ошибки на бнт для сигналов двух- и четырехфазной ДФМ и когерентной ФМ, полученную расчетом по точным формулам этого раздела. Поскольку двоичная ДФМ мало уступает двоичной ФМ при больших ОСШ и не требует разработки специального метода оценки фазы несущей, она часто используется в цифровых системах.
С другой стороны, четырехфазная ДФМ приблизительно на 2,3 дБ хуже по качеству, чем четырехфазная ФМ при больших значениях ОСШ. Следовательно, выбор между этими двумя четырехфазными системами неоднозначен. Надо взвесить потери в 2,3 дБ и упрощения в реализации устройства. 5.2.9. Вероятность ошибки для КАМ Напомним из раздела 4.3, что сигнал КАМ можно выразить так з„(1) = А я(1)соз2ф,à — А д(1)зш2ф'.г, (5.2.72) где А и А — содержащие информацию амплитуды квадратурных несущих, а д(г)— сигнальный импульс. Векторное представление этих сигналов *„=~А,Я А,ив„~. (5.2.73) Чтобы определить вероятность ошибки при КАМ, мы должны конкретизировать точки сигнального созвездия. Начнем с сигнального ансамбля КАМ, который имеет М=4 точки.
Рис. 5.2.14 иллюстрирует два таких ансамбля. Первый (а) — это четырехфазный модулированный сигнал, а второй (Ь) — зто чегырехфазный сигнал КАМ с двумя уровнями амплитуд, обозначенными А, и А, и четырьмя значениями фаз. Поскольку вероятность ошибки определяется минимальным расстоянием между парой сигнальных точек, примем условие, что с~~ы~ = 2А для обоих сигнальных созвездий, и рассчитаем среднюю переданную мощность, основываясь на предположении, что все сигнальные точки равновероятны. Для четырехфазного сигнала имеем Р— (4)2А — 2А . (5.2.74) Для двухамплитудной четырехфазной КАМ мы разместим точки иа окружностях радиуса А и ч'ЗА.
Поскольку г2О) = 2А, имеем Р„= а~2(ЗА )+2А )=2А', (5.2.75) что совпадает со средней мощностью для четырехфазного сигнального созвездия. Следовательно, для всех практических применений вероятность ошибки двух ансамблей сигналов одинакова, Другими словами, нет преимущества двухамплитудного сигнала КАМ относительно четырехфазной модуляции. Г +Аз Рнс.
5.2.14. Два 4-точечных снпильных созвездия ) 4+~3 (5) (с) Рис. 5.2. > 5. Четыре 8-точечных соэвездия сигналов КАМ Далее рассмотрим восьмиуровневый (М=й) сигнал КАМ. В этом случае имеются много возможных сигнальных созвездий. Рассмотрим четыре сигнальных созвездия, показанных на рис.5.2.15. Все они характеризуются двумя амплитудами и имеют минимальные расстояния между сигнальными точками 2А. Координаты (А, А ) для 235 каждой сигнальной точки, нормированные по А, даны на рисунке, Предполагая, что все сигнальные точки равновероятны, получаем для средней переданной мощности сигнала м .
Азм Рр — — —,у,(А' +А )= — ~(а' +а' ), (5.2.76) ю-! м=! где (а„, ц„„) — координаты сигнальных точек, нормированные по А. Два сигнальных ансамбля (а) и (с) на рис. 5.2,15 содержат сигнальные точки, которые лежат на сетке прямоугольника и имеют Р„=6А'.
Сигнальный ансамбль (Ь) требует переданную среднюю мощность Р„=6,8А', а ансамбль (Ы) требует Р =4,?ЗА . Следовательно, четвертый сигнальный ансамбль требует примерно на 1 дБ меньше мощности, чем первые два, и на 1,6 дБ меньше мощности, чем третий, для того, чтобы достичь той же вероятности ошибки. Эго сигнальное созвездие известно как лучшее восьмнточечное КАМ созвездие, так как оно требует наименьшей мощности при заданном минимальном расстоянии между сигнальными точками. Для М>16 имеется намного больше возможностей для выбора сигнальных точек КАМ в двухмерном пространстве.
Для примера мы можем выбрать круговые многоуровневые созвездия для М=16, как показано на рис.4.3.4. В этом случае сигнальные точки при заданной амплитуде поворачиваются по фазе на, х относительно сигнальных точек соседних уровней амплитуд. Это созвездие 16 КАМ является обобщением оптимального созвездия 8 КАМ. Однако круговое созвездие 16 КАМ не является наилучшим 16-точечным созвездием КАМ в канале с АБГШ. Прямоугольное сигнальное созвездие КАМ имеет отчетливое преимущество с точки зрения простоты генерирования, как два сигнала АМ, переданные на квадратурных по фазе несущих.
Кроме того, оно легко демодулируется. Хотя оно не являются наилучшим ' М-позиционным сигнальным созвездием при КАМ для М>16, средняя переданная мощность, требуемая для достижения заданного минимального расстояния, лишь ненамного больше, чем средняя мощность, требуемая при наилучшем сигнальном созвездии КАМ. Исходя из этих соображений, прямоугольное М-позиционное сигнальное созвездие КАМ наиболее часто используется на практике.
Для прямоугольных сигнальных созвездий при М=2", где к — четно, сигнальное созвездие КАМ эквивалентно сумме двух сигналов АМ на квадратурных несущих, причем каждый имеет !/М = 2'" сигнальных точек. Поскольку сигналы в квадратурных компонентах можно точно разделить в демодуляторе, вероятность ошибки для КАМ легко определить по вероятности ошибки АМ . Конкретнее вероятность правильного решения ! для М-позиционной системы КАМ равна Р =(1-Р„,), (5.2.77) где Р,- — вероятность ошибки для з/М -позиционной АМ с половинной средней мощностью в каждом квадратурном сигнале эквивалента КАМ. Несколько модифицируя выражение для вероятности ошибки в М-позиционной АМ, получаем (5.2.78) ! Незавнснмал обработка квадратурнмк компонент возможна только в ненскааапощем (однопутевом) канале (прп). 23б где Ж,/У вЂ” среднее ОСШ на символ.
Следовательно, вероятность ошибки на символ для М-позиционной КАМ равна Р„=1-(1-Р ) . (5.2.79) Подчеркнем, что этот результат точен при' М = 2", когда й четно. С другой стороны, если й нечетно, нет эквивалентной г/М-позиционной системы АМ. Однако здесь нет проблемы, поскольку всегда легче определить вероятность ошибки для прямоугольного ансамбля сигналов. Если мы используем оптимальный детектор, который основывает свои решения на использовании дистанционных метрик, определяемых (5.1.49), относительно просто показать, что вероятность ошибки на символ имеет плотную верхнюю границу г < 4 ( ) (5.2. 80) а для всех ь1ь >1 где — среднее ОСШ на бит.
Кривые вероятности ошибки на символ у даны на рис 5.2.16, как функции от среднего ОСШ на бит. 10-' ю-г б ,И г 10-' 3 104 8, сг 1О-' $0 4 а 12 16 20 24 Осшивбвт 7ь ЛБ Рис. 5.2.1б. Веровтиость ошибки ив символ длл КАМ Для непрямоугольных сигнальных созвездий КАМ можем получить верхнюю границу для вероятности ошибки, используя объединенную границу. Очевидная верхняя граница Р (и- 1) (аф~~т, где И~" — минимальное евклидово расстояние между сигнальными точками. Эта граница может бьггь неплотной, когда М велико.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
