В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В современной теории сигналов используется изображение сигнала простым объектом (точкой) в сложном пространстве [2]. Это пространство представляет собой множество всевозможных сигналов, рассматриваемых в данной задаче, наделенноесоответствующими структурными свойствами. При этом свойствасигналов получают наглядное геометрическое истолкование, а длясинтеза и анализа сигналов и систем их обработки применяется аппарат современной математики (функциональный анализ).Основные идеи такого подхода проще изложить для дискретного сигнала. Рассмотрим для примера множество дискретных сигналов, таких, что все значения (отсчеты) этих сигналов равны нулю,за исключением значений, соответствующих n 1 и n 2 . Придавая значениям x[1] x1 и x[2] x2 сигнала x[n] смысл абсциссы иординаты точки (вектора) на плоскости, получаем представлениевсего множества таких сигналов множеством векторов в двумерном евклидовом пространстве (рис.

2.4, а). Множество сигналов,x[3]x[2]xx2xx3x[2]x2x1аx1x[1]x[1]бРис. 2.4. Представление сигнала точкой (вектором) на плоскости (а)и представление сигнала вектором в трехмерном пространстве (б)282. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВкоторые могут иметь три ненулевых отсчета (например, при n 1 ,n 2 и n 3 ), представляется множеством векторов в трехмерномпространстве (рис. 2.4, б).Продолжая рассуждения, приходим к представлению множества всех сигналов, определяемых их значениями в конечном множестве точек дискретной временнóй оси n 1, 2, ..., N множествомвекторов N -мерного евклидова пространства. Каждый такой вектор представляет собой упорядоченный набор чисел (координат),равных значениям сигнала в соответствующие моменты времени.Ясно, что такое представление является взаимно однозначным, аследовательно, не приводит к потере информации.Несмотря на то, что евклидово пространство размерности вышетрѐх обычный человек вообразить не в состоянии, N -мерное евклидово пространство является весьма обычным и удобным инструментом исследования, так как свойства евклидова пространства сохраняются при любой его размерности.

Кроме того, в большинствеслучаев рассматриваются пары сигналов (векторов), а любые двавектора лежат в общем для них двумерном подпространстве (плоскости). Таким образом, даже не очень богатого пространственноговоображения оказывается вполне достаточно для того, чтобы ориентироваться в сигнальном пространстве любой размерности.Устремляя N к бесконечности, получаем бесконечномерноеевклидово пространство, пригодное для представления всех дискретных сигналов, определенных на бесконечной целочисленной,временнóй оси n. Это пространство имеет бесконечное,но счетное множество «координатных осей». Каждому сигналувзаимно однозначно соответствует бесконечный (счетный) упорядоченный набор координат вектора, равных, например, отсчетамэтого сигнала в соответствующие моменты времени.Переходя к континуальным сигналам, получаем бесконечномерное пространство с несчетным множеством (континуумом)«координатных осей», при этом сигналу соответствует бесконечный несчетный упорядоченный «набор координат» вектора, равных (нестрого говоря) отсчетам этого сигнала в соответствующиемоменты времени, которые теперь следуют друг за другом «бесконечно плотно», т.е.

непрерывно. Таким образом, и дискретные, ианалоговые сигналы могут быть представлены векторами в линейных пространствах соответствующих размерностей.Чтобы использовать преимущества таких моделей, следуетвначале убедиться в том, что действиям над элементами линейногопространства (векторами) соответствуют операции, применимые креальным сигналам.2.2. Сигналы и действия над ними292.2.

СИГНАЛЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИВ каждой практической задаче, связанной с получением (генерированием), передачей, приемом и обработкой сигналов, рассматриваются сигналы из определенного множества. Так, можно,например, рассматривать множество M (T ) всех континуальныхсигналов, заданных на конечном временнóм интервале t [0, T ](интервале наблюдения), или множество всех дискретных сигналов, определенных на конечном участке дискретной временнóй осиn  1, N .

Сигналы из одного множества обладают некоторыми общими свойствами, что и позволяет рассматривать множество какцелое.На практике над сигналами выполняются некоторые действия(операции), такие, например, как сложение (суммирование). Дляэтого применяются устройства, называемые сумматорами. Крометого, суммирование выполняется естественным путем при распространении различных сигналов в общем канале связи или в пространстве, и в этом случае говорят о взаимных помехах. Сум- s1( t)мирование применимо к сигналам, имеющим общую областьопределения. Например, складыtвая сигналы s1(t ) и s2 (t ) , опреаделенные на конечном интервале[0, T ] , получаем сигнал s3 (t ) ,определенный на этом же интер- s2( t)вале (сумма сигналов из множеtства M (T ) снова принадлежитM (T ) , рис.

2.5. В таких случаяхговорят, что множество замкнубто относительно сложения.s3( t)Вторая операция, часто применяемая на практике, – умножение на некоторый постоянныйкоэффициент. Множитель можетtбыть больше единицы, что соответствует усилению сигнала, иливменьше единицы, тогда имеетРис. 2.5. Сигнал (а), помеха (б)место ослабление. Ослаблениеи сумма сигнала и помехи (в)можетбытьестественным302.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ(вследствие затухания сигнала в линии передачи или рассеянияэнергии в пространстве) или преднамеренным, выполняемым, например, с помощью устройств, называемых аттенюаторами.Усиление выполняется при помощи усилителей. Множитель можетбыть и отрицательным, тогда меняется полярность сигнала, а соответствующее устройство называют инвертирующим усилителем,или инвертором. На рис.

2.6 сплошной линией показан исходныйсигнал, пунктиром тот же сигнал, усиленный вдвое, а штриховойлинией – инвертированный сигнал.Обычно предполагается, что множество сигналов замкнуто относительно умножения на число, таким образом, усиление или ослабление сигнала не нарушает его принадлежности к данномумножеству.x (t)tРис. 2.6. Исходный, усиленный и инвертированныйсигналыВозможность выполнения указанных операций над сигналамиобусловливает глубокое сходство множества сигналов с линейным(векторным) пространством.

Это позволяет использовать линейноепространство в качестве модели для множества сигналов, которое втаком случае становится пространством сигналов.2.3. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВОЛинейным пространством называется множество M объектов(векторов), удовлетворяющее следующим аксиомам.А.

Для любых двух векторов из M определена операция сложения, причем сумма вновь принадлежит M (множество Mзамкнуто относительно сложения), т.е. x  M y  M : ( x  y )  M(  читается «для всех»).2.3. Линейное пространство31Выполняются следующие аксиомы сложения:1) ассоциативность x, y, z  M : x  ( y  z )  ( x  y )  z ; 2) существованиенейтрального элемента (нулевого вектора)0 M : x M : x  0  x (  читается «существует»);3) существование противоположногоэлементаx  M ( x)  M : x  ( x)  0 ;4) коммутативность x, y  M : x  y  y  x .Перечисленные аксиомы известны в высшей (абстрактной) алгебре, как аксиомы коммутативной группы16 по сложению.Б. Для любого вектора из M определена операция умноженияна скаляр  (элемент некоторого поля  – как правило, поля вещественных или поля  комплексных чисел)17, причем результирующий вектор снова принадлежит M .

Иными словами,множество M замкнуто относительно умножения на скаляр:x  M    : x  M .Выполняются следующие аксиомы умножения на скаляр:1) ассоциативность ( x)  ( ) x  x x  M  ,  ;2) существование в поле скаляров особого элемента – единицы1   : x  M :1x  x ;3) дистрибутивность сложения векторов и умножения вектора ( x  y )  x  y x, y  M   ,на скаляр . (  ) x  x  x x  M  ,  Нетрудно убедиться непосредственной проверкой, что все этиаксиомы выполняются для сигналов как аналоговых, так и дискретных – вещественных и комплексных. Поэтому сигналы можнорассматривать как векторы и называть векторами.В радиотехнике и связи часто используются комплексные сигналы, принимающие значения из поля  комплексных чисел. Далее, если явно не сказано обратное, всегда подразумевается, что1617Коммутативная группа называется также абелевой группой в честь Н.Х. Абеля(1802 – 1829), выдающегося норвежского математика.Полем в алгебре называется множество с определенными на нем двумя бинарными операциями, называемыми сложением и умножением, которое являетсякоммутативной группой относительно обеих операций, за исключением существования элемента, противоположного по умножению нейтральному по сложению элементу (запрещено деление на нуль).

Характеристики

Список файлов книги