В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Аналитический сигналпоскольку подынтегральное выражение представляет собой чѐтную функцию – энергетический спектр вещественного сигнала.Аналитическийсигналможнозаписатьвформеj (t ), где функция (t ) представляет угловое положеz(t )  A(t )eние вектора на комплексной плоскости, т.е. фазу.

Производная фазы по времени называется (круговой) мгновенной частотой и определяется выражениемd (t ) d Im ln z (t ) .dtdtТогда мгновенная частотаf (t )  z '(t ) 1d 1Im  ln z (t ) Im 2 dt 2 z (t )   x '(t )  j  xˆ '(t ) x(t )  j  xˆ (t ) 1Im 2x 2 (t )  xˆ 2 (t )1 xˆ '(t ) x(t )  x '(t ) xˆ(t ).2x2 (t )  xˆ 2 (t )Понятие аналитического сигнала оказывается полезным приописании узкополосных сигналов, для которых спектральная плотность аналитического сигнала Z ( f ) в основном сосредоточенаоколо некоторой центральной частоты F0 (рис.

2.35). В частности,узкополосными являются сигналы, полученные путем модуляциигармонических несущих колебаний. Для узкополосного сигналафункция A(t ) имеет смысл огибающей, а фаза (t )  2 F0t  (t )складывается из линейно растущего со временем слагаемого имедленно47 меняющейся начальной фазы (t ) .Z(f)Согласно теореме модуляции(см. п. 2.10.2) умножение произвольного сигнала на комплексfF0ную экспоненту e j2 f0t эквивалентно сдвигу его спектральной Рис.

2.35. К понятию узкополосного сигналаплотности вправо на величину f0 .47В сравнении с колебанием частоты F0 .982. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВСдвинем спектральную плотность Z ( f ) с «центром тяжести» F0 ,показанную на рис. 2.35, влево на величину F0 , тогда получитсяколебание(t )  z(t )e j2F0tсо спектральной плотностью ( f )  Z ( f  F0 ) , рис. 2.36. Колебание (t ) , очевидно, является комплексным и низкочастотным(в том смысле, что его спектральная плотность сосредоточена около нулевой частоты). Можно считать, что аналитический сигналz (t ) получен модуляцией несущего гармонического колебания счастотой F0 комплексным колебанием (t ) , которое поэтому называется комплексной огибающей.

Комплексную огибающую(t )  A(t )e j (t ) можно представить в виде векторной диаграммы,показанной на рис. 2.37.Im(f)A(t )))(t ))RefРис. 2.36. Спектральная плотностькомплексной огибающей узкополосного сигналаРис. 2.37. Векторная диаграмма комплексной огибающейузкополосного сигналаДлина вектора, изображающего комплексную огибающую, иугол между ним и вещественной осью комплексной плоскостимедленно меняются в соответствии с функциями A(t ) и (t ) .Аналогичное представление аналитического сигнала отличаетсятем, что вектор дополнительно вращается против часовой стрелкис угловой скоростью (круговой частотой) 2 F0 .

Таким образом,узкополосный сигнал x (t ) можно рассматривать как гармоническое колебание, модулированное по амплитуде и фазе соответственно «медленными» функциями A(t ) и (t ) :x(t )  A(t ) cos  2 F0t  (t )   A(t ) cos (t ) .Очевидно, A(t )  x 2 (t )  xˆ 2 (t ) ,(t )  arg  x(t )  j  xˆ (t )  .(2.67)992.12.

Аналитический сигналКомплексная огибающая, как медленная комплексная функция,представляет собой сумму двух медленно меняющихся слагаемых(t )  u (t )  jv(t ) , поэтому исходный сигнал можно представить ввидеx(t )  Re (t )e j2F0t Re u (t )  jv(t ) cos(2 F0t )  j sin(2 F0t )   u(t )cos(2 F0t )  v(t )sin(2 F0t ) .(2.68)Колебание u (t ) называется синфазной, а колебание v(t ) –квадратурной составляющей (компонентой) узкополосного сигнала x (t ) . Вместе две эти функции называются квадратурными компонентами. Отметим, что по известным квадратурным компонентами частоте F0 формула (2.68) позволяет точно восстановить исходный сигнал x (t ) , поэтому вся информация, содержащаяся в сигнале,сохраняется в паре его квадратурных составляющих. Именно этодает основание заменять узкополосный сигнал его комплекснойогибающей (или, что эквивалентно, парой квадратурных компонент)тогда, когда это удобно с точки зрения решаемой задачи.В частности, такая замена может быть очень эффективной придискретизации узкополосного сигнала.

С информационной точкизрения вместо узкополосного сигнала можно передавать его квадратурные компоненты (предполагается, что частота F0 известна).Поэтому частота дискретизации должна выбираться так, чтобы поотсчетам можно было восстановить низкочастотные квадратурныекомпоненты, т.е. дискретизация узкополосного сигнала можетпроизводиться с частотой, вдвое превышающей верхнюю частоту вспектре комплексной огибающей, а не самого сигнала. Например,если сигнал занимает полосу частот от 990 кГц до 1 МГц, то частоту дискретизации достаточно выбрать равной 10 кГц, в то времякак без учета рассмотренных в этом разделе понятий частота дискретизации сигнала должна быть не менее 2 МГц.

Требования кчастоте дискретизации имеют жизненно важное значение при разработке цифровых систем связи, так как этим определяются сложность и стоимость системы, а иногда и ее принципиальная реализуемость.Синфазная компонента может быть найдена следующим образом:u (t )  Re  (t )  Re z(t )e j2F0t1002. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ Re  x(t )  j  xˆ (t )cos(2 F0t )  j sin(2 F0t )   x(t )cos(2 F0t )  xˆ(t )sin(2 F0t ) .Аналогично можно найти квадратурную компонентуv(t )  Im  (t )  xˆ (t ) cos(2 F0t )  x(t )sin(2 F0t ) .Таким образом, для сигнала x (t ) нужно вначале определитьсопряженный по Гильберту сигнал xˆ (t ) , после чего легко найтиквадратурные компоненты. Есть и другой способ, более простой спрактической точки зрения и реализуемый схемой, показанной нарис.

2.38. Покажем, что приведенная схема действительно выделяет квадратурные компоненты (с точностью до амплитудного множителя). В соответствии с выражением (2.68)x(t )cos(2 F0t )  u(t )cos2 (2 F0t )  v(t )sin(2 F0t )cos(2 F0t )  u (t )(1  cos(2  2 F0t ))sin(2  2 F0t )u (t )ФНЧ. v(t )222ФНЧ(Здесь символ  означает подавление составляющих высоких частот, имеющих порядок F0 и выше).Аналогично x(t )sin(2 F0t )  u(t )cos(2 F0t )sin(2 F0t )  v(t )sin 2 (2 F0t )  u (t )sin(2  2 F0t )1  cos(2  2 F0t )v(t )ФНЧ. v(t )222u (t ) / 2ФНЧx(t )cos 0tv(t ) / 2ФНЧsin 0tРис.

2.38. Выделение квадратурных компонентузкополосного сигнала2.12. Аналитический сигнал101Отметим, что опорные колебания отличаются лишь фазовым сдвигом / 2 , поэтому на практике обычно вырабатываются одним генератором с использованием фазовращателя. Значение квадратурных компонент для практики иллюстрируется следующимипримерами.Пример 2.24. Предположим, что рассматриваемый узкополосный сигнал x (t ) представляет собой амплитудно-модулированноеколебание, тогда вектор, изображающий комплексную огибающую,изменяется только по длине (норме), угловое же его положениеопределяется начальной фазой несущего колебания и постоянно.Начало отсчета начальной фазы определяется на практике начальной фазой опорного колебания в канале выделения синфазнойкомпоненты, поэтому если начальная фаза несущего колебанияизвестна, можно обеспечить синфазность (когерентность) несущего и опорного колебаний. Тогда вектор, изображающий комплексную огибающую, направлен вдоль вещественной оси комплекснойплоскости, и квадратурная компонента всегда равна нулю.

Квадратурный канал схемы, показанной на рис. 2.36, оказывается ненужным. На выходе синфазного канала наблюдается колебание u (t ) / 2 ,пропорциональное закону изменения огибающей, т.е. закону модуляции. Таким образом, синфазная часть схемы может использоваться при указанных условиях для демодуляции (детектирования)АМ-колебаний и называется в таких случаях синхронным (когерентным) детектором. ◄Пример 2.25. Предположим теперь, что узкополосный сигналx (t ) представляет собой колебание с фазовой модуляцией (ФМсигнал), тогда вектор, изображающий комплексную огибающую,имеет постоянную длину, а его угловое положение медленно меняется по закону модуляции фазы. Если изменения угла невелики(индекс модуляции мал), синфазная компонента меняется в небольших пределах и может считаться приближенно постоянной, асинфазный канал можно исключить из схемы.

Квадратурная составляющая, напротив, меняется заметно и при условии малостииндекса приближенно пропорциональна изменениям угла, т.е. закону фазовой модуляции. Квадратурная часть схемы представляетсобой синхронный детектор, в котором опорное колебание сдвинуто по фазе на 90º относительно несущего колебания; такое устройство применяется для детектирования ФМ-колебаний (подробнеесм. разд. 5). ◄1022. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВКОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ1.

Какие преимущества дает представление сигналов как элементов векторного пространства?2. Какие сигналы называются ортогональными?3. Что можно сказать о сигналах x иy , если( x, y)   x 2 y 2 ?4. Что такое ортонормальный базис?5. В чем состоит практический смысл требования полноты базиса?6. Что такое явление Гиббса и в чем его причина?7. Сформулируйте принцип суперпозиции.8. Запишите выражение, описывающее произвольный линейный оператор, действующий в пространстве L2 (, ) .9. Запишите выражение, описывающее линейный инвариантный к сдвигу (стационарный) оператор, действующий в пространстве L2 (, ) .10. Чем объясняется особая роль ряда и интеграла Фурье ванализе сигналов и цепей?11.

Характеристики

Список файлов книги