Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 140
Текст из файла (страница 140)
Эту функцию существенно проще определить через характеристическую функцию у . Сначала заметим, что при 1=1 у, гау, имеет хи-квадрат плотность вероятности, определенную (14.3.5). Характеристическую функцию у, легко найти тр 1ут)=Е(е~')= (14.4. 10) ~а где у,- среднее значение ОСШ на канал, которое считается одинаковым для всех каналов.
Это значит, что у.=~ Ф:) (14.4.11) о независимо от к. Это предположение используется для всех результатов этого раздела. Поскольку замирания по всем Ь каналам статистически независимы, (7,) статистически независимы и, следовательно, характеристическая функция суммы равна результату (14.4.10) в А-й степени, т.е. 1 (14.4.12) 1-./оу.)' Но эта характеристическая функция случайной величин с хи-квадрат распределением с 2А степенями свободы. Из (2.1.107) следует, что ФПВ р(у,) равна 1 (14.4.13) (~-1) у,' Заключительная ступень расчета сводится к усреднению условной вероятности ошибки (14.4.8) по статистике замираний, т.е.
к вычислению интеграла. ~з =~ ~г(уь)РЬьМь ° (14.4.14) Имеется замкнутая форма решения (14.4.14), которую можно выразить так (14.4. 15) где по определению (14.4.1б) Когда средняя ОСШ на канал у. удовлетворяет условию у, »1, слагаемое 2 (1 т1т) ~ 1, а слагаемое Я1- р) 1/4у..
Далее ьч А-1+1 2Ь-1 (14.4.17) Следовательно, когда у. достаточно велико (больше 10дБ) вероятность ошибки (14.4.15) можно выразить так (14.4.18) Из (14.4.18) мы видим, что вероятность ошибки меняется как 1/у. в степени Ь. Таким образом при разнесении вероятность ошибки уменьшается обратно пропорционально А-й степени ОСШ. 43-5б Получив вероятность ошибки для двоичной ФМ при разнесении, теперь обратим наше внимание на двоичную ортогональную ЧМ при когерентном детектировании. В этом случае, две величины для решения на выходе сумматора максимальных отношений можно выразить так У, = Ке 2И,'),и, + ~~! и„11!'„ ь.! ь-! /ь У, = Ке~~!х„М„., ь=! (14.4.
19) (14.4.22) !!=!!~~12!!,~" +!!„)1!В~~" гл;,)~, (!44!!! ьы! 674 причем мы предположили, что был передан сигнал .л„!(с), а (Мц1 и (М„~ являются двумя ансамблями шумовых компонент на выходе согласованных фильтров. Вероятность ошибки равно вероятности того, что У, >У!. Этот расчет подобен расчету для ФМ, исключая того, что мы теперь имеем удвоение мощности шума. Следовательно, когда 1а ) фиксированы, условная вероятность ошибки равна для ЧМ Р,(у.) = аК) (14.4.20) Используем (14.4.13) для усреднения Р,(у,) по статистике замираний. Не удивительно. что мы найдем, что результат (14.4.15) остается в силе с заменой у, на ":у,.
Т.е., (14.4.15) определяет вероятность ошибки для двоичной ортогональной ЧМ при когерентном детектировании с параметром 1!, равным Р= (14.4.21) у 2+у, Ддлее, для больших значений у. вероятность Р, можно выразить так '-(4'(" ') Сравнивая (14.4.22) и (14.4.18), видим, что разница в 3 дБ по ОСШ между ФМ и ортогональной ЧМ при когерентном детектировании„существующая в канале без замираний и без рассеяния, остается такой же в канале с замираниями. В проведенном выше обследовании двоичных систем ЧМ и ФМ при когерентном детектировании, мы предположили, что на приеме используются свободные от шума оценки комплексных канальных параметров ~х,е '~').
Поскольку канал меняется во времени параметры ~х,е лв ~ нельзя оценить точно. Действительно, в некоторых каналах изменения во времени могут быть достаточно быстрыми и препятствовать применению когерентного детектирования. В этом случае мы рассмотрим использование либо ДФМ или ЧМ с некогерентным детектированием. Сначала рассмотрим ДФМ. Чтобы использовать ДФМ изменения в канале должны быть достаточно медленными для того„чтобы фазовые сдвиги (ф,) не менялись заметно на двух соседних сигнальных интервалах. В нашем анализе мы предположим, что канальные параметры ~х,е '~') остаются постоянными на два соседних сигнальных интервала, Таким образом сумматор для двоичных ДФМ выдает на выходе величину для решения р(У,)= „У, ' ехр — — '„ (-,,1, (14.4.31) где а,' = — ЛК12йх е 'ь'+М„! 1=2~Мь(1+у ). 2 н ~ о а Аналогично (2а„') (У.
— 1)1 1. Ж / (14.4.32) где з о„=М Вероятность ошибки и есть вероятность того, что У, >У,. Читателю оставляется в качестве упражнения показать, что эта вероятность определяется (14.4.15), где и определяется (14.4.30), Если у. »1, вероятность ошибки для ЧМ с квадратичным детектированием можно упростить, как мы это делали раньше для других двоичных многоканальных систем. В этом случае вероятность ошибки хорошо аппроксимируатся выражением (14.4.33) Вероятность ошибки для ФМ, ДФМ, ортогональной ЧМ с некогерентным детектированием иллюстрируется на рис.14.4.2 при А=1, 2 и 4. Качество определяется как функция от среднего ОСШ на бит у„которое связано со средним ОСШ на канал у.
формулой (14.4.34) уь = ьу,. Результаты рис.14.4.2 ясно иллюстрируют выгоду разнесения как средство для преодоления тяжелых потерь в ОСШ, вызванные замираниями. в76 дополнительно увеличение ОСШ на 3 дБ для достижения неизменного качества в канале с постоянными параметрами.
Следовательно, условная вероятность ошибки ДФМ, определяемая (14.4.24), остается при квадратичном сложении справедливой и для ЧМ если у, заменить на ~ьуь. Результат, полученный при усреднении (14.2.24) по статистике замираний и даваемый (14.4.26) также применим для ЧМ с заменой у, на ~;у,. Но мы также установили прежде, что (14.4.26) и (14.4.15) эквивалентны. Следовательно вероятность ошибки, даваемое (14-4-15) также справедлива при квадратичном сложении ЧМ с параметром 1ь „определяемом так И=: (14.4.30) 2+у, Альтернативный подход, использованный Пирсом (1958) для получения вероятности того, что У, >У, так же прост, как метод, описанный выше.
Он начинается с ФПВ р(У,) и р(У,). Поскольку комплексные случайные величины ~хье '~'), 1Мь,) и 1М„„~ распределены по Гауссу с нулевыми средними, величины для решения У, и У, распределены согласно хи-квадрат распределению с 2Л степенями свободы. Эго значит 10-1 5 ! 0-2 5 2 10-6 5 10 15 20 25 30 33 ср вн оошт 1дБ) Рис. 14.4.2. Качество двоичных еигнавов с разнесением 14.4.2.
Мнегефазные сигналы В приложении С детально рассматривается передача многофазных сигналов через канал с релеевскими замираниями. Наша основная цель в этом разделе привести общие результаты для вероятности ошибки на символ в М-ичной ФМ и ДФМ и для вероятности ошибки на бнт в четырехфазной ФМ и ДФМ, Общий результат для вероятности ошибки на символ для М-ичной ФМ и ДФМ '~~-~Д'(~ '( 1 [к1„ (14 4.35) Няп(х/М вЂ” васо х/М) агсс$$ ь-н'~'(л/и) /ь-Рю6~~~В„ где и= ( (14.4.36) для когерентной ФМ (для ФМ при когерентном приеме) и 11 — Я.
(14.4.37) 1+7 для ДФМ. Опять у. это среднее значение ОСШ на канал. ОСШ на бит у, =Ьу./А, где ~ =1щ,М. Вероятность ошибки на бит для четырехфаз ной ФМ и ДФМ получена в предположении, что пара информационных бита отображается в четыре фазы согласно коду Грел. Выражение для вероятности ошибки на бит, полученное в приложении С, равно 677 (14.4.38) где 11-снова определяется (14.4.36) и (14.4.37) для ФМ и ДФМ соответственно. Рис.14.4.3 иллюстрирует вероятность ошибки на символ для ДФМ и когерентной ФМ при М =2, 4, 8 и 1. =1. Заметим, что разница в качестве между ДФМ и когерентной ФМ Равна пРимеРно 3 дБ длЯ всех значений М Действительно, когда Уь» 1 и У.
= 1, (14 4 3 8) хорошо аппроксимируется так (14.4.39) для ДФМ и (14.4.40) для ФМ. Таким образом, при больших ОСШ когерентная ФМ на 3 дБ лучше, чем ДФМ„в канале с релеевскими замираниями. Эта разница также сохраняется при увеличении А. Вероятность ошибки на бит отобра- 10' жается на рис.14.4.4 для двухфазовой, 5 четырехфазной н восьмифазной ДФМ при 1=1,2,4.
— + 2 Оз о 5 1О-' 2 1О- 5 10 15 20 25 30 35 40 срслнее ОсШ та 1дБ) 0 5 1О 15 20 25 30 35 ср д осшт,4лБ1 Рис. 14.4.3. Средши вероятность ошибки на символ для ФМ и ДФМ в релеевском канале Рис. 14.4.4. Вероятность ошибки на бит для ДФМ в рслсевсюм канале с разнесением Выражение для вероятности ошибки на бит восьмифазной ДФМ с кодом Грея здесь не дается, но она имеется в статье Прокиса (19б8). В этом случае мы видим„что качество для двух- н четырехфазной ДФМ приблизительно одинаково, в то время как восьмифазная ДФМ на 3 дБ хуже .
Хотя мы не привели вероятность ошибки на бит для когерентной ФМ, можно показать, что 2- и 4-фазные когерентные ФМ имеет примерно одинаковое качество. 14.4.3. М-позиционные ортогональные сигналы В этом подразделе мы определим качество М-ичной ортогональной системы сигналов, передаваемых по каналу с релеевскими замираниями, и оценим выгоду сигналов с бта 02 1О ' 8 5 2 ш 10~ й К 5 1 8 го~ Е.
и х а Я о 1О-' е, '1О 2 И 5 '8 1о ' о 5 л о > (14.4.42) [ ! ~ ! (14.4.44) 1 ьч ехр~ (1+7.)'Р -1)! ~ 1+у.) м-! х 1-е~!~~> — ' ЖУ„ ем 0 где у, — среднее ОСШ на канал разнесения. Среднее ОСШ на бит у = Ау./1оБ, М = Ьу,ф . Интеграл в (14.4.44) можно выразить в замкнутой форме через двойную сумму. Это можно показать, если написать 679 большим объемом алфавита М относительно двоичных. Ортогональные сигналы можно рассматривать как сигналы М-ичной ЧМ с минимальным разносом частот 1/Т, где Т— сигнальный интервал.
Сигнал с той же информацией передается по Л разнесенным каналам. Каждый разнесенный канал считается частотно-неселективным и с медленными замираниями, а процесс замираний по Ь каналам считается статистически взаимно независимым. В каждом канале сигнал искажается аддитивным белым гауссовским шумом. Считаем, что эти аддитивнь)е шумовые процессы статистически независимы . Хотя относительно легко сформулировать структуру и выполнить анализ качества сумматора с максимальным отношением для разнесенных каналов с М-ичными сигналами„ более вероятно, что разработчик выберет некогереитное детектирование. Следовательно, мы обратим наше внимание на квадратичное сложение разнесенных сигналов. Выход сумматора, содержащего сигнал, равен У,=Ям р-" +М„~, (14.4.41) Ф 1 в то время как выходы остальных сумматоров У =,'~ ~М, ~, «!=2,3,4,...,М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
