Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 116
Текст из файла (страница 116)
е а а Р (у)- вектор взаимных корреляций 0 (у) =Х)д' "1( )У„(л). (11.4 5) образом, мы ввели приемлемо, когда по вектору (11.4.6) ( 11.4.7) (1 1.4.8) Решение (11.4.6) равно зб4 Рекуррентное по наименьшим квадратам (РНК) оценивание 1 (у) можно сформулировать следующим образом. Допустим, мы наблюдаем векторы Ъ',(и), и=0,1,...,у и желаем определить вектор коэффициентов С. (у) эквалайзера (линенного или с обратной связью по решению), который минимизирует усредненные во времени взвешенные квадраты ошибок ц <,, в,'о-~п„'<г>тлрн„'р-~>~ и Ф „1,т()Кч( 1)1» () Таким образом, К,,'(») можно вычислить рекуррентно согласно (11.4.11), Для удобства определим Р (») = К '(») .
Также удобно определить М-мерный вектор, называемый вектор калкиововского усиленвя, так К„(») — Рв (» — 1)Ъ'„(»), 1 (1 1.4.12) в+ ц,„(») где р„(») является скаляром, определяемым так ()='~г()Р ( -1У~" () С этими определениями (11.4.11) приводится к виду Рм(») = ГРв(» 1) — Кк(»)М(»)рл(» 1)]- (11 4 14) Предположим, что мы умножаем обе части (11.4.14) на У,",(»). Тогда () () [ ( ) () () () ( ) ()3 1 = — фм+1з,(»)]К„,(») — К„,(»)Рв(»))=К, (») . (11.4,15) Следовательно, вектор калмановского усиления можно также определить как Рв(»)Ув(») Теперь используем соотношение для обратных матриц для получения уравнения.
определяющего Св(») по Св(»- 1). Поскольку С (») = Р„ (»)11„ (») (1 1.4.13) С (») — Кл (»)11 (») . (1 1.4.9) Матрица К„(») родственна матрице статистических автокорреляций Г„, в то время как вектор О (») родственен вектору ~ взаимных корреляций, определенных раньше. Подчеркнем, однако, что К„(») не является теплицевой матрицей. Мы также хотим напомнить, что для малых значений», К (») может быть плохо обусловленной; следовательно, это обычно приводит к первоначальной добавке матрицы 61„к К„(»), где Ь - малая положительная константа, а 1„— единичная матрица. При показательном взвешивании по последним данным влияние прибавления 51„ослабевает со временем. Теперь предположим, что мы имеем решение (11.4.9) для момента»-1, то есть С„(»-1), и мы желаем вычислить С (»).
Неэффективно и, следовательно, непрактично решать систему Лl линейных уравнений для каждой новой сигнальной компоненты, которая принимается. Чтобы преодолеть эту трудность, мы поступим так. Сначала К„(») можно вычислить рекуррентно следующим образом К (») = К„(» — 1)+'~„'()1»т(). (1 1.4.10) Мы назовем формулу (11.4.10) обновляющее уравнение для К, (») .
Поскольку в (11.4.9) требуется обращение К,(»), используем соотношение для обращенных матриц Ов (») = вВ„(» — 1) + 1(»)У,', (»), (11.4. 16) 565 (11.4.23) а»ой й Д и й „- »о-» б- »о » о »ОО»ео Зов йоо 5ео 600 тйо Чнсло нтсраыий Рис. 11 4.1. Сравнение скорости следи»»ости влгоритлга Квлиана и грайиентного влгоритиа. Числа вычислений нли операций (умножений, делений и вычитаний) при расчете величин (11.4.22), пропорционально М . Большинство из этих операций используется прн определении Ри (1) . Эта часть вычислений также чувствительна к случайному шуму. Чтобы решить эту проблему были разработаны алгоритмы, которые избегают вычисления Р„,(О согласно (11 4.14).
Основа этих алгоритмов сводится к декомпозиции Р„(1) в виде Р„(г) = Я„(1)Л„(1)Я~ (1), (1 1.4.24) где Яи(1) — нижняя треугольная матрица, чьи диагональные элементы — единицы, а Лт(1) диагональная матрица. Такая декомпозиция называется факи»приза»1»»е»г (см. Бирман, 1977). Эта факторизация описывается в приложении О. В алгоритме факторизации Рт(») не обновляется, как в (11.4.14), а вычисляется. Вместо этого при помощи рекуррентного обновления формируются Б (1) и Л„(1).
Алгоритмы НК часто используются в системах управления, которые включают в себя калмановскую фильтрацию. В цифровой связи, алгоритм НК Калмана используется в ФМ модеме с выравниванием на основе обратной связи по решению, спроектированном для передачи с высокой скоростью по ВЧ каналу с номинальной полосой частот 3 кГц. Этот алгоритм описан в статье Хшу (1982).
Он имеет вычислительную сложность порядка 1,5Мт+6,5М (умножения комплексных величин и делений на выходные символы) Для С„(1) = С,(г -1)+ ЛЪ'„(1)е„(1), и единственным переменным параметром является размер шага ячейки Л. Рис.11.4.! иллюстрирует начальную скорость сходимости этих двух алгоритмов для канала с фиксируемыми параметрами ~; = 0,26, »» = 0,93, ~т = 0,26 и линейного эквалайзера с 11 ячейками Отношение собственных значений для этого канала Х „/Х „=11.
Все коэффициенты эквалайзера были первоначально обнулены. Алгоритм кратчайшего спуска был реализован с А=0,020, Превосходство алгоритма Калмана очевидно. Это особенно важно при отслеживании меняющегося во времени канала. Для примера, изменения ва времени высокочастотного (ВЧ или КВ) ионосферного радиоканала слишком быстрые, чтобы их выравнивать градиентным алгоритмом, но алгоритм Кальмана адаптируется достаточно быстро для отслеживания таких изменений. Несмотря на прекрасные качества отслеживания алгоритм Калмана, описанный выше, имеет два недостатка. Один — его сложность, второй —.
его чувствительность к случайному шуму, который накапливается при рекуррентных операциях, Последний может вызвать нестабильность алгоритма. подробного ознакомления с алгоритмами НК в последовательном оценивании читателю рекомендуется книга Бирмана (1977). Возможно также разработать РНК алгоритмы с вычислительной сложностью, которая возрастает линейно с числом коэффициентов эквалайзера /)/. Такие алгоритмы обычно называются быстрыми РНК а»»горнтмамц н они были описаны в статьях Караяниса и др. (1983), Чиффн и Кайлата (1989) и Слака и Кайлата (1988). Минимизация СКО ъ У 6 =Е~у)!) — у (!)/ =))~у(ю) — ~~ у)к ))~ )31.426) ы) по коэффициентам предсказания 1а ~ ведет к системе линейных уравнений У ~~) а, фф-/)=ф(/), /=1,2,...,р, к — ) (11.4 27) где ф(/) = е[у(»)у(» -/)1 Их называют пора»а»»ь»»ь»м»» уравие»ии»яи) Юп»-»эо)»кора.
Матрица коэффициентов Ф с элементами ф(и — /) является теплицевой матрицеи. Следовательно, алгоритм Левинсона-Дурбина, описанный в приложения А, дает эффективный способ для рекуррентного решения линейных уравнений, начиная с предсказателя первого порядка и продолжая рекуррентно для нахождения коэффициентов предсказателя порядка р. Рекуррентные соотношения для алгоритма Левинсона-Дурбина таковы ап = —, )'.;, =ф(0) ф(1) " = ф(0)' фф) ))-А„е' иие (11.4 281 а =а„,„-а„,„а Ж =Ф )(1-а,) для т — 1,2,...,р, причем векторы А ) у"„, ) определены так: т А, =[а „а,„,..
а„, »р„", ) = [ф(и»-1) ф(т — 2) „. ф(1)~ . Линейный предсказывающий фильтр порядка и» можно трансверсальный фильтр с передаточной функцией реализовать как эч>к 11.4.2. Линейное предсказание и лестничные фильтры ) В главе 3 мы рассмотрели линейное предсказание сигнала в плане кодирования речи. В этом разделе мы хотим установить связь межу линейным предсказанием и лестничным фильтром.
Проблему линейного предсказания можно сформулировать так: по значениям набора данных у(» — 1),у() — 2) ..., у(» — р) надо предсказать значение данных в последующей точке у»») . Предсказатель порядка р определяется так и у (')=Ха у('-") (11.4. 5) (11.4.31) (11.435) (11.4.36) где У„Я= уЯ-'~~.п Я-Ю, (11.4.37) Д-! Ь (Ф) = у(г'-и!)-Яп у~! — ш+7г) (11.4.3 Я) с-! Для детальной разработки отметим, что 1„,(~) в (11.4.37) представляет ошибку предсказания т-го порядка по более ранним отсчетам (ошибка вперед), в то время как Ь (!) представляет ошибку предсказания т-го порядка по более поздним отсчетам (ошибка назад). зв!!! РМ А„,(г) =1 — ~а„,а ' (11.4. 29) с=! Его входом являются данные 1у(!)), а его выходом — ошибка е(г) = у(~) — у (!) Предсказывающий фильтр можно также реализовать в лестничном виде, как мы теперь покажем. Начнем с использования алгоритма Левинсона-Дурбина для коэффициентов предсказателя а, в (11.4.29).
Подстановка дает ю-! А„,(я)=1-~„(а „вЂ” а„,„,а .„„,)= ' — а„„,г "' !:=! Ю-! е ! а-! ! — -! = А,( ) — п„„„а '"А„, !(а ') . (11.4.30) Таким образом, мы получили передаточную функцию предсказателя л!-го порядка через передаточную функцию (т-1)-го порядка, Теперь предположим, что мы определяем фильтр с передаточной функцией 6„,(з), равной 6„,(я) = г А (з ') . Тогда (11.4.30) можно выразить так А (з) =А„,(-.) — а„,„,з 6„, !(я).
(П.4.32) Заметим, что 6„,,(а) представляет трансверсальный фильтр с коэффициентами в отводах ( — и,, — и„,, „, „„...,— а„, ! „1), в то время как коэффициенты для А,(я) такие же за исключением того, что они даны в обратном порядке. Больше понимания соотношения между А„,( ) и 6„,(=) можно получить пугем вычисления выхода этих двух фильтров при подачи ко входу последовательности у(~) Используя ю-преобразование, имеем А„,(з))'(г) = А„, !(г)г'(г) — а„„„г '6„, !(=)г'(г) . (11.4.33) Выходы фильтров мы определяем так ~;,(я) = А,(с))'(я) (11.4.34) 73„,(з) = 6 (а)г'(Р).
Тогда (11.4.33) можно записать Р'„(я) =Р' !(я)-и „,г !В !(я). Во временной области соотношение (11.4.35) можно выразить так ~ Я=~„, !(!) — и Ь,!(( — 1), и)>1, Начальные условия Яг) =Ь.(г) =у(г). (11.4.42) Лестничные фильтры, описанные рекуррентными отношениями (11.4.3б) и !11,4.40), иллюстрируются на рис.11.4.2. Рис. 11.4.2. Лестничный фильтр. Каждый каскад характеризуется собственным коэффициентом умножения !а 1, ~ — 1„2,....М.
который определяются алгоритмом Левинсона-Дурбина. Ошибки вперед и назад /„',(г) и Ь (1) обычно называют остатками. Средний квадрат зтих остатков равен 'сь = ф (г)1= Е~Ь„,(1)1, (11.4.43) а а:„определяется рекуррентно согласно алгоритму Левинсона-Дурбина: ~. ='.,(1- .'-.) = -.й(1-,). (11.4.44) где ~ =ф(0). Остатки ~/'(г)) и (Ь (!)~ удовлетворяют ряду интересных свойств, как описано Макхоулом (1978). Наиболее важные из них — свойства ортогональности Ф.(с)Ь.()1= 8.б, Еу (Г+ту„(С+ )1 = 8' б Далее, взаимные корреляции между ~' (г) и Ь„(г) определяются так !а„„й' (т>и) Е~~ (/)Ь„(!)1=~ "" и>,и>0.
'(О (т < и) Вследствие свойств ортогональносги остатков, различные секции лестницы проявляют форму независимости, которая позволяет нам прибавить или удалить одну или больше последних каскадов без влияния на параметры оставшихся каскадов. Поскольку остаточный средний квадрат ошибки 8' уменьшается монотонно с числом секций. с.
(! 1.4.46) кзо Соотношение (11.4.3б) — одно из двух, определяющих лестничный фильтр. Второе соотношение получается из б (г) следующим образом: 0„,(г) = = А (в ') =г "[А,(я ') — а „з А„,,(з.1=з '6„,,(я) — а „,А„,,(з). (1!.4.39) Теперь мы умножим левую и правые части (11.4.39) на У(з) и выразим результаты через Р'„(а) и В (я), используя определение (11.4.34), мы получим В (а)=г 'а„,(з)-а Е,( ). (1 1.4.40) Путем преобразования (11.4.40) во временную область мы получим второе отношение, которое соответствует лестничному фильтру, а именно Ь (Г)=Ь„,(~ — 1)- „~~,(Г), т>!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
