В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

На рис. 2.31 показаны импульсная характеристика идеальной интерполирующей цепи 0 (t ) (штриховая линия)0(t)0h( t )tРис. 2.31. Аппроксимация импульсной характеристики интерполирующейцепи43Сложность цепи при этом также возрастает.91и аппроксимирующая ее функция h (t ) (сплошная линия). Очевидно, при соблюдении условия каузальности повышение точностиаппроксимации неизбежно приводит к сдвигу функции вправо, азначит, увеличивает задержку восстановленного сигнала.Нереализуемым является и сигнал, описываемый выражением(2.59), так как в него входят -функции. На практике вместо нихиспользуются короткие44 импульсы.Необходимо отметить, что выражение (2.59), описывающеепроцесс восстановления аналогового сигнала по его отсчетам, иногда неправильно связывают с процессом дискретизации сигнала.На самом деле взятие (одиночного) отсчета аналогового сигнала впроизвольный момент времени t0 представляет собой стробирование и описывается выражением типа свертки2.11.

Дискретизация сигналов. Теорема отсчетовx(t0 )   x(t ) (t  t0 )dt   x(t ) (t0  t )dt ,(2.61)а не умножения, как в (2.59).Реальное взятие отсчета производится устройством, в которомвыполняется свертка аналогового сигнала не с -функцией, как ввыражении (2.61), а с некоторым реальным импульсом d (t ) . Этотимпульс должен быть «похож» на -функцию, в частности, ондолжен быть коротким и интеграл от него должен быть равен 1.Для простоты примем в качестве d (t ) прямоугольный импульсдлительностии амплитуды 1/ . Свертке сигнала x (t ) с такимимпульсом соответствует умножение спектральной плотностиX ( f ) на спектральную плотность прямоугольного импульса,имеющую, как известно, форму функции вида sin x / x , поэтомупри стробировании реальным импульсом конечной длины всегдапроисходит искажение спектра сигнала.

Для уменьшения такогоискажения необходимо стремиться к уменьшению длительностиимпульса d (t ) , при этом форма импульса не играет заметной роли.Все реальные сигналы имеют конечную длительность, поэтомуспектральная плотность реального сигнала не может быть финитной. Нефинитность спектра сигнала приводит к тому, что «хвосты» копий спектральной плотности X ( f ) при периодическом44Здесь импульс считается коротким, если его длительность много меньше величины 1/ Fв .922. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВповторении накладываются друг на друга и суммируются, приводяк необратимому искажению сигнала45. Применяемая до дискретизации фильтрация сигнала при помощи фильтра нижних частот схарактеристикой, близкой к прямоугольной, подавляет эти «хвосты», уменьшая погрешность интерполяции.Итак, точному восстановлению аналогового сигнала по последовательности его отсчѐтов препятствуют:1) конечная длительность любого реального сигнала и, какследствие, бесконечная ширина его спектра;2) конечная длительность реального стробирующего импульсаи, как следствие, искажение формы спектра сигнала при дискретизации;3) невозможность точно реализовать интерполирующийфильтр.Несмотря на эти ограничения, дискретизация широко применяется на практике, в частности, она является необходимой частьюцифровой обработки сигналов.2.12.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛВ теории электрических цепей, как известно, широко используется метод представления гармонических колебаний комплексными векторами (метод комплексных амплитуд), состоящий в том,что гармоническое колебание Um cos(2 ft  ) рассматривается каквещественная часть комплексной функции U me j (2 ft  ) , котораяизображается вектором в комплексной плоскости, вращающимся спостоянной угловой скоростью  2 f ; при этом вектор имеетдлину Um и при t  0 составляет с вещественной осью комплексной плоскости угол . Аналогичное представление можно ввестидля сигнала произвольной формыx(t )  Re{z (t )} ,где z(t )  x(t )  j  xˆ(t ) – комплексное колебание (аналитическийсигнал), мнимая часть которого xˆ (t ) должна однозначно определяться исходным сигналом x (t ) .45Это явление называется подменой частот; в англоязычной литературе используется название aliasing.932.12.

Аналитический сигналЗаметим, что для гармонического колебания справедливо равенствоe j2 ft  e j2 ft,cos(2 ft ) 2т.е. переход от гармонического колебания Um cos(2 ft  ) к егокомплексному представлению U me j (2 ft  ) сводится к отбрасыванию составляющей с отрицательной частотой и умножению оставшегося слагаемого на 2. Поскольку колебание произвольнойформы можно представить суперпозицией гармонических колебаний (в форме ряда или интеграла Фурье), для любого сигнала x (t )переход к его комплексному представлению z (t ) должен сводитьсяк тем же операциям – подавлению спектральных составляющих сотрицательными частотами и удвоению остальных.Таким образом, преобразование произвольного сигнала x (t ) ваналитический сигнал z (t ) эквивалентно его прохождению черезЛИС-цепь с комплексной частотной характеристикой2, f  0,(2.62)H( f )   0, f  0(рис.

2.32, а). Поскольку вещественная часть аналитического сигнала есть исходный сигнал x (t ) , это преобразование можно такжепредставить схемой рис. 2.32, б.Рассматривая спектральные представления исходного и аналитического сигналов X ( f ) и Z ( f )  X ( f )  jXˆ ( f ) совместно с выражением (2.62), видим, что для спектральных плотностей должнывыполняться условия jXˆ ( f )  X ( f ) при f  0,(2.63) jXˆ ( f )   X ( f ) при f  0,x(t )x(t )H( f )z (t )x(t )x(t )x(t )Hг ( f )xˆ(t )абРис.

2.32. Преобразование вещественного сигналав аналитический сигнал942. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВкоторые можно переписать в форме Xˆ ( f )   jX ( f ) при f  0, Xˆ ( f )  jX ( f ) при f  0.(2.64)Таким образом, мнимая часть xˆ (t ) может быть получена воздействием сигнала x (t ) на фильтр–преобразователь Гильберта схарактеристикой j , f  0,Hг ( f )   j , f  0.АЧХ такого фильтра постоянна и равна 1 при всех значенияхчастоты, а его ФЧХ равна  / 2 в области положительных частоти / 2 при отрицательных частотах (рис.

2.33).H (f )1f(f )/2f /2Рис. 2.33. АЧХ и ФЧХ преобразователяГильбертаНайдем импульсную характеристику преобразователя Гильберта. Непосредственное определение обратного преобразования Фурье невозможно, так как КЧХ является неинтегрируемой функцией. Представим АЧХ пределомH ( f )  lim e0fфункции,спадающей при увеличении модуля частоты экспоненциально спараметром , тогдаhг (t )   H ( f )e j2 ft df 952.12. Аналитический сигнал0 lim  je f e j2 ft df  lim   je f e j2 ft df 0 0 0 0 lim  j  e(0    1 lim  j e(0 j2 t  j2 t ) fdf  j  e(  j2 t ) f0 j 2 t ) f01e(   j2 t 11 lim  j 0    j  2 t  j2df   j 2 t ) f 0   1 .t tПолученная импульсная характеристика показана на рис. 2.34.Поскольку x (t ) преобразуется в xˆ (t ) ЛИС-цепью, выходнойсигнал можно записать как сверткуxˆ (t )  x(t )  hГ (t )   x( )hГ (t  )d ,илиxˆ (t ) 1x( )d . t Сравнивая (2.63) и (2.64), можновидеть, что x(t )   xˆ(t )  hГ (t ) , илиx(t )  1(2.65)hг (t)xˆ ( )1  xˆ ( )d t d . t (2.66)Выражения (2.65) и (2.66) представляют собой прямое и обратноепреобразования Гильберта (см.

пример 2.15). Очевидно, эти преобразования линейны, поэтому, заменивна s , можно (2.66) рассматривать какинтегральное представление сигналаtРис. 2.34. Импульсная характеристика преобразователя Гильберта962. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВx (t ) спектральной плотностью xˆ () относительно ядразаписать в видеx(t ) 11и(s  t )xˆ ( s)ds . s  tПрямое преобразование (2.65) можно переписать в видеxˆ ( s ) 1x(t )dt , s  tоткуда видно, что ядро является самосопряженным (так как ядрапрямого и обратного преобразований Гильберта являются комплексно сопряженными46).Ввиду важности преобразования Гильберта для техники связиприведем его основные свойства.

Напомним, что самосопряженноеядро является непрерывным аналогом ортонормального базиса,поэтому выполняется обобщенная формула Рэлея1) ( xˆ, yˆ )  ( x, y)и, в частности, равенство Парсеваля2) ( xˆ, xˆ)  ( x, x) .Преобразование Гильберта, таким образом, сохраняет энергиюсигнала (что естественно, поскольку фильтр Гильберта имеет АЧХ,тождественно равную 1). Более того, сохраняется энергетическийспектр сигнала, а значит, и АКФ:3) Wxˆ ( f )  Wx ( f ) ;4) Rxˆ ( )  Rx ( ) ;5) если x (t ) = const, то xˆ(t )  0 в силу нечетности функцииhг (t ) ;6) если x (t ) – вещественный сигнал, то x (t ) и xˆ (t ) ортогональны. Действительно,( x, xˆ )   X ( f ) Xˆ  ( f )df  [в соответствии с (2.64)]00  j  X ( f ) X  ( f )df  j  X ( f ) X  ( f )df  0 ,46В данном случае они просто совпадают, так как являются вещественными.972.12.

Характеристики

Список файлов книги