В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Теорема интегрированияОбратной к теореме дифференцирования является теорема интегрированияt1 x(t )dt  j  2 f X ( f ) X (0) ( f ).2(2.51)7. Теорема модуляцииПод модуляцией здесь подразумевается умножение сигналаx (t ) на комплексную экспоненциальную функцию e j2 f0t :j 2 x(t )ef0t  j 2 fteтак что x(t )e j2dt   x(t )e j2f0t X ( f  f0 ) .( f  f 0 )tdt  X ( f  f 0 ) ,762. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ8. Теорема свѐрткиx(t )  y(t )  X ( f )Y ( f )была фактически доказана в разд. 2.9.9. Теорема умноженияx(t ) y (t )  X ( f )  Y ( f )справедлива в силу теоремы свѐртки и свойства дуальности преобразования Фурье.10. Теорема сопряженияЕсли комплексному сигналу x (t ) соответствует спектральнаяплотность X ( f ) , то для комплексно сопряженного сигнала справедливо соответствие x* (t )  X * ( f ) :* x (t )e j 2 ftdt    x(t )e  j2(  f )t*dt   X * ( f ) .11.

Теорема обращенияОбращение сигнала означает перемену знака аргумента (времени). Обозначим сигнал x (t ) , обращенный во времени,x _(t )  x(t ) . Его спектральная плотность:X  ( f )   x(t )e j2 ft dt   x( )e j2  x( )e j2( f )f( d ) d  X ( f ) ,так что обращение временнóй оси в обычном временнóм описаниисигнала эквивалентно обращению оси частотной в его спектральном представлении: x(t )  X ( f ) .Рассмотренные свойства преобразования Фурье справедливыдля произвольных комплексных сигналов.

На практике часто имеются дополнительные сведения о сигнале, которые позволяют упростить решение задачи спектрального анализа с учѐтом частныхсвойств спектральных плотностей.Например, предположение о том, что сигнал x (t ) является вещественным, приводит к свойству сопряженной симметрии спектральной плотности:X ( f )  X * ( f ) ,772.10. Ряд Фурье и интеграл Фурьеили, что равносильно, X ( f )  X ( f ) и arg X ( f )   arg X ( f ) .В самом деле,X ( f )   x(t )e j 2 ft* dt    x(t )e j 2 ft dt     x(t )e  j 2   (  f )t*dt  .Это обстоятельство следует учитывать при решении практических задач, так как в большинстве случаев рассматриваются именно вещественные сигналы.

В частности, такая симметрия спектра(спектральной плотности) используется в технике связи: дляуменьшения требуемой пропускной способности каналов связиприменяются амплитудно-модулированные сигналы с одной боковой полосой (ОБП-сигналы).Если сигнал является вещественным и четным, то его спектральная плотность также вещественна и чѐтна:X ( f )  X ( f ) .Это утверждение следует из того, что обращение во времени неизменяет вещественного чѐтного сигнала, а следовательно, невлияет и на его спектральную плотность, которая должна, такимобразом, быть инвариантной к обращению частоты, т.е. вещественной и чѐтной.Если сигнал является вещественным и нечетным, то его спектральная плотность – мнимая и нечетная:X ( f )   X ( f ) .Действительно, обращение во времени изменяет знак нечѐтногосигнала, следовательно, его спектральная плотность также должнапри обращении частоты лишь менять знак, но, поскольку спектральная плотность вещественного сигнала сопряженносимметрична, отсюда следует, что еѐ вещественная часть равнанулю, т.е.

спектральная плотность является мнимой.Спектральная плотность сигнала e j2 f0t как «обычная функция» не существует, так как e j2 f0t не принадлежит пространствуL2 (, ) . В то же время решение многих задач упрощается, есливсе же определить спектральную плотность комплексной экспоненты в терминах теории обобщенных функций. Отыскание спектральной плотности сигнала e j2 f0t сводится к нахождению прямого преобразования Фурье отрезка функции e j2 f0t длительности782. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВи предельному переходу при   . В том, что спектральнаяплотность сигнала e j2 f0t представляет собой -функцию (является сингулярной)36, легко убедиться, если найти сигнал, соответствующий спектральной плотности ( f  f0 ) , через обратное преобразование Фурье:j2 ftdf  e j2 ( f  f 0 )ef0t.Спектральные плотности гармонических сигналов cos(2 f0t ) иsin(2 f0t ) легко находятся с учетом формул Эйлера:cos(2 f0t ) sin(2 f0t ) 1 ( f  f0 )  ( f  f0 ) ,21 ( f  f0 )  ( f  f0 ) .2jПример 2.20.

Балансно-модулированное колебание (см. разд. 5)может быть получено путем перемножения модулирующего сигнала x (t ) и несущего гармонического колебания cos(2 f0t ) . Спектральную плотность балансно-модулированного сигнала можнонайти, воспользовавшись теоремой умножения с учетом вида спектральной плотности косинусоидального колебания:x(t )cos(2 f0t ) X ( f  f0 ) X ( f  f0 ).22Тот же результат можно получить на основе теоремы модуляции исвойства линейности преобразования Фурье. ◄Во многих задачах одновременно присутствуют периодическиеи непериодические сигналы. Для того чтобы можно было пользоваться общим математическим аппаратом интеграла Фурье, найдемспектральную плотность T -периодического сигнала, которыйможно записать в виде ряда Фурьеx(t )   Ck ek 36j2ktT.От англ.

single – единственный; в названии отражается тот факт, что вся спектральная «масса» сосредоточена в одной точке частотной оси.792.10. Ряд Фурье и интеграл ФурьеУчитывая линейность преобразования Фурье и зная спектральную плотность комплексной экспоненциальной функции, запишемспектральную плотность в виде2 X ( f )   Ck  f  k.T k (2.52)Таким образом, спектральная плотность периодического сигнала сингулярна, т.е.

состоит из -функций, сосредоточенных начастотах, кратных частоте повторения сигнала.2.10.3. КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫЕХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХСИГНАЛОВСогласно обобщенной формуле Рэлея (2.20) скалярное произведение двух детерминированных сигналов может быть найденокак во временной, так и в частотной области:( x, y )   x(t ) y* (t )dt   X ( f )Y * ( f )df .Подынтегральное выражение правой части этого равенстваWxy ( f )  X ( f )Y * ( f )называется взаимной спектральной плотностью сигналов x (t )и y (t ) .В частном случае при x(t )  y (t ) взаимная спектральная плотность превращается в энергетический спектр сигнала2Wx ( f )  X ( f ) .Смысл энергетического спектра выясняется, если выразитьэнергию сигнала через скалярное произведениеEx  ( x, x)   X ( f ) X * ( f )df   Wx ( f )df .Таким образом, функция Wx ( f ) описывает распределениеэнергии сигнала по частотной оси (поэтому правильнее было быназывать ее спектральной плотностью энергии).

Заметим, что802. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВспектральная плотность сигнала X ( f ) является комплекснойфункцией, аргумент которой теряется при переходе от X ( f ) кWx ( f ) , поэтому в общем случае сигнал нельзя восстановить поего энергетическому спектру37.Взаимная спектральная плотность характеризует сходство сигналов в том смысле, что интеграл от нее равен их скалярному произведению.

В частности, для ортогональных сигналов взаимнаяспектральная плотность такова, что при интегрировании дает 0, т.е.различные частотные составляющие взаимной спектральной плотности ортогональных сигналов при интегрировании компенсируютдруг друга.Для энергетического спектра и взаимной спектральной плотности, как функций частоты, можно определить при помощи обратного преобразования Фурье (если оно существует) соответствующие временные функции. Запишем вначале обратноепреобразование Фурье для взаимной спектральной плотностиBxy ( )   Wxy ( f )e j2fdf   X ( f )Y * ( f )e j2fdf .Обозначим Y * ( f )e j2 f  Y * ( f ) , где Y ( f )  Y ( f )e j2 f –спектральная плотность сигнала y (t )  y(t  ) , равного сигналуy (t ) , задержанному на величину . ТогдаBxy ( )   X ( f )Y * ( f )df   x(t ) y* (t  )dt  ( x, y ) .Полученная функция характеризует сходство сигнала x (t ) исигнала y (t )  y(t  ) в зависимости от значения сдвига, и называется взаимно корреляционной функцией (ВКФ) детерминированных сигналов x (t ) и y (t ) .Аналогично функцияBx ( )   Wx ( f )e j237fdf   X ( f ) X * ( f )e j2fdf ,Заметим, что в частных случаях это можно сделать, если имеются дополнительные сведения, например о том, что X ( f ) есть вещественная четная функция.812.10.

Ряд Фурье и интеграл Фурьехарактеризующая сходство сигнала x (t ) и его задержанной копииx (t )  x(t  )Bx ( )   X ( f ) X * ( f )df   x(t ) x* (t  )dt  ( x, x ) , (2.53)называется автокорреляционной функцией (АКФ) детерминированного сигнала.Автокорреляционная функция обладает некоторыми свойствами, которые важно знать для ее правильного использования.1.

Автокорреляционная функция достигает максимума при 0 и равна при этом значении аргумента энергии сигнала:Bx (0)  max Bx ( )  Ex .(2.54)Доказать это свойство легко при помощи неравенства Шварца.2. Автокорреляционная функция обладает свойством сопряженной симметрии:Bx ( )   x(t ) x* (t  )dt   x(  ) x* ( )d *   x( ) x* (  )d   Bx* ( ) . В частности, АКФ вещественного сигнала – четная функция.Взаимно корреляционная функция указанными свойствами необладает: например, для ортогональных сигналов она равна нулюпри нулевом сдвиге; в остальном ее форма определяется формамиобоих сигналов.Введенные функции играют очень важную роль, в частности,при выборе сигналов для синхронизации систем связи, что иллюстрируется следующим примером.Пример 2.21.

Многие системы связи нуждаются в синхронизации, т.е. в одновременном начале (с точки зрения устройств передачи и приема) интервалов времени, в течение которых передаютсяи принимаются сигналы38. Для того чтобы синхронизировать приемник, необходимо время от времени передавать некоторый спе38Говоря здесь об одновременности, мы для простоты не учитываем время передачи сигнала по каналу связи.822. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВциальный сигнал, играющий роль временнóй метки, временнóеположение которой приемник должен измерить, чтобы «сверитьчасы». Измерение временнóго положения синхронизирующегосигнала производится при помощи многоканального устройства,структурная схема которого показана на рис.

2.26.Рис. 2.26. Измерение временнόго положениясинхронизирующего сигналаВ каждом канале вырабатывается значение взаимно корреляционной функции принятого сигнала и одного из n опорных сигналов; каждый из опорных сигналов представляет собой копиювходного сигнала, задержанную на величину, кратную некоторомушагу .

Шаг выбирается исходя из требуемой точности измерениязадержки, при этом для достижения большей точности шаг необходимо уменьшать. Число каналов n определяется диапазоном измеряемых задержек и величиной шага . Легко видеть, что величины на выходах интеграторов представляют собой отсчеты АКФпринимаемого сигнала, взятые с интервалом .С учетом 1-го свойства АКФ, если задержка входного сигналасоставляет k , то на выходе k -го канала значение ВКФ достигнетмаксимума и будет равно энергии сигнала. Устройство выборамаксимума УВМ вырабатывает оценку  по номеру канала, на выходе которого имеет место максимальное значение интеграла   arg max( x, xk ) ◄k832.10.

Характеристики

Список файлов книги