В.Н. Васюков - Теория электрической связи (1266498), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Какое из утверждений правильно: 1) случайная величина –это число; 2) случайная величина – это функция? Почему?2. Перечислите свойства функции распределения и плотностираспределения вероятностей случайной величины.3. Что такое моменты распределения СВ?4. Как определить энтропию распределения СВ?5. Может ли дисперсия СВ равняться нулю?6. Может ли математическое ожидание СВ равняться нулю?7. Что такое корреляция и как она связана с ковариацией?8.

Что является полным описанием случайного процесса?9. Что получится, если N -мерную совместную плотностьраспределения вероятностей случайного процесса проинтегрировать по ( N  1) переменным?10. Какой процесс называется стационарным в узком смысле?11. Какой процесс называется стационарным в широком смысле?12.

Утверждение: «Если процесс стационарен в узком смысле,то он стационарен и в широком смысле» – верно? неверно? вернодля некоторых процессов (каких именно)? неверно для некоторыхпроцессов (каких именно)?13. Утверждение: «Если процесс стационарен в широкомсмысле, то он стационарен и в узком смысле» – верно? неверно?верно для некоторых процессов (каких именно)? неверно для некоторых процессов (каких именно)?14. Утверждение: «Если случайные величины независимы, тоони и некоррелированны» – верно? неверно? верно для некоторыхраспределений (каких именно)? неверно для некоторых распределений (каких именно)?15. Утверждение: «Если случайные величины некоррелированны, то они и независимы» – верно? неверно? верно для некоторыхраспределений (каких именно)? неверно для некоторых распределений (каких именно)?16.

Какие процессы называются эргодическими?17. Как связаны АКФ и СПМ стационарного случайного процесса?18. Что такое белый шум? Какова его АКФ? Какова его СПМ?19. Как связана СПМ процесса на выходе ЛИС-цепи с СПМпроцесса на входе?20. Какую ПРВ имеют огибающая и фаза гауссовского узкополосного случайного процесса?3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ136УПРАЖНЕНИЯ1. Докажите, что процесс, стационарный в узком смысле, стационарен и в широком смысле.2. Реализации случайного процесса представляют собой функциивремени cos( t  ) , t  ,   при некотором фиксированномзначениии случайной начальной фазе , имеющей распределение, равномерное в интервале (0, 2 ) . Проверьте, является ли этотпроцесс стационарным и эргодическим.3.

Мгновенное значение случайного процесса имеет распределение вероятностей с плотностью вида w( x)  C  exp(0,5 x ) . Найдите константу C , математическое ожидание и дисперсию. Постройте графики плотности распределения вероятностей и функциираспределения вероятностей (друг под другом в одном масштабе).4. Мгновенное значение случайного процесса описывается функцией распределения F ( x)  1  exp(2 x), x  0 . Найдите плотностьраспределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию.

Постройте графики плотности распределения вероятностей ифункции распределения вероятностей (друг под другом в одноммасштабе).5. Функция автокорреляции стационарного случайного процессаaимеет вид Bx ( )  Dx e, где a – некоторая постоянная. Найдитеспектральную плотность мощности случайного процесса.6. Спектральная плотность мощности окрашенного шума x (t )a fимеет вид Gx ( f )  Ce, где C и a – некоторые постоянные.Найдите АКФ процесса.4.1. Метод, основанный на решении дифференциального уравнения1374.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИС-ЦЕПЕЙадача анализа состоит в нахождении выходногоЗсигнала по заданному входному сигналу и известному описанию цепи. Не существует метода решения этой за-дачи, подходящего для всех цепей – линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных. Наиболее хорошо развиты в настоящее время методы анализа линейных инвариантных к сдвигуцепей. Невыполнение требований линейности и стационарности(или хотя бы одного из них) приводит к большим трудностям врешении задачи анализа.Как было показано в разд. 2, сигнал на выходе ЛИС-цепи может быть найден точно, если известно описание цепи в форме импульсной или комплексной частотной характеристики (функциональное описание [14]). Часто цепь описывается другими(структурными) способами (принципиальной схемой, дифференциальным уравнением и т.п.). Поскольку любая форма исчерпывающего описания определяет одну и ту же цепь, существуетвнутренняя связь между этими формами, и выяснение этой связивходит в задачу анализа61.

В этом смысле все точные методы анализа эквивалентны друг другу. В основе всякого приближенногометода лежит какое-нибудь упрощающее предположение, поэтомутакие методы всегда приводят к различным решениям, однако онидолжны мало62 отличаться от точного решения.Точными методами анализа ЛИС-цепей являются метод, основанный на решении дифференциального уравнения цепи, операторный и спектральный методы, метод комплексной огибающей.61Согласно [14] анализ состоит в нахождении функционального описанияцепи по известному ее структурному описанию; нахождение структурного описания по заданному функциональному составляет существозадачи синтеза.62В каждом конкретном случае нужно определить количественную меруотличия и количественный критерий малости.4.

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИС-ЦЕПЕЙ138Они являются точными и универсальными в том смысле, что позволяют в принципе решить задачу анализа точно при любой ЛИСцепи и любом воздействии. Однако во многих практически важныхслучаях точное решение оказывается слишком трудоемким. В тоже время некоторые дополнительные сведения о сигнале и цепимогут существенно упростить анализ и привести к результату хотяи приближенному, но достаточно близкому к точному решению спрактической точки зрения. К приближенным относятся методмгновенной частоты (см. п. 5.5.2) и некоторые другие. В этом разделе кратко рассматриваются точные методы анализа ЛИС-цепей.4.1. МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА РЕШЕНИИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯДифференциальные уравнения вообще связывают значениянекоторых физических величин со скоростями их изменения, скоростями изменения скоростей (ускорениями) и т.д.

Эти связи, выраженные в форме дифференциальных уравнений, отражают объективные физические законы, которым подчиняется реальный мир.Линейные стационарные цепи с сосредоточенными параметрамиописываются наиболее простыми дифференциальными уравнениями – обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами63 видаd n y(t )d m x(t )(4.1)an...ay(t)b ...  b0 x(t ) ,0mdt ndt mгде x (t ) – входной сигнал, y (t ) – выходной сигнал, а целые числаn и m определяются сложностью цепи. Если входной сигнал задан, то тем самым задана вся правая часть уравнения, которуюможно обозначить f (t ) . Тогда уравнение можно записать в видеand n y(t )(4.2) ...  a0 y(t )  f (t ) ,dt nпри этом число n определяет порядок дифференциального уравнения.

Знание уравнения, описывающего цепь, а также состоянияцепи64 в начальный момент времени (начальных условий) позволя6364Цепи с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.Состояние цепи определяется набором величин y (t ) , dy (t ) / dt , ...,dy n (t ) / dt n .4.1. Метод, основанный на решении дифференциального уравнения139ет найти состояние цепи в любой будущий момент времени (цепьсчитается каузальной, т.е. ее поведение не зависит от будущих значений входного и выходного сигналов). Уравнение (4.2) имеет ненулевую правую часть и называется неоднородным; его решениепредставляет собой сумму некоторого частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравненияand n y(t )dt n ...  a0 y(t )  0 .(4.3)Для решения однородного дифференциального уравнения (4.3)нужно решить алгебраическое характеристическое уравнение цепиann an1n1 ...

 a1  a0  0 .(4.4)Если коэффициенты уравнения вещественны (а это практически всегда так), то корни либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. При этом некоторые корни могут совпадать (быть кратными). Для случая, когда все корни 1, 2 , ..., nявляются различными (простыми), общее решение однородногодифференциального уравнения (4.3) описывает собственные колебания цепи и имеет видy(t )  C1e 1t  C2e2t ...  Cnent,где постоянные C1, C2 ,..., Cn определяются начальными условиями.В случае кратных корней в решении присутствуют с соответствующими весовыми коэффициентами слагаемые вида e k t ,te k t ,..., t m1e k t , где k – корень уравнения (4.4) кратности m .

Заметим, что для устойчивости цепи свободные колебания должнызатухать со временем, а отсюда следует, что все корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественныечасти (лежать в левой половине комплексной плоскости).Метод анализа, основанный на решении дифференциальногоуравнения, может использоваться для нахождения откликов несложных ЛИС-цепей на простые воздействия (например, функциювключения, и т.п.).

В более сложных случаях этот метод применяется редко.Пример 4.1. Для RC-фильтра нижних частот (см. пример 2.17),обозначая ток, протекающий через емкость, i(t ) , входное и выходное4. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИС-ЦЕПЕЙ140напряжения uвх (t ) и uвых (t ) и учитывая, что i(t )  Cduвых (t ) / dt ,запишем неоднородное дифференциальное уравнениеuвх (t )  RCduвых (t ) / dt  uвых (t ) .Соответствующееоднородноеуравнениеимеетвидduвых (t ) / dt  uвых (t )  0 , где  RC – постоянная времени, и характеристическое уравнение 1  0 .

Характеристики

Список файлов книги