Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 113
Текст из файла (страница 113)
(1 1.1.8) Вектор С„представляет набор коэффициентов А.-й итерации, е<. =1, — У„является сигналом ошибки на Ф-й итерации. У„- вектор отсчетов принимаемого сигнала, по которым делаются оценки 1„,т.е. У, =(<э„к ...<э<....о, )', а Л вЂ” положительное число, выоираемое достаточно малым ля того, чтобы обеспечить сходимость итеративной процедуры. Если минимум СКО достигнут на некотором шаге к = 1,, тогда С, = О, так что дальнейшие изменения у шаговых весов не происходят. В общем случае, при методе кратчайшего спуска точное значение .7,„(К) нельзя получить при конечных величинах А„.
Однако, к нему можно как угодно приблизиться при некотором конечном значении А . я ' Г!ринципиальная трудность метода кратчайшего спуска для определения оптимальных шаговых весов — это отсутствие знания вектора градиента С,, когорый зависит как от ковариацнонной матрицы Г, так и от вектора 9 взаимных корреляций. В свою очередь, эти величины зависят от коэффициентов !Л) эквивалентной модели канала с дискретным временем и от ковариаций информационной последовательности и аддитивного шума.
Все этн величины могуг быть, в общем, неизвестны на приеме, Чтобы преодолеть эти трудности, можно использовать оценку вектора градиентов. Это значит, что алгоритм настройки коэффициентов шаговых весов можно выразить в форме С,.„=С, -ЛС, (1 1.1.9) где С< означает оценку вектора градиентов С,, а С„означает оценку вектора коэффициента С„. Из (11.! .8) мы замечаем, что С„равно обратной величине математического ожидания а< У„., следовательно, оценка С, равна вава 1з 1 б; г г! Рис.
11.1.2.Линейный адаптивный эквалайзер, основанный на критерии ыиниыуыа СКО где сзцп(х) определяется так 1+.у' (Ке(х) >О, 1Щ(х) >О), 1- 1 (Ке(х) > О, 1пэ(х) < О), — 1+ ! (Ке(х) < О, 1пэ(х) > О), — 1- 1 (Ке(х) < О, 1т(х) < О), сзяп(х) = (11.!.15) ззп (Заметим, что в (11. !. 15) 1 = эà — 1, что следует отличать от индекса 1 в (11.1. 12) — (11.1.14)). Ясно, что алгоритм (11.1.14) реализуется существенно легче, но он дает наиболее медленную сходимость по сравнению с другими, Несколько других вариантов алгоритма НК можно получить путем усреднения или фильтрации векторов градиентов по нескольким итерациям до выполнения настройки коэффициентов эквалайзера. Например, усреднение по М векторам градиентов дает .м.а ~л~ = — — .'Евиу,ю'Кду,в.
(11.1.! 6) в О а соответствующее рекуррентное уравнение для адаптации коэффициентов эквалайзера по Л' итерациям имеет вид С» — — вС» ~+(1-»г)С,, С(0) =С(0), (1 1. 1. 18) где выбор О< и <1 определяет полосу пропускания низкочастотного фильтра. Если и олизко к единице, полоса фильтра мала и эффективное усреднение осуществляется по многим векторам градиентов. С другой стороны, если и мало, низкочастотный фильтр имеет большую полосу и, следовательно, он обеспечивает малое усреднение по векторам градиентов.
С фильтрацией векторов градиентов по (11.1.!8) вместо С„мы получаем алгоритм НК с фильтрацией градиентов, определяемой так С»„=С» — ЛС . (1 1.1.1 9) В вышеприведенном обсуждении было предположено, что приемник имеет знание о переданной информационной последовательности прн формировании сигналов ошибки между желательным символом и его оценкой. Такое знание можно получить в течение короткого периода обучения, когда к приемнику для первоначальной настройке щаговых весов передается известная информационная последовательность.
На практике часто в качестве обучающей последовательности выбирается периодическая псевдослучайная последовательность, такая как последовательность ра исзра сдвига максимальной длины с периодом М, равным длине (памяти) эквалайзера (М 2К+!). В этом случае, градиент обычно усредняется по длине последовательности как указанно в (11.!.6), а эквалайзер настраивается на каждом периоде согласно (11.1.17). Практическая схема для непрерывной настройки весов отводов может быть или основана на управлении решениями, когда решения (оценки) по информационным символам предполагаются правильными и используются вместо 1» при формировании сигнала ошибки с„, или такая, в которой известная псевдослучайная испытательная последовательность вставляется в информационный сигнал (путем суммирования или перемежения во времени), а веса отводов настраиваются путем сравнения принимаемых испытательных символов с известными переданными сигналами.
При использовании операционной модели с управлением решениями сигнал ошибки оказывается равным е, = 1„1,, где 7„— это решение приемника, основанное на оценке 7„. До тех пор, пока приемник работает с малыми вероятностялш ошибок, редкие ошибки будут иметь несущественное влияние на сходнмость алгоритма. Если характеристики канала меняются, эти изменения отражаются в коэффициентах 1 !/» 1~ эквивалентнои модели канала с дискретным временем.
Они также отражаются в сигнале ошибки е,, поскольку он зависит от (Л»1. Таким образом, шаговые веса будут меняться согласно (11.!.11), отражая изменения в канале. Простое изменение в шаговых весах возникает, если меняется статистика шума или информационной последовательности Таким образом, эквалайзер оказывается адаптивным. »я! С»„п„-— . С„~ ЛС»к. (11.1.17) Действительно, операция усреднения согласно (11.1.16) уменьшает шум в оценке вектора градиентов, как показано Гарднером (1987).
Альтернативный подход сводится к фильтрации шумовых составляющих градиента с помощью низкочастотного фильтра и использованию выхода фильтра как оценки вектора градиенза. Например, простой низкочастотный фильтр для шумовых градиентов дает выход 11.1.3. Свойство сходимости алгоритма НК Свойство сходимости алгоритма НК, определяемого (11.!.1!), управляется параметром размера шага Л. Мы теперь рассмотрим выбор параметра Л для гарантии сходимостл алгоритма кратчаишего спуска (11.1.7), который использует точные значения градиента. Из (11.1.7) и (11.1.8) имеем ме~ со! грг Сен =ф— ЛС, =(! — ЛГ)с„+Лс, (1! . 1.
20) где ! — единичная матрица, à — автокорреляционная матрица принимаемого сигнала, С,— (2К+1) размерный вектор усиления ячеек эквалайзера, а 5- вектор взаимных корреляций определяемый (10.2.45). Рекуррентное отношение (1!.1.20) можно представить системой замкнутой петли управления, как показано на рис.11.1.3. 1: )1- до~ па: оп ! ло сл ск~ Рнс. !1.!.3.
Предстаазеннс рекуррентного уравнення !! !.!.20) системой с замкнутой нетлсн унраазення эк~ оц сл фг Сл гд нс гл яв К сожалению, система из 2К+1 разностных уровней первого порядка в (11.1.20) связана через матрицу автокорреляций Г. Чтобы решить эти уравнения и, таким образом, установить свойство сходимости рекуррентного алгоритма, математически удобно развязать уравнения путем линейного преобразования.
Подходящее преобразование получается, если учесть, что матрица Г является эрмитовой с комплексными элементамп н. следовательно, ее можно представить так: Г = БЛ(1~', (! !.!.2!1 где Н вЂ” унитарная матрица для Г, Л-диагональная матрица с элементами, равными собственным числам матрицы Г. Если (11.1.21) подставить в (11.1.20) и если мы определим преобразов;юные (ортогонализированные) векторы С"„= !)~ С, и 5' = Бт 5, то получим с'„„= (! — лл)с,' + Д4' .
(11.1.22) Система дифференцированных уравнений первого порядка теперь развязана. Их сходимость определяется из однородного уравнения са =($-лл)с". (11.1.23) Мы видим, что рекуррентное отношение будет сходиться при условии, гго все полюса лежат внутри единичной окружности, то есть ~1-ЛХ„)<1, Ф= — К,...,— 1,0,1„...,К, (1!.1.24) где (Х, — набор из 2К+1 (возможно, и не различающихся) собственных значений Г. Поскольку Г автокорреляционная матрица она положительно определенная и, следовательно, 3., >О для всех й. Следовательно, сходимость рекуррентного отношения (11.1.22) гарантируется, если Л удовлетворяет неравенству 0<Л< 2 (11.1.25) ~пан где Х „— наибольшее собственное число Г.
Поскольку наибольшее собственное число положительно определенной матрицы меньше, чем сумма всех собственных чисел матрицы и, следовательно, поскольку сумма собственных чисел матрицы равна ее следу, мы имеем следующую простую верхнюю границу для Х„.„. Х„„, < ~Х„=ггГ (2А + !)Ги — — (2У~+ 1)(з„+ Л1„). (11.1.2б) 11.1.4.
Излишек СКО, обусловленный зашумлёнными оценками градиентов Рекуррентный алгоритм (11.1.11) для настройки коэффициентов в линейном эквалайзере использует несмещенные шумовые оценки векгора градиентов Шуы в этих оценках вызывает флуктуация коэффициентов около пх оптимальных значений и, следовательно, ведет к увеличению СКО на выходе эквалайзера. Это означает, что финальное значение СКО равно ,У,„ +,У , где .У„- дисперсия измеренного шума. Слагаемое,У„, обусловленное шумом оценки, было названо Уидроу (19бб) азллигкии сугег)ггетадратгг чггойг огггггбкгг.
Суммарное СКО на выходе эквалайзера для некоторого набора коэффициентов С можно выразить так .У =.У,. +(С-С, )' Г(С вЂ” С „) „ (11.1.27) где С, представляет оптимальные коэффициенты, удовлетворяющие (11.1.6). Это выражение для СКО можно упростить путем линейного ортогонального преобразования, использованного выше для установления сходимости. Результат этого преобразования к (11.1 27) дает .У =,У,„+ ',г АгУг!с„' — с"г.р !', ь.-к (11.1 28) У з1 гле (с, г- ансамбль преобразованных коэффициентов эквалайзера.
Излишком СКО является величина второго слагаемого в (11.1 28), т.е. — 'Г ~„~г (11.1.29) Уидроу (1970, 1975) показал, что излишек СКО можно выразить так. к У ~12 У Ф г=-к1 (1 Л2г) Из (11.1.23) и (11.1.24) мы видим, что быстрая сходнмость возникает тогда, когда ~1 — ЛХ„~ мало, то есть когда полюсы далеки от единичной окружности. Но мы можем и не достичь это желательное условие и все же удовлетворить (11.1.25), если имеется большое различие между наибольшим и наименьшим собственными значениями матрицы Г Другими словами, даже если мы выбираем гз близким к верхней границе. даваемой .1.25), скорость сходимости рекуррентного алгоритма НК определяется наименьшим 11..
собственным числом Х„,„. Следовательно, отношение Х „„/Х,„непосредственно определяет скорость сходимости. Если Х „./Х,„мало, то Л можно выбрать так, чтобы достичь быстрой сходимости. Однако, если отношение Х „„/Х,„велггко, что определяет случай, когда частотная характеристика канала имеет глубокие спектральные нули, скорость сходимости алгоритма будет медленной. вер> алп или, что эквивалентно, (1!.! 33) бо раз усс 55Л Выражение (11.1.30) можно упростить, если выбрать Л так, что Ы «! для всех 1. Тогда к .У м~ЛУ . ~Х„ю~АУ 1гГ=>-Л(2К+1)У (х,+М,). (11.!.31) ~=-к Заметим, что х,+Ф, представляет принимаемый сигнал плюс мощность шума Желательно иметь .У <.У .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
