Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Бели подставим выражение для г(г), получим =+(11.(а+нл1а) =+[(,.и а+ 1 4ю) а~. г=я +и, где для шумового слагаемого Е(п) = 0 и ,',= Я1 мА н2 =А(1 л[ьмн1аь= = э2а ~ ~ б(1 — т)гЬЖ = а М,. ФПВ для выходного отсчета равна Г (г-..)1 р(г1в„,) =,— — ехр~— э/~яМа ( Мо у1й =~,гЯАТ-!+т Г1т г(Т) Заметим, что автокорреляционная функция у(1) является четной функцией Г и имеет пик в точке 1 = Т. В случае демодулятора, описанного выше, М согласованных фильтров согласованы с базисными функциями Д1) . Рис.5.1.7 иллюстрирует демодулятор па согласованных фильтрах, который выдает наблюдаемые величины (г,) .
гг Рис. 5.1.б. Отклик согласованного фильтра определяет автокорреляционную функцию я(Г) г, Приии сипил гЩ г, ° ° ° Ф ° Ф Отсчет в момент гг меет ряд интересных т в следующем: если нный с сигналом 4),,:;:,'. ';.'-'' Рис. 5.1.7. Демодулятор на основе согласованных фильтров Свойства согласованного фильтра. Согласованный фильтр и свойств. Докажем наиболее существенное свойство, которое состои сигнал 41) подвергается воздействию АБГШ, то фильтр, согласова максимизирует на выходе отношение сигнал / шум (ОСШ). Чтобы доказать зто свойство, предположим, что принимаемый сигнала 41) и АБГШ п(1) с нулевым средним и спектральной Ф,„,И= —,' Мс Вт /Гц.
Предположим, что сигнал г(г') прошел чере характеристикой Л(г), О < Е < Т, и берется отсчет на выходе в точке на сигнальную и шумовую компоненту равен р(Е) = ~г( )7~(1- )Е1т= ~ ЩГ- )т~т+ ~ ( )Цà — )с1т. В точке отсчета г = Т сигнальная и шумовая компоненты равны сигнал г(г) состоит из плотностью мощности з фильтр с импульсной::,.:,' я!!::, г = Т. Отклик фильтра ';; (5.1.18) 202 Отклик фильтра на сигнал л(г) равен у(1) = ~а(т)г(Т вЂ” Г+т)йс, (5.1.17) что по определению является временной автокорреляционной функцией сигнала л(Е) Рисунок 5.1.6 иллюстрирует у(г) для треугольного импульса, показанного на рис. 5.1.5, гь (5.1.22) у(Т) = [~ь(т)Л(Т-т)(й+ ~ л(т)Л(Т вЂ” т)Ж =у(Т)-( у(Т), (5.1.19) где у»(Т) представляет сигнальную компоненту, а у»(Т) — шумовую компоненту.
Задача сводится к выбору импульсной характеристики фильтра, который максимизирует на выходе отношение сигнал / шум (ОСШ), определяемое так: у,'(Т) ОСШ (5.1.20) Знаменатель в (5.1.20) определяет дисперсию шумовой компоненты на выходе фильтра. Определим Е[у,;'(Т)], т.е. дисперсию выходного шума. Имеем Е[у,',(Т)1= [ )о Е~и(т)и(~)1Л(Т вЂ” т)Л(Т-1)аИт = (5.1.21) =, Ц(), ~ ® — )ЖТ вЂ” )Л(т-даж=~Ц~,Л'(Т- )(Л. Заметим, что зта дисперсия зависит от спектральной плотности шума на входе и ';;-" энергии импульсной характеристики Л(г) .
Подставив у,(Т) и Е[у,',(Т)] в (5.1.20), получим »:,.':;;:.:. для ОСШ на выходе фильтра выражение [1,(,(((т-,)» ]' [1'((,(мт-,)»,]' ОСШО = г г -~ц~,Лз(Т-Ы 4-ц~ Л'-(Т-да Так как знаменатель в ОСШ зависит от энергии Л(г), максимум ОСШ по Л(~) можно :""яолучить максимизацией числителя в предположении, что знаменатель фиксирован. "';"-Максимизация числителя выполняется легко использованием неравенства Коши — Шварца. .,,'» '=;-'-((второе в общем гласит, что если дф) и у,(~) — сигналы с ограниченной энергией, то ~2 ) ~,йд,(г)й~ < ~ Д4)(й~ ~,'(г)(й (5.1.23) -:сравенством, когда дф) = Сд,(~), С вЂ” произвольная константа. Если положим й((() =Л(с) ,,(я» у,(1)=з(Т-[), то ясно, что ОСШ максимизируется, когда Л(г) = ЯТ-г), т.е, Л(~) '"!'~!ргласовано с сигналом з(г) .
Константа С- не входит в ОСШ, так как она одновременно ':.~()р(исугствует в числителе и знаменателе. Выходное (максимальное) ОСШ, получаемое при .»~1((мощи согласованного фильтра, равно ОСШ, = +~';"(1)а = т~1 Ц. (5.1.24) о :".!~:,':,:.,Заметим, что выходное ОСШ у согласованного фильтра зависит только от энергии '~циала 4(), но не от детальных характеристик з(Г). Это другое интересное свойство 'с(юцеованного фильтра. :~-:-'$йтерпретация согласованного фильтря в частотной области. Согласованный ' ьтр"имеет интересную интерпретацию в частотной области. Поскольку Л(г) = ь(Т- ~), разование Фурье такого сигнала % ф)= 1 (т-~)~»»а-[1»(.»' » ]»'"=л(У), '». Рз л) ;,:::,Видим, что согласованный фильтр имеет частотную характеристику, которая лексно сопряжена с частотной характеристикой сигнала, и множитель е''~ .
203 В точке г= Т имеем у„(т) = ( ~ЯЯ ор'= ( з'(Г)о(1=8 (5.1.27) причем последний шаг преобразования следует из соотношения Парсеваля. Шум иа выходе фильтра имеет спектральную плотность мощности о(Х) =Ф(4'Уо (5.1.28) Следовательно, суммарная мощность шума на выходе согласованного фильтра Р,= ~ Фо(Х)4 =1Уо~ ~УК~ 4 =оУо~ ~~(У~ 4'=~8Уо (5129) Выходное ОСШ равно отношению мощности сигнала Р, Р„=у,'(т) =Ф (5.1.30) к мощности шума Р„. Следовательно, Р, о" ОСШ = — '=, =28/У, о — Р ~, у — о о' о что совпадает с результатом (5.1.24). Пример 5.1.2. Рассмотрим М = 4 биортогональных сигналов для передачи информации по каналу с АБГШ. Два сигнала из этого ансамбля с положительной полярностью показаны на рис. 5.1.8,а.
Считается, что шум имеет нулевое среднее и ! спектральную плотность мощности —,У,. Определим базисные функции для этого ансамбля сигналов, импульсную характеристику согласованного фильтра в качестве демодулятора и выходной сигнал согласованного фильтра-демодулятора, когда передан сигнал ф). Ансамбль из М.= 4 биортогональных сигналов имеет размерность У = 2. Следовательно, требуются две базисные функции для представления сигналов. Согласно рис.
5.1.8 выберем зти базисные функции Дг) и ~;(г) так: (),~'2(т 0<г~о Т, 1 О (для других г), (5.1.32) (Дт ',т«<т, .о(~)=~ ~ 0 (для других г). Эти два сигнала иллюстрируются рис. 5.1.8, а. Импульсные характеристики фильтров, согласованных с этими сигналами, равны (5.1.31) 304 который определяет задержку сигнала на Т. Другими словами, ~НЯ=~ЯЯ, так что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра идентична амплитудно- частотной характеристике сигнала. С другой стороны, фазовая характеристика ц(~) противоположна по отношению к фазочастотной характеристике сигнала Я(~) . Если сигнал со спектром Я(~) проходит через согласованный фильтр, то отклик 112 1з.хг фильтра на этот сигнал имеет спектр ф)=~ф~ е' '~ .
Следовательно, сигнальная составляющая на выходе фильтра У,(Г) = ) у()")е' "~'оф = ) ~ЯЯ е "'~ге'о"~'ф'. (5.1,2б) ~/21Т (гс) а та т зта о та т зта сс,(с)=У(Т-О от ' , ГЛ о тп т зтп о тп т зтп ф у„(с) 1' у (с) /41Т/2 С Ытп ~~ (с) — — — †» ' — -" --- - -- — -- о тп т зтп о та т зта Рис. 53.8. Базисные функиин и отклики согласованных фильтров на сигнал гс(с) А1",(с) ллв примера 5Л.2 ых фильтров у„(() и у„(с) (без ку берутся отсчеты выходных Т„а у,,(Т)=О.
Заметим, что (5.1;34) ходе согласованнь)х фильтров, (5.1.3б) 205 ~,~г~т -')Т< с < Т, ~ О (для других г), (5.1.33) Щт О<г<ЬТ, 6,(с) = ~т(Т-с) = О (для других 1). ,()-,( )-~ Они иллюстрируются на рис. 5.1.8, Ь. Если передан хс(с), то сигналы на выходе согласованн ' л(умов) имеют вид, показанный на рис.
5.1.8, с. Посколь ",,снгналов в точке с=Т, то видим, что у„(Т)=~1-,'Ат Ф'с 3 '„",". -„А Т = и — это энергия сигнала. Вектор сигналов, формируемый на выходе согласованных ';.'фсяльтров в точке г = Т, равен г=1гс г,»=(св.+ис сс,», ;,'-тле и, = у„,(Т) и ле = у,„(Т) — шумовые компоненты на вы ::,определяемые так: у„,(Т) = ~ л(М(г)сссс, 1г =1, 2. (5.1.35) Ясно, что Е(л, ) = Е(ус„(Т)» = О. Дисперсии шумовых компонент на выходе фильтра гт„= Е(у „(Т)» = ~ ~ Е(сь(г)сс(т)1т (с)~„(т)йс1сг = ='-ж,~ ~ 8( — У(г)~(т)М =~ц~'фг)М==.'с)с,. Видим, что ОСШо для первого согласованного фильтра Р, ( 1'Л) ОСШ, = — '= —,. = 28~М„ (5.1.37) о р сл1 ' в что совпадает с нашим предыдущим результатом.
Заметим также, что четыре возможных выхода двух согласованных фильтров, соответствующих передаваемым сигналам, равны (гг,гг)=(<гго+п„пг), (п„Я+па), (-Л+п„пг) и (и„— ггй ьпг). 5.1.3. Оптимальный детектор Мы показали, что при передаче сигналов через канал с АБГШ демодулятор на основе корреляционной схемы или на основе согласованных фильтров выдает вектор г = [г! г, ...г„], который содержит всю доступную информацию о принимаемом сигнале. В этом разделе мы опишем оптимальные правила решения, основанные на наблюдаемом векторе г.
Предположим, что сигналы, передаваемые на последовательных сигнальных интервалах, не имеют памяти. Мы желаем синтезировать детектор сигнала, который выносит решение о передаваемом сигнале на каждом сигнальном интервале, основываясь на наблюдении вектора г в каждом интервале, .так, чтобы максимизировать среднюю вероятность ! правильного решения. С этой целью рассмотрим правило решения, базирующееся на вычислении апостериорных вероятностей Р(з„,)г), т=1,2..., М, и на выборе сигнала, соответствующего максимуму ряда апостериорных вероятностей ( Р(з„,~г)] .
Позже покажем, что это правило максимизирует среднюю вероятность правильного решения н, следовательно, минимизирует среднюю вероятность ошибки. Такое правило решения названо правилом максимума апостериорной вероятности (МАВ). Используя правило Байеса, апостериорную вероятность можно выразить так: 4 »,1Р<.г р() (5.1.38) где р(г)з„) — условная ФПВ наблюдаемого вектора при передаче з, а Р(з„) — вероятность т-го передаваемого сигнала. Знаменатель (5.1.38) можно выразить так: р(г) =,,'> р(ггз„,)Р(з„). (5.1.39) и ! Из (5.138) и (5.1.39) видим, что вычисление апостериорных вероятностей Р(з 'гг) требует знания апрггорньп вероятностей Р(з ) и условных ФПВ Р(з ~г) для т =1,2..., М.
Некоторое упрощение имеет место прн использовании правила МАВ, когда М сигналов имеют одинаковую априорную вероятность, т.е. Р(з„,) = 1/М для всех М. Более того, заметим, что знаменатель (5.1.38) не зависит от того, какой сигнал передается. Следовательно, правило решения, основанное на нахождении сигнала, который макснмизирует Р(з„,~г), эквивалентно в рассмотренном случае нахождению сигнала, который макснмизирует р(г~з„) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
