В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

2.23.Спектральные коэффициенты комплексного ряда Фурье находятся как2Ck  j ktU и sin k1 T /21 и /22T dt x(t)e U cos  T kt  dt  T kT T / 2T  и /2и /2,/и 22 2 F . ТакимTобразом, диаграмма амплитудного спектра сигнала, показанная нарис. 2.24, имеет огибающую в форме известной функции видаsin x. Заметим, что все коэффициенты Ck оказались вещественxными, так что фазовый спектр равен нулю для всех k . ЗначениеU ипостоянной составляющей сигнала C0  U q , где q  T и –Tпараметр импульсной последовательности, называемый скважностью.где введено обозначение круговой частотыu(t)U–2Т–Ти2Т2ТРис. 2.23.

Периодическая последовательностьпрямоугольных импульсовt702. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ1/иf0Рис. 2.24. Спектр периодической последовательностипрямоугольных импульсовПоследовательности прямоугольных импульсов широко применяются в радиотехнике и связи в качестве моделей реальныхсигналов, поэтому спектр данного сигнала достоин более внимательного рассмотрения.

Прежде всего, обратим внимание, что огибающая спектра впервые пересекает ось частот припри2иили при f  1и2и , т.е.. Таким образом, численное значениескважности прямоугольной импульсной последовательности показывает, во сколько раз полуширина главного лепестка огибающейспектра больше шага F  1 T следования по оси частот спектральных составляющих.Конечная сумма ряда Фурье может служить аппроксимациейсигнала. На рис.

2.25 показаны конечные суммы комплексного ряда Фурье периодической последовательности прямоугольных импульсов при числе слагаемых 5, 11 и 25. Видно, что аппроксимациястановится точнее с ростом количества слагаемых. Ошибка аппроксимации при удержании в сумме 2 N  1 слагаемых (от  N -годо N -го) может быть найдена на основе равенства Парсеваля как2 N 1 T  Ckk 2 T  Ckk  N 12 T  Ckk 2N T  Ckk  N2.◄При увеличении числа слагаемых ряда Фурье ошибка аппроксимации периодического сигнала стремится к нулю по норме пространства L2 (T ) , т.е.2T /2 T / 2 x(t )  x(t )2 dt  0 .(2.44)712.10. Ряд Фурье и интеграл Фурьеx(t)–2Т–Ти2Т2ТtТ2ТtТ2Тtx(t)–2Т–Ти2x(t)–2Т–Ти2Рис.

2.25. Аппроксимация периодической последовательности,показанной на рис. 2.23, суммой 5, 11 и 25 членов ряда ФурьеЗдесь x (t ) – аппроксимация сигнала x (t ) . При этом максимальноезначение разности стремится не к нулю, а к конечной величине(порядка 9 % от амплитуды импульса).

Это явление известно какявление Гиббса32. Причиной явления Гиббса является неравномерная сходимость33 ряда Фурье для разрывных функций. При равномерной сходимости предел последовательности непрерывныхфункций, каковыми являются конечные суммы ряда Фурье, самдолжен быть непрерывной функцией; в рассматриваемом же примере пределом является разрывная (скачкообразная) функция.В некоторых практических задачах таких, как синтез цифровыхфильтров, явление Гиббса нежелательно; существуют методыуменьшения гиббсовских пульсаций (осцилляций), основанные накоррекции коэффициентов ряда Фурье [5].32Джосайя Уиллард Гиббс (1839–1903) – выдающийся американский физик, одиниз основателей статистической физики.33Сходимость, описываемая выражением (2.44), называется среднеквадратической.722.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ2.10.2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕРяд Фурье представляет собой удобный инструмент анализа сигналов, заданных на конечном временном интервале, а такжепериодических колебаний, так как позволяет заменить несчетноемножество (континуум) значений аналогового сигнала счетныммножеством спектральных коэффициентов. Базис Фурьеej2ktT ,k , полон в пространстве L2 (T ) , поэтому любойсигнал из L2 (T ) можно сколь угодно точно аппроксимировать конечной суммой ряда Фурье, выбрав достаточно большое число слагаемых. Среди всех полных в L2 (T ) базисов базис Фурье имеет топреимущество, что он составлен из функций, собственных для любого ЛИС-оператора.

Это максимально упрощает анализ воздействия периодических сигналов на ЛИС-цепи.Для пространства L2 (,  ) сигналов ограниченной энергии,j2ktзаданных на всей временной оси, базис e T , k  ,  не является полным ни при каком T и, следовательно, непригоден дляпредставления сигналов, так как ошибку аппроксимации нельзя вобщем случае сделать произвольно малой путем учета достаточного числа слагаемых ряда Фурье. В самом деле, если сигнал имеетбесконечную длительность и конечную энергию, т.е. принадлежитпространству L2 (, ) , то он должен убывать при стремленииt   , и притом достаточно быстро. При любом выборе T рядФурье для такого сигнала определяет периодическую функцию,которая может совпадать с заданным сигналом только на интервале длительности T , а за его пределами неизбежно будет отличаться от него.

Более того, периодическая функция всегда имеет бесконечную энергию, поэтому и ошибка аппроксимации при любом Tбудет иметь бесконечную норму. Это и означает неполноту счетного базиса Фурье в L2 (, ) 34. Итак, единственным способомиспользовать комплексные экспоненты в качестве базисных функ-34Напомним, что в L2 (,) существуют полные ортонормальные счетныебазисы (например, базис, составленный из функций Эрмита [3]), но они, к сожалению, не являются собственными для ЛИС-цепей.732.10. Ряд Фурье и интеграл Фурьеций является переход к непрерывному представлению сигналов изL2 (, ) интегралом Фурьеx(t )   X ( f )e j 2 ft df ,(2.45)гдеX ( f )   x(t )e  j 2 ft dt(2.46)– спектральная плотность.Между рядом и интегралом Фурье имеется тесная связь. Рассмотрим непериодический сигнал x (t ) конечной длительности c .(Функция, равная нулю всюду за пределами интервала конечнойдлины, называемого носителем функции, называется финитной.)Спектральная плотность X ( f ) сигнала x (t ) определяется выражением прямого преобразования Фурье (2.46).

Повторение финитного сигнала x (t ) с периодом T , большим, чем длительность c ,дает периодический сигнал x (t )   x(t  kT ) , который в силуk своей периодичности может быть представлен рядом Фурье соспектральными коэффициентами, определяемыми выражением(2.41). Сравнивая выражения (2.46) и (2.41) и учитывая, что интеграл в бесконечных пределах от финитной функции равен интегралу по интервалу, содержащему носитель функции, можно записатьравенство2Ck  j kt1 T21 kx(t )e T dt  X   .T T 2T T (2.47)Таким образом, спектральная плотность импульсного сигналаимеет форму огибающей спектральных коэффициентов ряда Фурьепериодической последовательности, образованной повторениемданного импульсного сигнала с произвольным периодом.

Заметим,что с ростом периода повторения спектральные составляющиеследуют друг за другом по оси частот все более плотно. Непериодический сигнал представляет собой предельный случай периодического при T   , поэтому можно считать (нестрого!), что спектральная плотность – это «сплошная» совокупность спектральныхкоэффициентов. Следует, однако, иметь в виду, что «амплитуда»каждой спектральной составляющей при этом также стремится к742. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВнулю, в отличие от спектральной плотности. Кроме того, не следует забывать, что для сигнала x (t ) , имеющего размерность напряжения, спектральная плотность X ( f ) имеет размерность[Вольт/Герц], в то время как единицей измерения коэффициентовряда Фурье (2.41) является Вольт35.

Поэтому спектр периодического сигнала и спектральная плотность финитного сигнала – два различных объекта. Тем не менее формальное сходство, выражаемоеформулой (2.47), можно использовать, например, для расчета спектра последовательности, полученной периодическим повторениемфинитного сигнала с известной спектральной плотностью.Рассмотрим основные свойства преобразования Фурье, которые полезно знать при практическом его использовании. Для краткости будем использовать обозначение x(t )  X ( f ) для функцийвремени и частоты, связанных парой преобразований Фурье.1. Линейность k xk (t )   k X k ( f ) .kk2.

Дуальность (частотно-временная симметрия)x ( f )  X ( t ) ,(2.48)где x () понимается как спектральная плотность временной функции X () .Читателю предлагается доказать это свойство в качестве упражнения.3. Теорема сдвигаРассмотрим сигнал x (t )  x(t  ) . Его спектральная плотностьX ( f )   x(t  )e j2 ft dt   x( )e j2f(  )d  e j2fX(f ) .Таким образом, x(t  )  e j2 f X ( f ) .4. Теорема изменения масштабаРассмотрим сигнал xm (t )  x(mt ) , представляющий собой сигнал x (t ) , сжатый по оси времени в m раз, m  0 .

Его спектральнаяплотность j2 f d1 fmX m ( f )   x(mt )e j2 ft dt   x( )e X   . (2.49)mm m35Подразумевается, что функция exp( j 2 ft ) физической размерности не имеет.752.10. Ряд Фурье и интеграл ФурьеТеперь положим, что множитель m    0 .

ТогдаX m ( f )   x( t )e j2 ft dt   x( )e1 x ( )e j 2fd 1 j2 fd f X  . (2.50)Итак, объединяя (2.49) и (2.50), можно окончательно записатьx(mt ) 1 fX  .m m5. Теорема дифференцированияОбозначим через xd (t )  dx(t ) dt производную по временисигнала x (t ) . Спектральная плотность производной равнаdx(t )  j2 ftedt  x(t )e j2 dtXd ( f )  ft  j  2 f  x(t )e  j2 ft dt .Здесь использована формула интегрирования по частям. Первоеслагаемое полученного выражения равно нулю, так как сигнал x (t )в силу принадлежности L2 (,  ) , т.е. ограниченности энергии,t   .Такимобразом,стремитсякнулюприdx(t ) j2 f  X( f ) .dt6.

Характеристики

Список файлов книги