Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Условную ФПВ р(г~з„) или некоторую монотонную функцию от ней обычно называют фУнкг1ией пРавдопадобиЯ. ПРавило Репнин, основанное на максимизации Р(г(зм) по всем ' Автор здесь и в даяьнейшем использовал термин с<критерий решения», который представляется не подходяшим (прп). М сигналам, называют правилом максимального правдоподобия 1МП). Видим, что детектор, основанный на правиле МАВ и тот, который основан на правиле МП, обеспечивают одинаковое решение при одинаковых априорных вероятностях р(з ), т.е при равновероятных сигналах (з„,) .
В случае АБГШ в канале функции правдоподобия р(г~з ) определяются (5.1.12). Для упрощения расчйтов будем использовать натуральный логарифм от р(г~з„,), который является монотонной функцией. Таким образом, 1пр(»1з„,) = --,' М!п(лМ,) — — ~ (»; — з„,„) . 15.1.40) о «»л 15.1.41) и характеристиками. Следовательно, для а правиле МП, сводится к нахождению тоянию к принимаемому сигнальному ло решения как на детектирование по а решения, основанного на правиле МП, метрик в (5.1.41): — 2г.з„+»з ,', л» =1,2..., М. 15.1.42) х метрик, и, следовательно, его можно не тат сводится к ряду модифицированных станционны Новый резуль 1'5.1.43) изирует Р'(г,з„), эквивалентен выбору -Р'(г,з ), т.е.
оторый миним ику С(г,з )= 2г-з,«-~з ! . екцию прин редачи сиги принятым т = 1,2 ..., имаемого вектора сигнала на сигнальные алов. Величина каждой такой проекции вектором и л»-м сигналом. Из этих М, корреляцио»»ными метриками для ередан. Наконец, слагаемые ~з„,~ = г„, ые слагаемые, которые служат компениями сигналов, такого, как при АМ. Если можно не учитывать при вычислении метрик Р(г,з„) или Р'(г,з„,).
Максимизация 1п р(г~ з„) по з„, эквивалентна нахождению сигнала з„„который минимизирует евклидово расстояние Р(г,з„,)= ~» (»„— з,) . 0(г,з„,), л» =1,2..., М, называют дистанционным ,':,":.. канала с АБГШ правило решения, основанное н ,,» .-, сигнала з„„который наиболее близок по расс вектору г. Мы будем ссылаться на это прави минимуму расстояния.
Другую интерпретацию оптимального правил можно получить путем раскрытия дистанционных з »» »» Р(г,з„,)«« „»», -2»»,з, +,» з, =~г! «1 «-~ г Слагаемое ~г~ — общее для всех ди учитывать при вычислении метрик. мстрик Р'(г,з )=-2г.з„, +~з«,~ . Заметим, что выбор сигнала з„„к -';- сигнала, который максимизирует метр С(г,з„) = (5.1.44) Слагаемое г з„, представляет про :::,.'-:::,векторы всех М возможных для пе ':.;:.является мерой корреляции между ::: соображений мы называем С(г,з„) ''решения того, какой из М сигналов был п ':;-' з»=1,2...,М можно рассматривать как порогов '-;,'::::,сацией для ансамбля сигналов с неравными энерг ! !2 ::.-все сигналы имеют одинаковую энергию, ~з„,~, ',.'::-..корреляционных метрик С(г,з ) и дистанционных лот Легко показать (см.
задачу 5.5)„что корреляционные метрики С(г,ьн) можно также выразить так: т С(г,ь„) = 2 ~ г(Г)ь„(т)сп -0„„т = О, 1,..., М, (5.1.45) Следовательно, эти метрики можно генерировать демодулятором, который определяет корреляцию принимаемого сигнала с каждым нз М возможных к передаче сигналов и устанавливает для выхода коррелятора вычитаемый порог в случае сигналов с неравными энергиями. Эквивалентно принимаемый сигнал можно пропустить через блок из М фильтров, согласованных с возможными к передаче сигналами (ь;„(г)1, и взять отсчеты в конце символьного интервала ~ = Т.
Следовательно, оптимальный приемник (демодулятор и детектор) можно выполнить по альтернативной схеме, показанной на рис. 5.1.9. ыясднос шелле Принимаемый снпмл гр) счет нмомспт(- Рнс. 5Л.9. Альтернатианая реализация оптимального приемника при АБГШ исляет .' '",.: '; ующий:-:,:!; Ф., ектор сигнал, ный ентно,! ), или,::-';!.' ожные:,:~ ятности:,:,::! ектора;;; Суммируя, можно сказать, что мы показали, что оптимальный МП детектор выч набор из М расстояний й(г,ь ) или В'(г,ьн) и выбирает сигнал, соответств минимальной (дистанционной) метрике.
Эквивалентно оптимальный МП дет вычисляет набор из М корреляционных метрик С(г,ь„,) и выбирает соответствующий наибольшей корреляционной метрике. В вышеприведенном исследовании оптимального детектора рассмотрен важ случай, когда все сигналы равновероятны. В этом случае правило МАВ эквивал правилу МП. Однако, когда сигналы не равновероятны, оптимальный МАВ дете основывает свои решения на вероятностях Р(ь„,~г), из =1,2..., М, даваемых (5.138 что эквивалентно, на метриках РМ(г,ь )= р(г~ьн)Р(ь ). Следующие примеры иллюстрируют эти расчеты для сигналов двоичной АМ. Пример 5Л.З. Рассмотрим случай двоичных сигналов АМ, когда две возм сигнальные точки равны ь, =-ьз = Д, где 8„— энергия на бит.
Априорные веро равны Р(ь,)=р и Р(ьз)=1 — р. Определим метрики для оптимального МАВ дет когда передаваемые сипилы искажаются АБГШ. 208 Вектор принимаемого сигнала (одномерный) для двоичной АМ равен г =+Я+ у„(Т), (5.1.46) :,:, .где у„(Т) — гауссовская случайная величина с нулевым средним и с дисперсией о.„' = —,' М,. Следовательно, условные ФПВ р(г1я ) для двух сигналов (г-Я)' 1 р(г~я,) =,— ехр /2яа„ (5.1.47) 2о,', (.+Я)' 1 р(г1я, ) =,— ехр с/2 ко„ (5.1.48) 2а„' : Поэтому метрики РМ(г,я,) и РМ(г,я,) равны РМ(г~я,) = р. р(г~я,) = ехр (г-Д) (5.1:49) 2о,, 1 р (г+Я)' РМ(г~я,)=(1 — р) р(г~я,)= ~ — ехр— (5.1.50) Если РМ(г,я,)>РМ(г,я ), выберем я, как переданный сигнал; в противном случае ';,„'внберем я, .
Такое правило решения можно выразить так: РМ(г„я,) (5.1.5 1) РМ г,я,) я, Но РМ(г,я ) р РМ(г я) 1 — р (.+Д)' (г-Д)' (5.1.52) 2о' что (5.1.51) можно выразить (+ так (5.1.53) г3фн, что эквивалентно, Г >1,2 1р., ! р а'г >-,'о' 1и — =-,'М 1и ":;;:;.' Это окончательная формула, определяющая оптимальный детектор. Она предполагает сление корреляционной метрики С~г,я,) = гЯ и ее сравнение с порогом ''Ф,1п((1-р)/р].
Рисунок 5.1.10 иллюстрирует две сиги значенный т„, делит вещественную ось на две облас 'аржит совокупность точек„которые превышают т„, а Аз ые меньше тя . Если г,Я > т„, вьшосится решение, что был передан сигнал я,, а если ' $ < т„— решение, что был передан сигнал я,. Порог т„зависит от У, и р. Если р = Ф, (5.1.54) альные точки я, и я,. Порог, ти, скажем Я, и К„где л, содержит совокупность точек, 209 то т„= О. Если р >-,', то сигнальная точка з, более вероятна и т, < О.
В этом случае область л, больше, чем Я„так что более вероятно выбрать решение з,, чем в,. Если Р <;1 — имеем противоположный случай. Таким образом минимизнруется средняя вероятность ошибки. Рис. 5Л.10. Представление лространства сигналов, иллюстрирующее работу онгимального детектора для двоичной АМ Интересно отметить, что в случае неравных вероятностей для вычисления порога необходимо знать не только априорные вероятности передачи символов, но н ! спектральную плотность шума Ув. Когда Р = т, порог нулевой, и знание М, не требуется.
Мы завершаем этот раздел доказательством того, что правила решения, основанные на правиле максимального правдоподобия, минимизируют среднюю вероятность ошибки, когда все М сигналов равновероятны. Обозначим через Я„, область в М-мерыом пространстве, в котором мы принимаем решение о том, что передан сигнал в„,(1), когда принят вектор г = [г; гт ...г„1.
Вероятность ошибочного решения при передаче в;„(1) равна Р(е)в„) = ~с р~г)ви)тИ, (5.1.55) где Яг - дополнение и' . Средняя вероятность ошибки ги И М Р( )=Х и~ЯВ)=~ и( Ий „)|й тй11 — 1 Р(Яь) О~ (5 156) Замечаем, что Р(е) минимизируется, если выбирается сигнал в„, в том случае, когда Р(г)в ) больше, чем р(г)в ), для всех и-ь Ф. Если М сигналов не равновероятны, вышеприведенное доказательство можно обобщить и показать, что правило МАВ минимизирует среднюю вероятность ошибки. 5.1.4. Последовательный детектор максимального правдоподобия.
Алгоритм Внтерби Если модулированный сигнал без памяти, то последовательный детектор„описанный в предыдущем разделе, является оптимальным в смысле минимизации средней вероятности ошибочного приема символов. С другой стороны, если передаваемый сигнал имеет память, " '. т.е. сигналы, переданные на последовательных сигнальных интервалах„между собой зависимы, оптимальный детектор — это детектор, который основывает свои решения на:1( ', наблюдении последовательности принимаемых сигналов на последовательных сигнальных интервалах.
Ниже опишем два различных типа алгоритмов детектирования последовательности символов. В этом разделе опишем алгоритм максимального правдоподобия для детектирования последовательности символов„который ищет минимум .",,! ' евклидова расстояния траекторий (путей) на решетке„которая характеризует память" переданного сигнала. В следующем разделе мы опишем алгоритм, который выносит '- 210 „=+Я +п„, (5.1.57) где и, — гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией гг" -= ЛЦ2.
Следовательно, условные ФПВ для двух возможных переданных сигналов равны 1 р(гг~ьг) =,— ехр ~/2 лгу„ 1 1г(гг~зг) = — — ехР с/2ягт„ (5.1.58) 2гт,, Теперь предположим, что мы наблюдаем последовательность выходов согласованных фильгров г, г; ...г.. Поскольку канальный шум считается гауссовским центрнрованным н белым, а сигналы г'(г — гТ), ф — уТ) ортогональны для г ~ 7', следует Е(гггг,) = О, Следовательно, шумовая последовательность и, и, ...и» также белая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
