В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Непрерывные представления сигналовТаким образом, интегральное представление имеет много общего с обобщенным рядом Фурье.Пример 2.13. Для представления сигналов из пространстваоченьчастоиспользуетсябазисноеядроL2 (, )u( f , t )  e j2 ft (вместо переменной s в обозначении ядра использовано общеупотребительное обозначение частоты буквой f ). Ядро является самосопряженным, так как*j2 ft  j2e u ( f , t )u ( , t )dt   eT lim  e j2( f  )tT  Ttdt sin 2 T ( f  ) (f  )T (f  )dt  lim(аналогично доказывается и второе условие самосопряженности).Поэтому спектральная плотность сигнала x (t ) относительноданного ядра, которую обозначим X ( f ) , определяется выражениемX ( f )   x(t )e j2 ft dt ,(2.18)известным как преобразование Фурье; формула интегральногопредставления сигналаx(t )   X ( f )e j2 ft df(2.19)называется обратным преобразованием Фурье.

◄Запишем скалярное произведение двух сигналов x (t ) и y (t ) ,выразив сигналы через спектральные плотности при помощи обратного преобразования Фурье: ( x, y )   x(t ) y *(t )dt    X ( )e j2      X ( )Y *( f )  e j2td  Y *( f )e  j2 ft df dt (  f )t  dtdfd    X ( )Y *( f ) (  f )dfd   X ( f )Y * ( f )df .522. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВТаким образом, получена обобщенная формула Рэлея** x(t ) y (t )dt   X ( f )Y ( f )df(2.20)для интегрального представления сигналов относительно базисного ядра Фурье e j2 ft .

Аналогичное выражение будет справедливодля интегрального представления сигналов относительно любогосамосопряженного ядра.Подставляя в (2.20) y (t )  x(t ) , получаем равенство Парсеваля22 | x(t ) | dt   | X ( f ) | df .(2.21)Симметричная форма левых и правых частей выражений (2.20)и (2.21) должна наводить на мысль, что «естественное» временнóепредставление сигнала есть на самом деле представление относительно некоторого самосопряженного ядра. Справедливость такогоутверждения устанавливается в следующем примере.Пример 2.14.

Для пространства сигналов L2 (, ) примем вкачестве базисного ядра сдвинутую (задержанную) -функциюu (t , )  (t  ) (вместо переменной s использовано обозначениезадержки буквой ). Это ядро является самосопряженным [2]. Поэтому спектральная плотность сигнала x (t ) относительно данногоядра определяется выражениемx( )   x(t ) (t  )dt ,(2.22)а интегральное представление сигнала задается формулойx(t )   x( ) (t  )d .(2.23)Полученное выражение, описывающее стробирующее свойство-функции и совпадающее с динамическим представлением сигнала (2.4), явно демонстрирует тот факт, что обычное временнóепредставление сигнала можно рассматривать как интегральное(спектральное) представление относительно базисного ядраu (t , )  (t  ) со спектральной плотностью x( ) . Иными словами, временная функция x () , описывающая сигнал, есть не что532.6.

Непрерывные представления сигналовиное, как спектральная плотность. Таким образом, с математической точки зрения временно́е представление сигнала является неболее (и не менее) естественным, чем частотное (2.18) или любоедругое представление относительно самосопряженного базисногоядра. ◄Пример 2.15. Очень важную роль в теории сигналов играет1представление относительно ядра вида u (t , ) (вместо(  t)переменной s использована переменная , имеющая смысл времени).

Это ядро является самосопряженным. Поэтому спектральная плотность сигнала x (t ) относительно данного ядра определяется выражением1  x(t )(2.24)xˆ ( )  dt ,  tа интегральное представление сигнала – формулойx(t ) 1xˆ ( )d .  t(2.25)Выражения (2.24) и (2.25) называются соответственно прямыми обратным преобразованиями Гильберта и используются, в частности, для описания узкополосных детерминированных и случайных колебаний, см. разд. 2.12 и 3.6. ◄Пример 2.16. Для представления дискретных сигналов из пространства l2 используется ядро u( f , n)  e j2 fn , зависящее от непрерывной переменной f , имеющей смысл частоты, и от дискретной (целой) переменной n .

Спектральную плотность дискретногосигнала x[n] относительно данного ядра можно определить выражениемX ( f )   x[n]e  j2n fn, 1  f  1 ,(2.26)а интегральное представление сигнала – выражением0.5x[n]   X ( f )e j2fndf , n  ,  .(2.27)0.5Эти выражения называются соответственно прямым и обратнымпреобразованиями Фурье для последовательностей и используютсяв цифровой обработке сигналов (подробнее см. разд. 12). ◄542. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВПолезно иметь в виду, что дискретное представление сигнала ввиде ряда можно истолковать как частный случай интегральногопредставления.

В самом деле, введем для базисных функций{vk (t ), k  , } обозначение {v(t , sk ), k  , } , понимая базисные функции, как различные сечения некоторой функции двух переменных v(t , s ) , соответствующие фиксированным значениям переменной s {s  sk , k  , } . Подставим выражение для сигналаx(t )  k k vk (t ) k k v(t , sk )в формулу для нахождения спектральной плотности относительнонекоторого ядра с помощью сопряженного ядра (2.16)( s)    k *k v(t , sk ) w ( s, t ) dt  k k* v(t , sk ) w ( s, t )dt .С учетом условия сопряженности ядер (2.17) получим( s)  k k( s  sk ) .Таким образом, дискретное представление действительно можно понимать как интегральное представление со спектральнойплотностью ( s) , сосредоточенной в счетном множестве точекsk , k  ,  .2.7.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПЕРАТОРЫВсюду, где применяются сигналы, они подвергаются преобразованиям. Под преобразованием можно понимать любое изменениесигнала – как целенаправленное, так и непреднамеренное. Целенаправленные преобразования осуществляются в созданных специально для этого устройствах, которые далее будем называть цепями. Непреднамеx(t )y (t )ренными являются преобразования, проTисходящие, например, в линиях связи.В наиболее общей форме преобразованиеизображается схемой рис. 2.17.

ОбоРис. 2.17. Преобразовазначая входной сигнал x (t ) , а выходнойние сигнала2.7. Преобразования и операторы55 – обозначесигнал y (t ) , можно записать y (t )  T  x(t ) , где T ние преобразования.С математической точки зрения преобразование представляетсобой отображение множества входных сигналов  во множествовыходных сигналов . Эти множества могут быть одинаковыми,но могут и существенно различаться. Например, в задаче обнаружения24 полезного сигнала во входном колебании на временнóминтервале T входные колебания принадлежат L2 T  , а множествовыходных сигналов состоит из двух значений, условно обозначаемых 0 («сигнала нет») и 1 («сигнал есть»). Здесь будем полагать,что входные и выходные сигналы принадлежат одному и тому жепространству L2 (или l2 ); в этом случае преобразование называется оператором.

Такая постановка соответствует, в частности, задаче фильтрации сигналов. Канал связи представляет собой соединение25 многих устройств и сред распространения, поэтомуосуществляемое им отображение имеет сложный, составной характер. Некоторые из составных частей этого отображения являютсяоператорами, другие, например аналого-цифровые и цифроаналоговые преобразования, описываются отображениями более общеговида.Рассмотрение преобразований в такой общей постановке не дает каких-либо содержательных результатов именно в силу своейпредельной общности.

Для того чтобы получить практическуюпользу, математическую модель следует конкретизировать (сузить). Очень плодотворный подход состоит в ограничении рассмотрения так называемыми линейными операторами26. называется линейным, если он обладает свойстОператор  вами аддитивности  x  y    x    yи однородности  x    x ,24Подробно эта задача рассматривается в разд. 9.В простых случаях это каскадное соединение; при многолучевом распространении некоторые части канала соединены параллельно.26Некоторые нелинейные преобразования колебаний будут рассмотрены в разд. 5,посвященном модуляции и демодуляции.25562. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВобычно объединяемыми в одну формулу, выражающую принципсуперпозиции:  x  y   x    y .Таким образом, если оператор, описывающий некоторое устройство (цепь), является линейным, то отклик этой цепи на входной сигнал, представленный обобщенным рядом Фурьеx(t )  k k uk (t ) ,равен сумме ряда, составленного из откликовна базисные функции с теми же весовыми (спектральными) коэффициентами: y (t )   x(t )    k u(t)k k k kuk (t ) .(2.28)Выражение (2.28) описывает спектральный метод анализа линейных цепей.

Вместо обобщѐнного ряда Фурье может быть использовано интегральное представление входного сигнала. Чтобыуяснить смысл обсуждаемых понятий, рассмотрим действие линейного оператора в конечномерном линейном пространстве.Линейные операторы в конечномерных пространствах описываются квадратными матрицами.

Рассмотрим пространство дискретных сигналов, каждый из которых представляется N комплексными отсчетами ( N -мерное пространство). Результатомвоздействия линейного оператора, описываемого матрицей ij , i, j  1, N , на вектор-столбец x  ( x1 , ..., xN )T являетсявектор-столбец y  ( y1 , ..., yN )T , при этом y1   11y   2    21 ...   ... y  NN11222...N2............  x1  x 2N 2  ,...   ...  NN   xN 1Nи значение (отсчет) выходного сигнала описывается выражениемNyk  j 1kj x j, k  1, N .Наглядно представить себе поведение линейного оператораможно на примере его действия на базисные векторы572.7. Преобразования и операторыTTTe1  1, 0, ..., 0 , e2  0,1, ..., 0 , ... , eN  0, 0, ...,1 . Легко видеть,что вектор e1 преобразуется в вектор  11, 21, ..., N1  , аналогичноостальные векторы ортонормального базиса преобразуются в векторы-столбцы, из которых составлена матрица линейного оператора.Из линейной алгебры известно, что существуют векторы, которые данным оператором преобразуются наиболее простым образом: изменяются лишь их длины (нормы); такие векторы называются собственными векторами, а коэффициенты, определяющиеизменение длин27, называются собственными значениями оператора.

Характеристики

Список файлов книги