В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

В частности, рассматриваяпроцесс в n временных сечениях (при t  t1,..., tn ), получаем n -мерные совместные функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайных величин x(t1 ), … x(tn ) , определяемыевыражениемP1 x1 ,...,nx1xn xn   F ( x1 ,..., xn )   ...  w( x1 ,..., xn ) dx1...dxn .Здесь и далее зависимость от времени явно не указана для упрощения записи.

Для n -мерной ПРВ выполняется условие нормировки ...  w( x1 ,..., xn )dx1...dxn  1 .Случайный процесс считается полностью определенным, еслидля любого n можно записать его совместную ПРВ при любомвыборе моментов времени t1 ,..., tn . Следует отметить, что на практике это удается сделать крайне редко53.Часто при описании случайного процесса можно ограничитьсясовокупностью его смешанных начальных моментов (если они существуют, т.е. сходятся соответствующие интегралы)mk1...kn   ...

 x1k1 ...xn kn w( x1 ,..., xn )dx1...dxn(3.6)и смешанных центральных моментовM k1...kn   ...  ( x1  mx1 )k1 ...( xn  mxn )kn w( x1 ,..., xn )dx1...dxn (3.7)при целых неотрицательных k1,..., kn и целом n .53Исключение составляют гауссовские и марковские процессы, а такжепроцессы с распределением Гиббса.3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ116В частности, полагая в (3.6) k1  1 , k2  ...

 kn  0 , получаемпервый начальный момент (математическое ожидание) при t  t1 ;при k1  2 , k2  ...  kn  0 выражение (3.6) определяет среднийквадрат, а выражение (3.7) – дисперсию в соответствующем сечении. Если под случайным процессом подразумевается сигнал вформе напряжения, то математическое ожидание имеет смысл егосреднего значения («медленной» составляющей), средний квадрат – полной мощности, а дисперсия – мощности флюктуационной(«быстрой») составляющей.В общем случае моменты совместной ПРВ зависят от расположения сечений на оси времени и называются моментными функциями. Чаще всего используют второй смешанный центральныймомент M11  Rx (t1 , t2 )    ( x1  mx1 )( x2  mx2 ) w( x1 , x2 )dx1.dx2   ( x1  mx1 )( x2  mx2 ) ,называемый функцией автокорреляции или автокорреляционнойфункцией54 (АКФ).

Напомним, что здесь и далее явно не указаназависимость от времени, в частности, функциями времени являются mx1  mx1 (t1 ) и mx2  mx2 (t2 ) .Можно рассматривать совместно два случайных процесса x (t )и y (t ) , которые в общем случае не являются независимыми в вероятностном смысле; такое рассмотрение предполагает их совместное описание в виде совместной многомерной ПРВ, а также в видесовокупности всех моментов, в том числе смешанных.

Наиболеечасто при этом используют второй смешанный центральный момент Rxy (t1 , t2 )    ( x1  mx1 )( y2  m y2 ) w( x1 , y2 )dx1dy2   ( x1  mx1 )( y2  m y2 ) ,54Ни в коем случае не следует путать понятия АКФ для случайных процессов и для детерминированных сигналов, которые имеют совершенноразный смысл!1173.2. Случайные процессы и их описаниеназываемый взаимно корреляционной функцией Rxy (t1 , t2 ) . Как иАКФ, взаимно корреляционная функция (ВКФ) является функциейдвух переменных.Среди всех случайных процессов выделяют СП, для которыхсовместная n -мерная ПРВ не изменяется при одновременном изменении (сдвиге) всех моментов времени на одну и ту же величину. Такие процессы называются стационарными в узком смысле,или строго стационарными.Чаще всего на практике ограничивают рассмотрение случайными процессами с ослабленным условием стационарности.

СПназывается стационарным в широком смысле, если при одновременном сдвиге сечений не изменяются лишь его моменты не вышевторого порядка. Практически это означает, что СП x (t ) стационарен в широком смысле, если он имеет постоянные среднее (математическое ожидание mx ) и дисперсию Dx , а АКФ зависит толькоот разности моментов времени, но не от их положения навременнóй оси:1) mx (t )  mx ,2) Rx (t1, t2 )  Rx (t2  t1)  Rx ( ) .Заметим, что Rx (0)  Dx , откуда и следует постоянство дисперсии.Нетрудно убедиться, что процесс, стационарный в узком смысле, стационарен и в широком смысле. Обратное вообще неверно,хотя существуют процессы, для которых стационарность в широком смысле означает и стационарность в узком смысле.Пример 3.4.

Совместная n -мерная ПРВ отсчетов x1,..., xn гауссовского процесса, взятых в моменты времени t1 ,..., tn , имеет видw( x1 , x2 ,...., xn ) 1(2 )n/21 2 .... n| r |1/ 2e( x m ) ( x j m j )1 n nA i i2|r| i 1 j 1 ijij,(3.8)где r – определитель квадратной матрицы, составленной из попарных коэффициентов корреляции отсчетов; A ij – алгебраическое дополнение элемента rij этой матрицы.Как видно из выражения (3.8), совместная ПРВ полностью определяется математическими ожиданиями, дисперсиями и коэффи-3.

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ118циентами корреляции отсчетов. Таким образом, зная моментныефункции не выше второго порядка, при любом n можно записатьсовместную ПРВ. Если процесс стационарен в широком смысле,то все математические ожидания одинаковы, все дисперсии (а значит, и СКО) равны друг другу, а коэффициенты корреляции определяются только тем, насколько моменты времени t1 ,..., tn отстоятдруг от друга. Тогда, очевидно, ПРВ (3.8) не изменится, если всемоменты t1 ,..., tn сдвинуть влево или вправо на одну и ту же величину.

Отсюда следует, что гауссовский процесс, стационарныйв широком смысле, стационарен и в узком смысле (строго стационарен). ◄Среди стационарных случайных процессов часто выделяют более узкий класс эргодических случайных процессов. Для эргодических процессов моменты, найденные усреднением по ансамблю,равны соответствующим моментам, найденным усреднением повремени55 единственной реализации (t ) :mk Mk  x(t )k x(t )  mk1Tk  (t ) dt ,T  T 0 lim1Tk  (t )  m dtT  T 0 lim(здесь  – символическое обозначение оператора усреднения повремени).В частности, для эргодического процесса математическое ожидание, дисперсия и АКФ равны соответственно:1T (t )dt ,T  T 0m  x(t )  limD x(t )  m21T2(t )  m dt ,T  T 0 limR( )   x(t )  m x(t  )  m  x(t ) x(t  )  m2 1T2 (t ) (t  )dt  m .T  T 0 lim55Строгое определение эргодичности выходит за рамки учебника (см.,напр., [7]).3.2.

Случайные процессы и их описание119Эргодичность представляет собой весьма желательное свойство, так как дает возможность практически измерять числовые характеристики случайного процесса. Дело в том, что обычно наблюдателю доступна лишь одна (хотя, возможно, достаточнодлинная) реализация случайного процесса.

Эргодичность означает,по существу, то, что эта единственная реализация является полноправным представителем всего ансамбля.Пример 3.5. Измерение характеристик эргодического процессаможет быть выполнено при помощи простых измерительных устройств; так, если процесс представляет собой напряжение, зависящее от времени, то вольтметр магнитоэлектрической системыизмеряет его математическое ожидание (постоянную составляющую), вольтметр электромагнитной или термоэлектрической системы, подключенный через разделительную емкость (для исключения постоянной составляющей), – его среднеквадратическоезначение (СКО).

Устройство, структурная схема которого показанана рис. 3.5, позволяет измерить значения функции автокорреляциипри различных значениях задержки .Рис. 3.5. Измерение автокорреляционной функцииэргодического процессаФильтр нижних частот играет здесь роль интегратора, конденсатор выполняет центрирование процесса, так как не пропускаетпостоянную составляющую тока. Это устройство называется коррелометром.◄Достаточными условиями эргодичности стационарного случайного процесса служат условие стремления АКФ к нулюlim R( )  0 ,а также менее сильное условие Слуцкого1T R( )d  0 .T  T 0lim3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ1203.3. КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯСЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВТочное решение задач, связанных с анализом случайных процессов и их воздействия на ЛИС-цепи, сопряжено с большимитрудностями, так как предполагает отыскание совместной n -мернойПРВ для выходного процесса.

Значительно проще решается задачаанализа, если интересоваться только моментными характеристикамипервого и второго порядка, которые определяют свойство стационарности в широком смысле. Учитывая, что большинство реальнонаблюдаемых процессов удовлетворительно описываются гауссовской моделью, а гауссовские процессы полностью определяютсямоментными характеристиками не выше второго порядка, во многихслучаях ограничиваются анализом на уровне математических ожиданий (средних) и корреляционных функций.Рассмотрим вещественный стационарный случайный процессx (t ) с нулевым средним.

Его реализация, как детерминированнаяфункция, может быть представлена обратным преобразованиемФурье(t )  ( f )e j2 ft df ,где ( f ) – спектральная плотность реализации. (Следует иметь ввиду, что почти все56 реализации стационарного СП не принадлежат пространству сигналов конечной энергии L2 , поэтому ихспектральные плотности можно рассматривать лишь в терминахобобщенных функций, так как соответствующие интегралы в классическом смысле расходятся. Однако, поскольку нас будут интересовать лишь усредненные величины и функции, важна лишь интегрируемость соответствующих математических ожиданий.)Случайный процесс x (t ) можно записать в видеx(t )   X ( f )e j2 ft df ,где X ( f ) – также случайный процесс (в соответствии с природойпреобразования Фурье – это тот же процесс, представленный вдругом «базисе»). Выясним, что это за процесс.56Заметим, что здесь выражение «почти все» понимается в строгом вероятностном смысле и означает «с вероятностью единица».1213.3.

Характеристики

Список файлов книги