В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Нетрудно видеть, что если базис пространства составить изсобственных векторов данного оператора, то матрица операторабудет диагональной0   x1  y1   11 0 ... y   00   x2 22 ... 2 ,(2.29)... ... ...   ...  ...   ... y    0   0 ...NNN   xNTгде главная диагональ матрицы составлена из собственных значений, и отсчѐты выходного сигнала находятся наиболее просто:yk  kk xk , k  1, N (штрихами отмечены компоненты векторовотносительно собственного базиса). Далее будет показано, что аналогичное упрощение может быть достигнуто и для пространствааналоговых сигналов L2 при соответствующем выборе базисныхвекторов (функций).Переход от конечномерного пространства к бесконечномерному пространству дискретных сигналов l2 приводит к тому, чтовекторы x и y содержат бесконечно много компонент, соответственно матрица линейного оператора становится бесконечной ij , i, j  ,  .

Значение (отсчет) выходного сигнала опре-деляется выражением yk  j kj x j, k  ,  , представляющимсобой скалярное произведение строки матрицы оператора на вектор-столбец входного сигнала.27Сказанное верно для пространства над полем вещественных чисел; операторы,действующие в комплексном пространстве, имеют комплексные собственныезначения.582. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВГильбертово пространство аналоговых сигналов L2 отличаетсятем, что множество компонент каждого его вектора несчетно, поэтому дискретные индексы заменяются непрерывными переменными, а место матрицы занимает функция (, ) двух переменных,называемая ядром оператора. Тогда действие линейного операторана сигнал x (t ) описывается интегральным выражениемy (t )   (t , s) x( s)ds .(2.30)Здесь переменная s имеет физический смысл и размерность, соответствующие базису, выбранному для описания сигнала x .

В частности, это может быть частота, если сигнал задан спектральнойплотностью (2.18), или время, если сигнал x задан во временнойобласти (2.22).2.8. ВРЕМЕННÓЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХИНВАРИАНТНЫХ К СДВИГУ (ЛИС) ЦЕПЕЙИспользуя выражение (2.28), найдѐм отклик цепи на сигнал,представленный выражением (2.23). Очевидно, y(t )   x(t )     x( ) (t  ) d    x( )  (t  ) d    x( )h(t , )d ,(2.31)где весовая функция (ядро оператора) h(t , )    (t  ) представляет собой отклик (реакцию) цепи в момент t на входной сигнал в виде -функции, воздействующий на цепь в момент .Особое значение в анализе цепей имеет случай, когда весоваяфункция фактически зависит только от разности переменныхh(t , )  h(t  ) , тогда цепь называется линейной инвариантной ксдвигу (ЛИС-цепью), или линейной стационарной28, а выражение(2.31) приобретает видy (t )   x( )h(t  )d .(2.32)28Нестационарные, или параметрические, цепи широко применяются при модуляции и демодуляции сигналов (см.

разд. 5).592.8. Временнóе описание линейных инвариантных к сдвигу (ЛИС) цепейВыражение (2.32) известно под названием свѐртки, или интегралаДюамеля29. (Иногда используется символическое обозначениесвертки выражением x  h. )Если подставить в (2.32) в качестве входного сигналаx(t )  (t ) , выходной сигналy (t )   ( )h(t  )d  h(t ) .Таким образом, функция h (t ) представляет собой отклик ЛИСцепи на «бесконечно короткий импульс» ( -функцию) и называется импульсной характеристикой цепи.

Зная входной сигнал и импульсную характеристику цепи, всегда можно точно определитьвыходной сигнал. Поэтому импульсная характеристика (ИХ) составляетисчерпывающееописаниеЛИС-цепи.Условиеh(t , )  h(t  ) означает, что, зная реакцию h (t ) цепи на воздействие (t ) , можно определить отклик на сдвинутое воздействие(t  ) путем простого сдвига импульсной характеристики на такую же величину . Иными словами, поведение такой цепи неизменно во времени.Пример 2.17. RC-фильтр нижних частот, представленный на1рис.

2.18, имеет импульсную характеристику h(t )  et / ,  RC(рис. 2.19).◄Для уяснения физического смысла интеграла Дюамеля, играющего важнейшую роль в анализе линейных стационарных цепей,полезно выполнить в (2.32) замену переменных, так чтоy (t )   x(t  )h( )d .(2.33)1h(t)RCRC0Рис. 2.18. RC-фильтр нижнихчастот29tРис. 2.19. Импульсная характеристика RC-фильтра нижних частотЖан Мари Констан Дюамель (1797 – 1872) – французский математик.602. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВКроме того, для простоты примем, что импульсная характеристика удовлетворяет условию каузальности (причинности)(2.34)h(t )  0 при t < 0 .Согласно (2.23) входной сигнал представляется «плотной» последовательностью -функций с «амплитудными» коэффициентами, равными значениям сигнала в соответствующие моменты времени.

Тогда выражение (2.33) описывает выходной сигнал вмомент времени t , как интегральную сумму откликов на все эти-функции, воздействовавшие на вход цепи в прошлом. Каждаятакая -функция отстоит от текущего момента t на величину впрошлое, поэтому еѐ вклад в текущее значение выходного сигналаопределяется значением импульсной характеристики, соответствующим интервалу . Импульсная характеристика любой реальной цепи со временем убывает (затухает), таким образом, цепь постепенно «забывает» значения входного сигнала (рис.

2.20).Заметим, что ЛИС-цепи представляют собой сравнительноузкий класс цепей (вообще говоря, никакая цепь не может бытьстрого линейной хотя бы потому, что любое реальное устройствосостоит из веществ, имеющих конечную температуру плавленияили возгорания; точно так же реальная цепь не может быть строгостационарной уже в силу конечности времени ее существования).Однако очень многие цепи и каналы связи могут считаться приближенно линейными инвариантными к сдвигу, а вместе с удобством анализа и синтеза ЛИС-цепей это составляет огромное преимущество линейной стационарной модели и обусловливает ееширокое использование.

Нелинейные и/или нестационарные цепизначительно труднее анализировать (не существует, в частности,общего метода анализа всех нелинейных цепей, аналогичного спектральному методу) и синтезировать, однако некоторые преобразования сигналов, необходимые для практики, невозможно осуществить при помощи ЛИС-цепей. Преобразования гармоническихx(t)t0Рис. 2.20. Иллюстрация смысла интеграла Дюамеляt612.9. Частотное описание ЛИС-цепейколебаний в нелинейных безынерционных и линейных нестационарных цепях, используемые при модуляции и демодуляции сигналов, будут рассмотрены в разд.

5.2.9. ЧАСТОТНОЕ ОПИСАНИЕ ЛИС-ЦЕПЕЙИнтеграл Дюамеля описывает действие оператора ЛИС-цепина входной сигнал, представленный интегральным выражением(2.23) относительно базисного ядра (t  ) . Проводя аналогию сконечномерным линейным пространством, можно ожидать, чтовозможно представление сигнала относительно ядра, аналогичногособственному базису; при этом действие оператора должно описываться более простым выражением. Другими словами, линейномуоператору соответствуют векторы (функции), обладающие следующим свойством: действие данного оператора на эти функциисводится к их умножению на скалярные коэффициенты. Обозначим такую собственную функцию (t ) ; она должна удовлетворятьуравнению (t , s) ( s)ds (t ) ,– некоторый числовой множитель (собственное значение,гдесоответствующее данной собственной функции). Различным линейным операторам соответствуют различные наборы собственныхфункций и собственных значений.Для линейного инвариантного к сдвигу (стационарного) оператора собственная функция должна удовлетворять уравнению, записываемому с учетом (2.33): (t  )h( )d (t ) .Легко убедиться, что решением этого интегрального уравненияявляется комплексная гармоническая функция e j2 ft , где f – еѐпараметр, имеющий смысл частоты:j2ef (t  )h( )d e j2ft j2 fh( )d H ( f )e j2 ft .eИтак, если на вход ЛИС-цепи поступает сигнал e j2 ft , то навыходе наблюдается этот же сигнал, умноженный на комплексное622.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВчисло, зависящее от частоты сигнала. Функция H ( f ) , описывающая эту зависимость, называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ)30 цепи и связана с импульсной характеристикойпарой преобразований Фурье:H ( f )   h(t )e j2 ft dt ,(2.35)h(t )   H ( f )e j2 ft df .(2.36)Таким образом, функции времени e j2 ft  при различных значениях f являются собственными функциями оператора любойЛИС-цепи, при этом конкретной цепи соответствует определеннаяКЧХ H ( f ) , определяющая масштабный коэффициент (собственное значение) для каждой функции e j2 ft при любом значениичастоты f .Запишем входной сигнал в виде интегрального выражения относительно ядра e j2 ft :x(t )   X ( f )e j2 ft df .(2.37)Напомним, что это выражение представляет x (t ) «сплошной»суммой базисных функций e j 2 ft с «амплитудными31 коэффициентами» X ( f ) .

Следовательно, отклик ЛИС-цепи с КЧХ H ( f ) наэтот сигнал представляется интеграломy (t )   H ( f ) X ( f )e j2 ft df ,так как каждая функция e j2ftв разложении (2.37) умножается наH ( f ) . Учитывая, что y (t )   Y ( f )e j2 ft df , можно записать вы3031Эту характеристику называют также комплексным коэффициентом передачи,передаточной функцией и т.п.Ясно, что на самом деле амплитуды гармонических составляющих бесконечномалы.632.9. Частотное описание ЛИС-цепейражение Y ( f )  H ( f ) X ( f ) , связывающее выходной сигнал ЛИСцепи с входным сигналом.

Заметим, что это выражение соответствует в конечномерном случае умножению вектора на диагональную матрицу (2.29).Подытоживая, можно сказать, что представление входного сигнала относительно собственного базисного ядра e j2 ft имеет преимущество перед динамическим представлением, так как вместоинтегрального выражения свертки связь входного сигнала с выходным описывается произведением спектральных плотностей.Уместно еще раз напомнить, что «естественное» временнóе представление сигнала x (t ) – это также спектральная плотность,только относительно ядра (t  ) .ВыражениеY( f )  H( f )X ( f ),устанавливающее связь спектральных плотностей сигналов на входе и выходе ЛИС-цепи через еѐ комплексную частотную характеристику, служит основой спектрального метода анализа линейных стационарных цепей, широко используемого благодаря своейпростоте.

Характеристики

Список файлов книги