В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Именно этим объясняется исключительная роль ряда иинтеграла Фурье в теории сигналов и цепей.Функция H ( f ) в общем случае является комплексной,H ( f )  K ( f )e j ( f ) , что неудобно. Часто рассматривают еѐ модульи аргумент по отдельности, при этом модуль K ( f )  H ( f ) называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент( f ) – фазочастотной характеристикой (ФЧХ) цепи.Пример 2.18. RC-фильтр нижних частот, представленный нарис.

2.18, имеет амплитудно-частотную характеристику и фазочастотную характеристику, показанные на рис. 2.21.◄K(f )(f )f0fабРис. 2.21. Амплитудно-частотная характеристика (а) и фазочастотнаяхарактеристика (б) RC-фильтра нижних частот642. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВЗначение комплексной частотной характеристики при заданнойчастоте f может в принципе быть измерено как отношение сигнала на выходе ЛИС-цепи к входному сигналу, если этот входнойсигнал – функция e j2 ft . Таким образом, функция e j2 ft при произвольно задаваемой частоте f может рассматриваться, как испытательный сигнал, позволяющий получить описание цепи(КЧХ). Другим испытательным сигналом является -функция, которая могла бы быть использована для получения отклика цепи ввиде импульсной характеристики.

Поскольку КЧХ и импульснаяхарактеристика связаны друг с другом взаимно однозначно (черезпару преобразований Фурье), должна существовать связь и междусоответствующими им испытательными сигналами. В самом деле,-функция может рассматриваться как интегральная сумма одновременно воздействующих на вход цепи функций e j2 ft , так как еѐспектральная плотность j2 ftdt  1 . (t )eКаждая из комплексных гармонических функций умножаетсяцепью на соответствующее значение КЧХ, поэтому импульснаяхарактеристика – отклик на -функциюh(t )   H ( f ) 1  e j2 ft dfпредставляет собой, образно говоря, «равнодействующую» откликов на все такие функции.Заметим, что указанные измерения КЧХ и импульсной характеристики на практике точно выполнить нельзя.

Даже если бы существовали абсолютно точные измерительные приборы, потребовалось бы бесконечное время для генерирования функций e j2 ft(нельзя забывать, что они определены на всей временнóй оси!) иизмерения отношений выходных сигналов к входным с бесконечнойточностью при всех значениях частоты f . В свою очередь, -функция представляет собой «бесконечно короткий импульс бесконечнобольшой амплитуды», который также не может быть реализованточно. На практике КЧХ и импульсная характеристика ЛИС-цепимогут быть измерены приближенно с помощью отрезков гармонических испытательных сигналов конечной продолжительности и коротких импульсов большой (но конечной) амплитуды.652.10. Ряд Фурье и интеграл ФурьеЧасто в выражениях, связанных со спектральным анализомсигналов и ЛИС-цепей, вместо частоты f используется круговаячастота  2 f .

Пара (2.18) – (2.19) преобразований Фурье в результате замены переменных принимает видH ( )   h(t )e j t dt ,h(t ) 1 j t H ( )e d .2 2.10. РЯД ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕКак было показано выше, гармонические функции e j2 ft играют исключительно важную роль в анализе цепей, как собственные функции любого линейного стационарного оператора. Благодаря этому среди всех базисов пространств сигналов, применяемыхв теории и практике, базис Фурье получил наибольшее распространение и заслуживает более детального изучения.2.10.1.

РЯД ФУРЬЕ, ЕГО ФОРМЫ, СВОЙСТВА СПЕКТРОВДля пространства сигналов конечной длительности и огра 1 j 2 ktниченной энергии L2 (T ) ортонормальный базис e T , Tk  , является полным, следовательно, всякий сигналx(t ) L2 (T ) можно на интервале  T / 2, T / 2 представить обобщенным рядом Фурье по ортонормальным функциям2x(t )  k k1 jTeTkt(2.38)или рядом Фурье по ортогональным функциямx(t )   Ck ek j2ktT.(2.39)662.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВСпектральные коэффициенты для этих рядов определяются выражениямиk1T /2TT / 2 x(t )ej2ktT dt(2.40)и2 j kt1 T /2Ck x(t )e T dt .T T / 2(2.41)Для ряда (2.38) справедливо равенство ПарсеваляT /22 x(t ) dt  T / 2k k2.Для ряда (2.39) выполняется равенствоT /2T / 2k 22 x(t ) dt  T  Ck .До сих пор базисные функции рассматривались на конечномвременнóм интервале  T / 2, T / 2 . Нетрудно видеть, что этифункции могут рассматриваться и вне этого интервала, т.е. на всейбесконечной временнóй оси. Поскольку всефункцииj2ktT ,ke ,  периодичны, причем для их периодов величинаT – наименьшее общее кратное, ряды (2.38) и (2.39), рассматриваемые на всей временнóй оси, определяют периодическую функцию, которая представляет собой сигнал x (t ) , повторяющийся спериодом T .Таким образом, ряд Фурье одинаково пригоден для представления сигналов конечной длительности и периодических сигналов.Коэффициенты в обоих случаях находятся по формулам (2.40) или(2.41).

Далее будет рассматриваться комплексный ряд Фурье вформе (2.39).Коэффициенты ряда Фурье (2.39) даже для вещественного сигнала в общем случае являются комплексными. Для удобства графического представления рассматривают отдельно модули и аргументы коэффициентов Ck  Ck e j k , при этом совокупность Ck , k  , называетсяамплитуднымспектром,а672.10. Ряд Фурье и интеграл Фурье ,  – фазовым спектром сигнала. Для наглядностиамплитудный и фазовый спектр изображают решетчатыми спектральными диаграммами, на которых соответствующие величиныпоказаны длинами отрезков, а сами эти отрезки размещены на частотной оси с шагом, равным в выбранном масштабе частоте повторения сигнала F  1 T (рис. 2.22).k,kСС –1С–4С–3–4С1С –2С2–3–2С3–1С4F 2F 3F 4F–4F –3F–2F –F 0–4F –3F–2F –F0 F2F 3F 4F ff1234абРис.

2.22. Амплитудная и фазовая спектральные диаграммы вещественного сигналаЕсли сигнал x (t ) принимает вещественные значения, амплитудный спектр обладает свойством четности, а фазовый – свойством нечетности. Действительно, для произвольного спектральногокоэффициента2 j kt1 T /2Ck x(t )e T dtT T / 2с учетом вещественности сигнала x* (t )  x(t ) и*C k22 1 T /2j kt j kt 1 T /2*Tdt   x(t )e x(t )e T dt   Ck .T T / 2T T / 2Таким образом, коэффициенты комплексного ряда Фурье вещественного сигнала попарно комплексно сопряжены. Пользуясьэтим свойством, для вещественных сигналов можно получить другую форму ряда Фурье, также находящую применение.Просуммируем пару базисных функций с номерами (индексами)k и (  k ) с учетом соответствующих спектральных коэффициентов:Ck ej2ktT C k ej2ktT Ck ej2ktT Ck*ej2ktT682.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ Ck e j k ej2ktT Ck e j k ej2ktT2 2 Ck cos  kt Tk . (2.42)Тогда ряд Фурье (2.39) можно записать в тригонометрическойформе2x(t )   Ak cos  kt Tk 0k ,(2.43)2 Ck , k  0,где Ak   C0 , k  0;все коэффициенты Ak вещественны.Ещѐ одна форма ряда Фурье для вещественных сигналов основана на разложении по тригонометрическим функциям, образующим ортогональный базисx(t ) a0  22   ak cos kt  bk sin kt  ,2 k 1 TT со спектральными коэффициентамиak 2 T /22x(t )cos  kt  dt , k  0,  ,T T T / 2bk 2 T /22 x(t )sin  T kt  dt , k  1,  .T T / 2Сложим с учетом коэффициентов две функции этого базиса,имеющие одинаковую частоту, и воспользуемся формулой Эйлера:ak cos22ekt  bk sin kt  akTT2a  jbk j T ke2j2ktTkte2j2ktT bk2a  jbk  j T ke2ektj2ktTe2jj2ktT.Сравнивая полученное выражение с выражениями (2.42), виa  jbka  jbkдим, что Ck  k, а C k  k, откуда следуют связи22692.10.

Ряд Фурье и интеграл Фурьемежду спектральными коэффициентами для различных форм рядаФурье:Ck ak2  bk22Ak  ak2  bk2 , A0 a0,2, C0 a0,2k arctgbk.akОчевидно, если сигнал представляет собой четную функцию, товсе синусоидальные компоненты ряда равны 0; аналогично, всекосинусоидальные компоненты равны нулю, если сигнал – нечетная функция (при этом равна нулю и постоянная составляющая).Пример 2.19. Периодическая с периодом T последовательность прямоугольных импульсов амплитуды U и длительности ипоказана на рис.

Характеристики

Список файлов книги