Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 54
Текст из файла (страница 54)
4,5 4 3,5 2,5 2 1,5 1 О,5 О 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 А' Рис, 5.42. Графнк Уа(х) Мы видим, что вычисление отсчетов огибающих принимаемого сигнала на выходе демодулятора делает фазу сигнала не относящейся к делу при решениях о том, какой сигнал передавался. Эквивалентно решение можно сделать на основе квадратов огибающих г,', + г,', и г,', +г,',.В этом случае детектор называется квадратичньии. Двоичные сигналы ЧМ являются примером двоичных ортогональных сигналов. Напомним, что в двоичной ЧМ мы используем две различные частоты, скажем ~, и ~,=Л+ф'. Выбор минимального разноса частот Л~=~,— ~ рассматривается ниже. Таким образом, эти сигналы можно выразить так: Ф)=~%~тьсоз2~Ю О-1~Т., Щ = ~2$7Т созе' 1, О ь 1 ~ Т„ (5.4.22) и их эквивалентные низкочастотные представления ~(1) =,/г~7т„о <1< т„ Щ) =,фЯе" ~', О<г<Т,.
Принимаемый сигнал можно записать так: г(1) =,Я7т, соа(2ку„1+ф )+ н(1), (5.4.24) где ф — фаза частоты несущей ~„. Демодуляцию вещественного сигнала можно выполнип как показано на рис. 5.4.3, посредством четырех корреляторов с базисными функциями: (5.4.23) Х,.Е =ПЯТ со ~ (г) = ДГт, я (А; + 2ктЬ~Я 'уф; + 2~ииЛ ~Ц т=о, 1, (5.4.25) гоп=о, 1. Четыре выхода корреляторов стробируются в конце каждого сигнального интервала и поступают на детектор. Если передается т-й сигнал, четыре отсчета у детектора можно выразить так: со 2х(к-т)Л1" Т -1, г Ь-)5.ут г Н- )хат +и, й,т=1,2, 27Цс — т)Ь~Т " 2я(lс-т)Ь~Т (5.4.26) где и, и и„- гауссовские шумовые компоненты в выходных отсчетах, 17* Отсчет г=Т Рис.
5.4.3. Демодуляция и квадратичное детектирование двоичных сигналов ЧМ Видим, что, когда ~г = и; отсчетные значения детектора равны г = Д', созф„+и, (5.4.27) г =.Дз1пф +и . Далее видим, что, если я -ем, сигнальные компоненты в отсчетах г, и г„, исчезают, независимо от величин сдвигов фаз фв, обеспечивая разделение частот при Л Т = 1I Т. В этом случае два других выхода корреляторов состоят только из шума, т.е. г, =и„, г =ц„, Ф~т. (5.4.28) С частотным разносом Л Т = 1/ Т отношения (5,4,27) и (5.4.28) согласуются с прежним результатом (5.4.25) для выходов демодулятора. Следовательно, делаем заключение, что при детектировании огибающей или при квадратичном детектировании сигналов НМ минимальный разнос частот, требуемый для ортогональности сигналов, равен Л Т = 11 Т Этот разнос вдвое больше, чем в случае когерентного детектирования. 5.4.2; Оптимальный прие*мник для М-позиционных артогональных сигналов Обобщение оптимального демодулятора и детектора на случай М-позиционных ортогональных сигналов очевидно.
Положим, что сигналы равновероятны и с одинаковой энергией, и представим их так: вч(г) =Ке(ь; (г)е' '~'], и= 1„2,,М, 0«г «Т, (5429) где в„,(Й вЂ” эквивалентные низкочастотные сигналы. Оптимальный демодулятор по корреляционной схеме или с согласованными фильтрами образует М комплексных случайных величин: и =г +у =) ~;(1)з, (~)оФ, на=1,2,...,М, (54,30) где гф) — эквивалентный низкочастотный принимаемый сигнал. Тогда оптимальный детектор с учетом равномерно распределенной фазы несущей вычисляет М огибающих: ~г ~ = Г2+ г2 тл = 1 2, М (5.4.31) нли, что эквивалентно, квадраты огибающих ~г„~ и выбирает сигнал с наибольшей огибающей. В частном случае М-позиционных ортогональных сигналов ЧМ оптимальный приемник имеет структуру, показанную на рис.
5.4,4. Пряхи маомыи Выход рощщощего виска ~ Отсчат Рие. 5.4.4. Демодуляция М-ичиых сигналов ЧМ ири иеаотереитиоы детектировании 261 Здесь имеются 2М корреляторов: два для каждой из возможных к передаче частот. Минимальный разнос между соседними частотами для обеспечения ортогональности равен Ь 1" =1/ Т. 5.4.3. Вероятность ошибки при детектировании огибающей для М-позиционных ортогональных сигналов 1 Рассмотрим передачу М ортогональных сигналов равной энергии по каналу с АБГШ с детектированием огибающей в приемнике.
Мы также предположим, что М сигналов априорно равновероятны и что сигнал з,(г) передается на интервал 0 < 1 ь Т. В качестве М решающих метрик на входе детектора используются М огибающих: Ц= (('г„' +г', т= 1,2,...,М, (5.4.32) гм = Д созф, + и„, (5.4 33) гм=Д з1пф, +иго г =и, г =и, т=2 З,...,М. (5.4.34) Компоненты аддитивного шума (и ) и (и ) — взаимно статистически независимые гауссовские величины с нулевым средним и одинаковой дисперсией а' =т У,, Таким образом, ФПВ для случайных величин на входе детектора равны (5.4.35) (5.4.36) Сделаем замену переменных в совместных ФПВ, определяемых (5.4.35) и (5.4.3б).
Определим нормированные величины (5.4.37) Ясно, что г = аА созО„и г = аА„япО„. Якобиан этого преобразования асозО азшО„ — аА„яп О аА„созО Следовательно, р(А„О,)= — 'ехр -- А,'+ь У, — ьА, (5.4.39) ' Дла полосовмх сигналов нмеетсл в внду ортогональность в уснленном смысле (прп). р(А,О )=~ехр( —,А„'), т=2,3,...,М. (5440) В заключение при усреднении р(А„,О„) по О„множитель 2н исключается из (5.4.39) и (5.4.40). Таким образом находим, что А, имеет распределение Райса, а А„, т = 2,3,..., М, имеет распределение Релея.
Вероятность правильного решения определяется вероятностью того, что А, >А, и А, >А, ... и А, >А . Следовательно, Р.=ф,<Л„А,<Л„...,Л„<А,)= (5.4.41) = ) Р(А, А„Л, < Л„...,Л Л,1/г, = х)р„(~)асс. Поскольку случайные величины Л„, из = 2,3,..., М, статистически независимы, совместная вероятность в (5.4.41) определяется произведением М-1 идентичных членов: Р.=ЦР~А, <Л,)Л,= )] р (~)с/х, (5.4.42) где е = ~~-ц( ) р[-~], р14п где 6/'М, — ОСШ на символ. Тогда вероятность ошибки на символ Р,„=1- Р, равна' .. = Х~- г ( „') „,',- [-~",~-~. (5.4.4б) где Еь//1/о — ОСШ на бит. Для двоичных ортогональных сигналов (М = 2) (5.4.46) приводится к простому виду Р =';е ал"' (5.4.47) Для М > 2 мы можем вычислить вероятность ошибки на бит, используя соотношение 2ь-$ Р= — Р, ь 2й 1 м (5.4.48) которое было установлено в разд. 5.2.
Рисунок 5.4.5 показывает вероятность ошибки на бит как функцию ОСШ на бит у„для М=2, 4, 8, 1б и 32. Для случая когерентного детектирования М-позиционных ортогональных сигналов (см. разд. 5.22) мы видели, что для любой заданной вероятности ошибки ОСШ на бнт уменьшается по мере роста М В гл. 7 будет показано, что в пределе, когда М-+ со (или /г =1ой, М -+ о), вероятность ошибки на бнт Р„можно сделать сколь угодно малой при условии, что ОСШ на бит превышает предел Шеннона — 1,б дБ. Цена роста М вЂ” увеличение полосы, требуемой для передачи сигнала. Для М-позиционной ЧМ разнос частот между соседними частотами равен Л /' = 1/ Т для ортогональности сигналов. Полоса частот„требуемая для М сигналов, 1т'= МЛ /' = М/ Т.
Таким образом, битовая скорость Л = /г/7', где й = 1оц, М. Следовательно, отношение битовой скорости к полосе равно Л 1ОЯ М 1т" М (5.4.49) Р~Лз < А,~А~ "х) = 3 рл, Яс3т~ =1 — е "' . (5.4.43) Степень М вЂ” 1 от (5.4.43) можно выразить, пользуясь биномом Ньютона, так: (1 -х~/т) ч ~~( 1)п -лксм (5.4.44) ь=п п Подставив этот результат в (5.4.42) и интегрируя по х, получаем для вероятности правильного решения ' Зтот результат впервые получил Л.М. Финк в 1957 т.
123] (прп). 10-' М 10 з и и 5 3 8 10-4 10-б 2 4 б 8 1О 12 ОСШ ни бнт, ти дБ Рис. 5.4.5. Вероятность ошибки на бнт для неногерентного дстектирования ортогональных сигналов 5,4.4. Вероятность ошибки дли коррелированных двоичных сигналов при детектировании огибающей В этом разделе рассмотрим качество детектора огибающей для двоичных коррелированных сигналов равной энергии. Если два сигнала коррелированы, на вход детектора поступают комплексные величины, определенные (5.4.10). Предположим, что детектор выносит свои решения на основе огибающих 1г1~ и Ц, которые теперь коррелироваиы (статистически зависимы). Собственные ФПВ для А, =Ц и А, =~1;~ распределены по Райсу, и их можно выразить так: Я ( Я',+ф') (д $,) ( ) 0 1А <О), нг = 1, 2, где ~3, = 2о и 13 = 2о1р~ получены в предположении, что был передан сигнал я,(г) .
Поскольку А, и А, статистически зависимы, как следствие неортогональности сигналов, вероятность ошибки можно найти, вычислив двойной интеграл Р, — Р(А, > А,) — ) ~ р~хнх,)г1хф~я, (5.4.51) 2б4 где р(х,,хв) — совместная ФПВ огибающих Л, и Л,. Это исследование было впервые выполнено Хелстромом (1955), который определил совместную ФПВ Л, и Л, и рассчитал двойной интеграл в (5.4.51).
Альтернативный подход базируется на наблюдении, что вероятность ошибки можно выразить так: Но Л, — Л, — это частный случай общей квадратичной формы комплексных гауссовских случайных величин„рассмотренных в приложении В. В этом частном случае вероятность ошибки можно выразить в виде Рь = Я(а, Ь) — ~е ~" " ~ 'У,(аЬ), (5.4.53) (5.4.54) 04(а,Ь) — это 0-функция Маркума, определенная (2.1.123), и 1,(х) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Вероятность ошибки Рь иллюстрируется на рис.
5.4.б ОСШнвбнт, ть,дБ Рис. 5.4.6. Вероятность ошибки для некогерентного детектирования для нескольких значений ~р~. Вероятность Р„минимизируется, когда р=О, т.е. когда сигналы ортогональны. В этом случае а = О, Б = /Еь Я, „и (5,4.53) дает Д О 7 о (5.4.55) 265 1О-ь И 3 1ОЙ д 1О-' еь Л = Р(Л, Л) = Л(Л- ~~в) = Р(Л4-Л' О) (5 4.52) 8 9 1О 11 12 13 14 15 16 17 18 Из определенмя функции 0,(а, Ь) в (2.1.123) следует, что О,, О, — =е'" Подстановка этих отношений в (5.4,55) дает желаемый результат, определенный ранее (5.4.47). С другой стороны, если р~=-1, вероятность ошибки в (5.4.53) получается, как и ожидалось, (; =- а.
5.5. РЕГЕНЕРАТИВНЫЕ ПОВТОРИТЕЛИ И АНАЛИЗ РЕСУРСОВ ЛИНИЙ СВЯЗИ При передаче цифровых сигналов через канал с АБГШ мы наблюдали, что качество системы связи, измеряемое вероятностью ошибки, зависит исключительно от принимаемого ОСШ, аь/Ме, где бь — передаваемая энергия на бит, и фФа — спектральная плотность мощности аддитивного шума. Таким образом, аддитивный шум ограничивает качество систем связи. В дополнение к аддитивному шуму другой фактор, который влияет на качество систем связи, это затухание в канале. Все физические каналы, включая проводные линии и радиоканалы, вносят потери.
Следовательно, сигнал ослабляется прн прохождении через канал. Для канала можно использовать простейшую математическую модель ослабления, показанную на рис. 5.5.1. Следовательно, если передан сигнал а(1), то принимаемый сигнал при О < и < 1 равен гК =- сез(>) + л(1) . (5.5.1) Ослабление а Шум КО Рнс. 5.5.1. Математнческаа молсаь нан ша с ослаблением н аалнтнаным шумом 5.5.1. Регеиеративиые повторители Любой регенеративный повторитель содержит демодулятор/детектор, которьш демодулирует и детектирует переданную цифровую информационную последовательность, отправленную предыдущим повторителем. С выхода детектора последовательность зб(! Затем если энергия переданного сигнала 'аь, то энергия принятого сигнала и й .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
