Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Р4.32 4.33. Начиная с определения матрицы перехолных вероятностей лля молуляпии с задержкой, ленной (4.4.бб), покажите, что соотношение Р Р=-ар имеет место и, следовательно, Р~~р=-З~.Р р, кл!. 4.34. Два сигнала для передачи ЧМ с разрывом фазы определяются так зе(1)" ~ Т сЯ~2к~У'- 2 )1+ба 0<1<Т, ,(1) ~ — ~Ъ(У+ — ~11+0, ~ 0<1~ Т, где ф'= ЦТ«Г, и йя и О, — равномерно распределйнные случайные величины на интерваве (О, 2х). сигналы д,(1) и л~(1) имеют олинаковые вероятности. а) Определите спектральную плотносп мощности сигнала ЧМ Ь) Покажите, что спектральная плотность мощности уменьшается пропорционально 1/~ для Г» / ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИЕМНИКИ ДЛЯ КАНАЛА С АДДИТИВНЫМ БЕЛЫМ ГАУССОВСКИМ ШУМОМ В гл.4 мы рассмотрели различные методы модуляции, которые используются для -;:: передачи цифровой информации через канал связи.
Как мы видели, модулятор на передаче ':,':::-::.формирует способ отображения цифровой последовательности в форме канального , сигнала. Эта глава имеет дело с проектированием (синтезом) и характеристиками качества !,::-оптимальных приемников при различных методах модуляции, когда канал искажает '!;::-,:передаваемый сигнал посредством аддитивного гауссовского шума. В разд. 5.1 сначала ;:;,",рассматриваем сигнал модуляции без памяти, затем сигнал модуляции с памятью. В :.'. разд.5.2 оценим вероятность ошибки при различных методах модуляции. В разд.5.3 рассмотрим оптимальный приемник для сигналов МНгр и его характеристики качества.
В -~' рззд.5.4 обсудим оптимальный приемник, когда фаза несущей сигнала неизвестна на ';;. приемной стороне и она рассматривается как случайная величина. Наконец, в разд.5.5 -;:::, -обсудим использование регенеративных повторителей для передачи сигналов и выполним у анализ ресурсов линии связи с радиоканалом. ПТИМА.)ПзНЫЙ ПРИЕ ПОДВЕРЖЕННЫХ ВОЗДЕ АУССОВСКОГО ШУМА модели для сигнала на входе приемника. ровую информацию посредством М сигналов м с разработки математической жим, что передатчик передает циф =1,2...,М~. й сигнал передается на м интервале длительностью Т. ности рассмотрим передачу на символьном интервале редполагается, что канал гнал посредстпом аддитивгауссовского шума (АБГШ), на рис.
5.1.1. разом, принимаемый сигнал 0<! < Т можно выразить Клилл Передаваемый сигнал Принимаемый сигнал г(г)=л„(г)+яр) ш> л(г) Рис. 5.1.1. Модель принимаемого сигнала, прошедшего через канал с АБГШ г(1) = л„(Г) + гг(Г), означает реализацию АБГШ 0<г< Т, (5.1.1) со спектральной плотностью мощности ,!,::,,' Обычно а приемнике цифровой связи аыделяют демодулятор (пераую решающую схему) и декодер ;: (Ьтерую решающую схему). Здесь под приемником аатар подразумевает толька первую решающую схему, и -;-',яеисоабразность ее деления на демодулятор и детектор представляется спорной (прп). !97 5.1. О г Начне "',1 Предполо ;: (з.(7), лз ,:1:символьно ;;; Для конкрет ",'::;::информации '~'-:;:"6<1< Т.
П ;:;,.искажает си ,, кого белого ;„1ак показано Таким об ::- яа интервале '"„так ;,;г)1е л(г) МНИК ДЛЯ СИГНАЛОВ, ЙСТВИЮ АДДИТИВНОГО БЕЛОГО алиме «ня Принимаем сигнал г(!) а р)+но Рис. 5.12. Конфигурация приемника В следующих двух разделах описаны две реализации демодулятора сигнала. Одна основана на использовании корреляторов, вторая — на применении согласованных фильтров.
Оптимальный детектор, который следует за демодулятором, проектируется так, чтобы минимизировать среднюю вероятность ошибки. 5.1.1. Корреляционный демодулятор В этом разделе мы опишем корреляционный демодулятор, который разлагает принимаемый сигнал и шум на М-мерные векторы. Другими словами, сигнал и шум разлагаются в линейную взвешенную сумму ортонормированных базисных функций (~,(г)). Считается, что М базисных функций (~;,(г)) покрывают пространство сигналов так, что каждый из возможных переданных сигналов из ансамбля 1зм(1), 1 < ги < М~ может быть представлен как взвешенная линейная комбинация Яг)).
Для шума функции не покрывают все его пространство. Однако, как мы увидим ниже, компоненты шума, которые попадают вне пространства сигналов, не влияют на детектирование сигнала. Предположим, что принимаемый сигнал г(г) прошел через'параллельный блок из М взаимных корреляторов, которые вычисляют его проекции на М базисных функций (Дг)), как показано на рис.
5.1.3. Эти проекции равны )а г(г) ~'„(г)ей = )а [з„(г) + иЦ) Я)й, ~.„= з,м + ия, /г = 1, 2, ..., М, (5.1.2) где = ~ м(1)Дг)(г, ~=1,2,...,М, (5.1.3) и, = )а и(Г)~'„(1)й, /г = 1, 2, ..., М. Сигнал теперь представлен вектором ям с компонентами з;„„юг=1,2,..., М. Их величины зависят от того, какой из М сигналов был передан. Компоненты ((и, ~ являются случайными величинами, возникшими из-за присутствия адаптивного шума. Ф И= —,' М, Вт/Гц. Основываясь на наблюдении г(1) на сигнальном интервале, мы йл ЪР желаем найти приемник, который оптимален в смысле минимизации средней вероятности ошибки.
Удобно разделить приемник на две части: демодулятор сигнала и детектор — как показано на рис. 5.1.2. Функция демодулятора сигнала заключается в превращении сигнала г(1) в М-мерный вектор г =~5 га ... ~„~, где М вЂ” размерность переданного сигнала. Задача детектора-решить, основываясь на векторе г, какой из М возможных сигналов был передан. Л (г) г', ° 9» Принимаемый сигнал гл ! ориг г Рис. 5.1.3. Демодулятор по иорреляцггонной схеме (5.1.5) ый представляет частью„ которая м ниже, и'(г) не гм средним, котор м л(г) и той его ~,(г)) .
Как увнди е. Следовательно, +на, 1г =1г 2, ..., М решение можно (5.1.7) би„, . Следовательно. ные величины с ределяемые т-и о средними (5,1.8) 199 Ь Действительно, принимаемый сигнал «(г) на интервале О <1 < Т можно выразить так: и н и «(г) = ~~> л„„~;(г)+~~> п,~;(г)+л'(г) = ~~1 «„~'„(г)+и'(1). (5.1.4) а г lгм а! Слагаемое л'(г), определенное как Ф'„-' «г'(г) =~(1)- ««г„~Я), г;::.. является случайным гауссовским процессом с нулевь -'-:.-';:,:разницу между действительным шумовым процессо -::;.::! Соответствует проекции л(Г) на базисные функции [ :;„влияет на качество решения о переданном сигнал :;:.:,,',:: ссделать, основываясь на выходах корреляторов « = з„,„ Поскольку сигналы [я„(г)) детерминированы, то сигнальные компоненты ь „ „;:.,-;:-детерминированы.
Компоненты шума (гт, ~ гауссовские, их средние значения равны Е(иа) = [' Е[~(г)~у;(г)й = О (5.1.б) ::;.':::::;:для всех гт. Их коварнации (в том числе дйсперсии) равны Е(л,л„) = ~ )а Е[л(г)л(т)~~а(г)~„',(т)сЫс = 4' а Мр)а ~ Ф т)Гл(г)ги(т)мггат а Ма 1а /а(г)у (т)Н1 — *Ф Мр Х Где Ь„, =1, когда т = 1г, и равно нулю, если это условие не выполняется '1:::.1,:М шумовых компонент (п,~ — некоррелированные гауссовские случай 3;:, 3,.';:--',::::::,„пулевыми средними и одинаковой дисперсией о.,', = 3, М,. Из вышеизложенного следует, что выходы корреляторов («а), оп -'-;::,:: переданным сигналом, являются гауссовскими случайными величинами с Е(«) = Е(л„а + «г,) = з ;.': я одинаковыми дисперсиями (5.1.9) Поскольку компоненты шума (лД являются некоррелированными гауссовскими случайными величинами„они также.
статистически независимы. Как следствие, выходы корреляторов (гД, определяемые переданным гл-м сигналом„— статистически независимые гауссовские случайные величины. Следовательно, условные плотности вероятности случайных величин (г1 г, ...ги|= г равны р(г~ зи) = П р(г, ~з, ), т = 1,2,..., М, (5.1.10) где и 1г = 1,2,..., М. (5.1.11) О р(гь(з„я) = -г= — ех Подставив (5.1.11) в (5.1.10), получим совместную условную ФПВ 1 р(г)ю )=,,и„ехр (~М,) я=1,2,...,М. (5.1.12) В заключение покажем, что выходы корреляторов 1г„г2, хм) являются достаточной статистикой для принятия решения о том, какой из М сигналов был передан, т.е.
что никакая дополнительная полезная информация не может быть извлечена из остаточного шумового процесса и'(г). В самом деле, процесс гг(1) не коррелирован с М выходами корреляторов (г„), т.е. Е(п'(1)г,) = Е(н'(г))з + Е(п'(~)и,) = Е~и'(~)н ~ = (5.1.1 3) =Д-М,аг)-ФМ,Ф) =0 Поскольку гг(г) и (~;) являются гауссовскими и некоррелированными, они также статистически независимы. Следовательно, гг(г) не содержит информацию, которая касается вопроса о том, какой сигнал передан. Вся относящаяся к делу информация находится в выходных данных коррелятора (г,) . Следовательно, гг(1) можно пренебречь. Пример 5.1.1. Рассмотрим М-позиционный ансамбль базовых сигналов, в котором огибающая базового импульса Е(1) прямоугольная, как показано на рис. 5.1.4. Адцитинный шум — белый гауссовский шум с нулевым средним. Определим базисную г ', функцию г (1) и выход демодулятора корреляционного типа.
а П, Рис, 5.1.4. Сигнальный импульс для примера 5.1.1 Энергия прямоугольного импульса равна ж;,=~Е'()ж=~ 'а=~т. Поскольку ансамбль А1у1 сигналов имеет размерность М = 1, есть лишь одна базисная ."," -", функция Я1) . Она определяется так 2ОО 5.1.2. Согласованный Вместо использования ;- можем применить набор импульсная характеристик ',':":: тле (('„(г) ~ — Л базисных фильтр кяк демодулят набора из М коррелят нз М линейных фильтр а фильтров такова: Ь„(г) =Я,(Т вЂ” г)„0<г < функций, и Ь,(г)=0 ор оров для генерирования величин (г) мы ов. Для конкретности предположим, что (5.1.1 4) Т, вне интервала 0<г < Т.
Выходы этик ".- фильтров равны у,(г) = ~г(т)Ьь( Взяв отсчет выхода в т г-т)Ж = ~г.(т)~ЯТ-г+ очке г = Т, получим У~(Т) — ~ 3'(т)Та(т)ггт— фильтров в точке ~ = ыходе М линейных 1) =з(Т вЂ” г), где з(г) пр сованнылг фильтром для т)аь;, Ь = 1,2,..., М. (5.1.1 5) г„Ь =1,2,...,М. (5.1.16) Следовательно, отсчет .; ггг), полученных на в Т точно определяет ансамбль величин корреляторов. Фильтр, импульсная '.
характеристика которого Ь( ,--'- 0 < ~ < Т, называется савла едполагается заключенным в интервале сигнала а(г) . Пример сигнала и импульсной „: характеристики согласованного с '-!!)в1м фильтра показан на рис. 5.1.5. Ф Цг)=з(7'-0 Рнс. 5.1.5. Сигнал а(0 (а) н импульсная характернспгьа фнль1ра, согласоаанного с а(г) (Ь) 20! /1/,~т (0<т~Т), 3а Т ~0 (для других г). Выход демодулятора корреляционного типа равен г)Я)гй = ~~ ~ «Ягй. Интересно отметить, что когда ~(г) — прямоугольная функция, коррелятор оказывается простым интегратором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
